4函数答案

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人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)

2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一第二部分函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论（1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)，（1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且．（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。

实变函数第四章答案

实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明（1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11．试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩，并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ，则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。

高等数学4教材答案详解

高等数学4教材答案详解一、导数与微分1. 导数的定义导数是函数在某一点处的瞬时变化率，通常用f'(x)表示。

导数的定义可以表达为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的基本运算法则2.1 常数规则：如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。

2.2 乘积规则：若f(x) = u(x) v(x)，则f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)。

2.3 商数规则：若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] / [v(x)]²。

3. 微分与近似计算微分是导数的一个重要应用，它可以用于函数的线性近似计算。

微分的公式为：dy = f'(x) dx其中dy表示函数f(x)在点(x, f(x))处的微小变化量，dx表示自变量x 的微小变化量。

二、函数的极限1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，可以表示为：lim(x→a) f(x) = L2. 极限的性质2.1 唯一性：如果极限存在，则极限唯一。

2.2 有界性：如果极限存在，则函数在某个邻域内有界。

2.3 保号性：如果lim(x→a) f(x) > 0，则存在a的某个邻域内，使得f(x) > 0。

3. 极限的计算方法3.1 四则运算法则：对于函数的四则运算，可以利用极限的性质进行计算。

3.2 复合函数的极限：如果f(x)的极限为L，g(x)在L处连续，那么f(g(x))的极限为f(L)。

三、一元函数的连续性1. 连续函数的定义如果函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且f(a)等于该极限值，那么称函数在点x=a处连续。

2. 连续函数的性质2.1 连续函数的四则运算：连续函数的加、减、乘、除仍然是连续函数。

2.2 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则f(g(x))在x=a处连续。

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性）知识点4单调奇偶联袂二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数，证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <，有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

三角函数10道大题(带答案)

