专题一阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。 阿基米德三角形的性质：

设抛物线方程为x 2=2py ，称弦AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边AB 的中点，Q 为两条切线的交点。

性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。

性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为 。

性质3 抛物线以C 为中点的弦与Q 点的轨迹 。

性质4 若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点 。

性质5 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 。 性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。

性质7 在阿基米德三角形中，∠QF A =∠QFB 。

性质8 在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST

的垂心在 上。

性质9 |AF |·

|BF |=|QF |2. 性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。

性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。

例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C y

x 的焦点为F ，

动点P 在直线:20

l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线P A 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PF A =∠PFB .

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为220

1110(,)(,)(()x x x x x x 和，

∴切线AP 的方程为：2

00

20;x x y x 切线BP 的方程为：211

20;x x y

x

解得P 点的坐标为：0

1

01,2

P

P

x x x y x x

所以△APB 的重心G 的坐标为 ，

所以234p G G y y x ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

（2）方法1：因为2

2

1

0001

111

1

1(,),(

,

),(,).4

2

4

4

x x FA

x x FP x x FB x x

由于P 点在抛物线外，则||0.FP

∴20

1

01

001

222

0111()()244

4cos ,1||||

||

||()

4x x x x x x x x FP FA AFP

FP FA FP FP x x

同理有20

1

1

01

101

2

22

11111()()244

4cos ,1||||

||

||()

4

x x x x x x x x FP FB BFP

FP FB FP FP x x

∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当10

1

00

0,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(

,0)2

x ，则P 点到

直线AF 的距离为：21

11

1

1||14;:,2

4

x x d

BF y

x x 而直线的方程

即2

1

1111()0.4

4

x x x y

x

所以P 点到直线BF 的距离为：2211111

12

2

22

21

1||11|()|()||4244212

1()()4

4

x x x x x x d x x x

所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当10

0x x 时，直线AF 的方程：20

2

00

11114(0),()0,4

044x y

x x x x y

x x 即

直线BF 的方程：21

2

1111

11114(0),()0,4

4

4

x y

x x x x y

x x 即

所以P 点到直线AF 的距离为： 222

010

10

010

00

11

22

22

0111|()()||

)()||

42

42

4

12

1()4

4

x x x x x x x x x x x d x

x x ，

同理可得到P 点到直线BF 的距离102

||

2

x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB

例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且

AF →＝λFB →

（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·

AB →

为定值；