三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。

Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。

2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。

Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。

3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。

1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。

4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。

Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。

5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。

1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。

6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《4-4一次函数的应用》解答题优生辅导训练(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《4.4一次函数的应用》解答题优生辅导训练（附答案）1．一次函数y＝﹣x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点．（1）求a、b的值，并画出一次函数的图象；（2）点C是第一象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC向左平移恰好经过点A时与x轴交于点D．求直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积．2．如图，在直角坐标系中，A（1，4），B（1，1），C（5，1），点D是x轴上的动点．（1）四边形ABDC的面积是；（2）当直线AD平分△ABC的面积时，求此时直线的表达式；（3）当△ACD的面积是10时，直接写出点D的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．①求△CGF的面积；②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC 全等？请直接写出相应的m的值．4．如图，已知点A（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．（1）直接写出b、k的值；（2）若直线l1、l2与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足S△BDP＝S△BDC，求出点P的坐标；（3）若点Q是直线l2上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC 的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线l：y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，AC⊥x轴，BC⊥y轴．如果点E由点O出发沿OA方向向点A匀速运动，同时点D由点C出发沿CB方向向点B 匀速运动，它们的速度分别为每秒2个单位长度和每秒1个单位长度．DF⊥OA，分别交AB、OA于点P和F，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）求线段AB的长；（2）连接DE与AB交于点Q，当t为何值时，DE⊥AB？（3）连接EP，当△EP A的面积为3时，求t的值．10．如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一定点P（0，6）．动点Q从A点出发以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）请直接写出点A和点B的坐标；（2）求△POQ的面积S与Q的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时，△POQ≌△AOB，求出此时点Q的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）当点M的坐标为时，AM+BM的长最小；（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．12．某天早上，小军来到学校大门口时，才发现饭卡还在家里．此时离学校大门关闭的时间还有15分钟．于是他立即步行回家取饭卡，同时打电话告诉他父亲将饭卡沿路送来．他父亲从家里出发骑摩托车以他5倍的速度给他送饭卡，两人在途中相遇，随后小军立即坐父亲的摩托车赶回学校．，如图中线段AB、OB分别表示父子俩送卡、取卡过程中，离学校大门的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑摩托车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；（2）小军能否在学校大门关闭前到达学校？13．如图，已知直线l1：y＝﹣x+2与直线l2：y＝2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．14．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？15．如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x＝﹣1交AB于点D，P是直线x＝﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S△ABP＝2时，△BPC是等腰三角形，①满足条件的点C的个数是个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．16．某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现已知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．（1）写出y与x之间的函数表达式．（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？17．如图，l1反映了某公司产品的收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的成本与销售量的关系，根据图象解决下列问题：（1）当销售量为2t时，收入＝元，成本＝元，盈利为元，当销售量＝t时，收入＝成本；（2）求出盈利w与销售量x的函数表达式．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？20．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．（1）求直线DE的函数关系式；（2）函数y＝mx﹣2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．22．三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？23．在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为km；点M表示的实际意义是；（2）小张开车的速度是km/h；小李骑摩托车的速度是km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．24．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．参考答案1．解：（1）∵y＝﹣x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点，当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），∴a＝2，当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∴b＝3，一次函数的图象如图：（2）如图，当点C在AB上方时，作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N，∵ON⊥OM，CM⊥x轴，CN⊥y轴，∴四边形ONCM是矩形，∴CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACN＝∠BCM，∵△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，∴AC＝BC，∵∠ANC＝∠BMC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CN＝CM，AN＝BM，∴矩形ONCM是正方形，∴ON＝OM，∵A（0，2）、B（3，0），∴2+AN＝3﹣BM，∴AN＝BM＝，∴ON＝OM＝，∴C点坐标为（，）；如图，当点C在AB下方时，同理可得C点坐标为（，﹣），∵点C是第一象限内一点，∴C点坐标为（，﹣），不合题意，舍去，综上，C点坐标为（，）；（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，∵B（3，0），C点坐标为（，），∴，解得：．则直线BC的解析式是：y＝﹣5x+15．∵将直线BC向左平移恰好经过点A．A（0，2），∴直线AD的解析式为y＝﹣5x+2，∴点D的坐标为（，0），∴直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积为：S△ADB＝×（3﹣）×2＝．2．解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵A（1，4），B（1，1），C（5，1），∴AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，DE＝1，∴△ABC的面积＝×3×4＝6，△BDC的面积＝×4×1＝2，∴四边形ABDC的面积＝△ABC的面积+△BDC的面积＝8．故答案为：8．（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积，∵B（1，1），C（5，1），∴F（3，1），设直线AF的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AF的解析式为y＝﹣x+．（3）如图，延长AC交x轴于点G，设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（1，4），C（5，1），∴，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，则x＝．∴G（，0），设点D的坐标为（t，0），则DG＝|t﹣|，∴△ADG的面积为×4×|t﹣|＝2|t﹣|，△DCG的面积为：×1×|t﹣|＝|t﹣|，∴△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积＝|t﹣|＝10，解得t＝13或t＝﹣．∴点D的坐标为（13，0）或（﹣，0）．3．解：（1）将点C（a，7）代入y＝x，可得a＝﹣3，∴点C的坐标（﹣3，7），将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10；（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0），∴当x＝﹣15时，y＝﹣＝35，y＝﹣15+10＝﹣5，∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5），∴S△CGF＝＝；②存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，令x＝0，则y＝10，∴点B的坐标（0，10），∵点M为y轴上OB的中点，∴点M的坐标为（0，5），设直线MC的解析式为y＝ax+5，将C（﹣3，7）代入得：7＝﹣3a+5，解得：a＝﹣，∴直线MC的解析式为y＝x+5，当x＝﹣15时，y＝，∴点P的坐标为（﹣15，15），∴PM﹣PC＝CM＝＝；（3）∵B（0，10），A（﹣10，0），∴OA＝OB＝10，∠CAO＝∠ABO＝45°，分三种情况讨论：①当△OAC≌△QCA，如图：∴∠CAO＝∠QCA＝45°，∴QC⊥OA，即CQ∥y轴，∴CQ经过点E，∴m＝﹣3；②当△ACO≌△ACQ，如图：∴∠CAQ＝∠CAO＝45°，∴QA⊥OA，即QA经过点E，∴点E，A重合，∴m＝﹣10；③当△ACO≌△CAQ，如图，∴∠CAO＝∠ACQ＝45°，AO＝CQ，∴CQ∥x轴，∴四边形AOCQ是平行四边形，CQ＝AO＝10，AE＝3，∴m＝﹣13；综上所述，当m取﹣3或﹣10或﹣13时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．4．解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，解得：b＝﹣9，∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，将x＝8代入y＝2x﹣9中，解得：y＝7，∴点B的坐标为（8，7），将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得7＝8k﹣1，解得：k＝1，综上：b＝﹣9，k＝1；（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，∵点B的坐标为（8，7），∴BE＝8，∵S△BDP＝S△BDC，∴S△CDP＝S△BDC，∴CD•PF＝×CD•BE，∴×8PF＝×8×8，∴PF＝6，即点P的横坐标为6，将x＝6代入y＝2x﹣9中，解得：y＝3，∴点P的坐标为（6，3）；（3）过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG ⊥FG于G，∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA，在△EGQ和△QF A中，，∴△EGQ≌△QF A（AAS），∴EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），∵A（2，﹣5），∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，∴点E坐标（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，∴点Q的坐标为（，﹣）．5．解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，∴S△OAC＝×6×4＝12；（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝1，∴点M的横坐标为1或﹣1；当M的横坐标是：1，在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．当M的横坐标是：﹣1，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）．综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．6．解：（1）D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，则点D（2，4），当x＝4时，y＝x＝3，故点E（4，3）；（2）点O、D、E的坐标分别为：（0，0）、（2，4）、（4，3），则DO2＝20，OE2＝25，DE2＝5，故OE2＝OD2+ED2，故：△ODE是直角三角形；（3）点E、H的坐标分别为：（4，3）、（2，0），①当点P在HD上时，此时0＜t≤2，点P（2，4﹣2t），则PH2＝（4﹣2t）2，PE2＝4+（1﹣2t）2，HE2＝13，当PH＝PE时，（4﹣2t）2＝4+（1﹣2t）2，解得：t＝；当PH＝HE时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）；当PE＝HE时，同理可得：t＝4；②当点P在HF上时，点P（2t﹣2），由点D、E的坐标得，直线ED的表达式为：y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝10，即点F（10，0），则2＜t≤6；PE2＝（2t﹣6）2+9，PH2＝（2t﹣4）2，EH2＝13；当PE＝PH时，（2t﹣6）2+9＝（2t﹣4）2，解得：t＝；当PE＝EH时，同理可得：t＝4；当PH＝EH时，同理可得：t＝综上，当t＝或4或或或．7．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）如图点E为所求点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线DB1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（﹣，0）．（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∠F AO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：x＝，∴交点D的坐标为．8．解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝y N＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．9．解：（1）∵y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点B（0，6），点A（8，0），∴AB＝＝10；（2）∵AC⊥x轴，BC⊥y轴，DF⊥OA，∴四边形ACDF是矩形，∴AC＝DF＝6，由题意可得OE＝2t，CD＝t，∴AF＝t，AE＝OA﹣OE＝8﹣2t，BD＝8﹣t，∴EF＝8﹣3t，∵DE⊥AB，∴∠QEA+∠QAE＝90°，又∵∠DEF+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠QAE，且∠DFE＝∠BOA＝90°，∴t＝；（3）PF＝t，∵△EP A的面积为3，∴（8﹣2t）×t＝3，∴t＝2．10．解：（1）∵若x＝0，则y＝2，若y＝0，则0＝﹣x+2，∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（6，0）；（2）①点Q在x轴的正半轴，则S＝OQ•OP＝（6﹣t）×6，即S＝﹣3t+18（0≤t＜6）；②若Q在O时，则S＝0，此时t＝6；③若点Q在x轴的负半轴，S＝（t﹣6）×6，即S＝3t﹣18（t＞6）；（3）∵OP＝OA，∠AOB＝∠POQ＝90°，∴只需OB＝OQ＝2，则△POQ≌△AOB，若Q在x轴的正半轴时，AQ＝6﹣2＝4，则t＝4，若Q在x轴的负半轴，AQ＝6+2＝8，则t＝8，故当t＝4或8时，△POQ≌△AOB，此时Q（2，0）或（﹣2，0）．11．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．（2）如图，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于M，此时MB+MA的值最小，∵B′（﹣6，0），A（4，2），设直线AB′的解析式为y＝mx+n，则有，解得，∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴M（0，），AM+BM的最小值＝AB′＝＝2，故答案为（0，）．（3）如图，①过点A作AB的垂线AM交y轴与M．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB与x轴的夹角为45°，∴直线AM与x轴的夹角为45°∴直线AM的解析式为y＝x﹣2，∴M（0，﹣2）．②过点B作BM′⊥AB交y轴与M′，同法可得直线BM′的解析式为y＝x﹣6，∴M′（0，﹣6），综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．12．解：（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟，设小军步行的速度为x米/分，则小军父亲骑车的速度为5x米/分，依题意得：15x+15×5x＝3600，解得：x＝40，所以两人相遇处离学校大门口的距离为40×15＝600米，所以点B的坐标为（15，600），设直线AB的函数关系式为s＝kt+b（k≠0），由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，600），得：，解得，所以直线AB的函数关系式为：S＝﹣200t+3600；（2）由S＝﹣200t+3600；令S＝0，得0＝﹣200t+3600解得：t＝18，即小军的父亲从出发到学校门口花费的时间为18分钟，因而小军取票的时间也为18分钟，因为15﹣18＝﹣3（分钟），所以小军不能在学校大门关闭前到达学校．13．解：（1）由题意得，解得x＝﹣2，y＝4，∴F点坐标：（﹣2，4）；过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME＝MF＝4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF＝45°；（2）∵点G是直线l2与x轴的交点，∴当y＝0时，2x+8＝0，解得x＝﹣4，∴G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4，∵点C在直线l1上，∴点C的坐标为（﹣4，6），∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l2上，∴点D的坐标为（﹣1，6），∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴DC＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，BC＝6；（3）∵点E是l1与x轴的交点，∴点E的坐标为（2，0），S△GFE＝＝＝12，若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，当t秒时，移动的距离是1×t＝t，则B点的坐标为（﹣4+t，0），A点的坐标为（﹣1+t，0）；①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时．N点的坐标为（﹣4+t，2t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），s＝S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK＝12﹣＝﹣t2+3t+，②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤2，即2＜t≤3时．N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），s＝S梯形BNKA＝＝，③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交，那么﹣4+t≤2且﹣1+t＞2，即3＜t≤6时．N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），s＝S△BNE＝＝，答：（1）F点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°；（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；（3）s关于t的函数关系式：S＝．14．解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．解得：答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤14时，y＝x；当x＞14时，y＝14+（x﹣14）×2.5＝2.5x﹣21，∴所求函数关系式为：y＝（3）∵x＝24＞14，∴把x＝24代入y＝2.5x﹣21，得：y＝2.5×24﹣21＝39（元）．答：小英家三月份应交水费39元．15．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把点A（0，1），点B（﹣3，0）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式是：y＝x+1；（2）∵P（﹣1，n），∴D（﹣1，），即PD＝n﹣，∴S△APB＝PD•OB＝（n﹣）×3＝n﹣1；（3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2，∴点P（﹣1，2）．∵E（﹣1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，BP＝2，当CP＝BP时，如图，以点P为圆心，BP长为半径作弧，交y轴于点C、C′，过点P 作PF⊥y轴于点F．∵BP＝2，∴BP＝PC＝PC′＝2，∵点P（﹣1，2）．∴PF＝1，OF＝2，∵PC＝PC′＝2，∴CF＝C′F＝＝，∴CO＝CF+OF＝2+，C′O＝C′F﹣OF＝﹣2，∴点C的坐标为（0，2+）或（0，2﹣），当CP＝CB时，如图，作BP的垂直平分线，垂足为M，交y轴于点C，过点P作PH⊥y轴于点H．∵BP＝2，∴BM＝PM＝，∵点P（﹣1，2）．∴PH＝1，OH＝2，∵PC＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠EPB＝∠EBP＝45°，∴∠CBP﹣∠EBP＝∠CPB﹣∠EPB，即∠EPC＝∠OBC，∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠PCH，∴∠OBC＝∠PCH，∵∠BOC＝∠CHP＝90°，PC＝BC，∴△BOC≌△CHP，∴CH＝OB＝3，∴CO＝CH﹣OH＝2﹣1＝1，∴点C的坐标为（0，﹣1），当BP＝CB时，如图，∵OB⊥y轴，∴点B到y轴的最短距离为OB的长，∵BP＝2，OB＝3，2＜3，∴以点B为圆心，BP长为半径作弧与y轴没有交点，∴此种情况不存在．综上，点C的坐标为（0，2+）或（0，2﹣）或（0，﹣1），有3个，故答案为：3；②由①得当BP为等腰三角形的底边时，CP＝CB，此时点C的坐标为（0，﹣1）．16．解：（1）设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b 由题意得，解得k＝，b＝﹣5∴该一次函数关系式为（2）∵，解得x≤30∴旅客最多可免费携带30千克的行李．答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为；（2）旅客最多可免费携带30千克的行李．17．解：（1）通过图象观察可以得出，当x＝2时，对应的与l1的交点是（2，4000），与l2的交点是（2，6000），∴当销售量为2t时，收入＝4000元，成本＝6000元，∴盈利为：收入﹣成本＝4000﹣6000＝﹣2000（元）．l1与l2的交点坐标是（4，8000），则当销售量是4t时，收入＝成本．故答案为：4000，6000，﹣2000，4；（2）设l1对应的函数表达式是y1＝ax，将（2，4000）代入y1＝ax，∴4000＝2a，解得；a＝2000，∴l1对应的函数表达式是：y1＝2000x；设l2对应的函数关系式为y2＝kx+b，∵l2过点（0，4000），∴b＝4000，又∵l2过点（2，6000），∴6000＝2k+4000，解得：k＝1000，所以y2＝1000x+4000；w＝y1﹣y2＝2000x﹣（1000x+4000）即w＝1000x﹣4000．18．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝；故点P的坐标为：（4，0）或（8，0）或（，0）或（，0）；（3）当y＝0时，有0＝﹣2x+12，解得：x＝6，∴点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴S△OAC＝×6×4＝12．设M（x，y）当M在x轴下方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，∴△MOA的面积等于△AOC的面积，×6×|y|＝12，当y＝﹣4时，﹣4＝﹣2x+12，x＝8，∴M（8，﹣4），当M在x轴上方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，×6×|y|＝12×3；当y＝12时，12＝﹣2x+12，x＝0，∴M（0，12），综上所述，M（8，﹣4）或（0，12）．19．解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：解得：，∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），∴乙车出发后1.5小时追上甲车．20．解：（1）不论k取何值，当x＝0时，y＝2，则函数一定经过定点（0，2）；（2）当直线经过点A时，把点（1，0）代入y＝kx+2得：k+2＝0，解得：k＝﹣2；当直线经过点C（3，1）时，代入y＝kx+2得：3k+2＝1，解得：k＝﹣，则k的取值范围是：﹣2≤k≤﹣；（3）CD＝3﹣1＝2，当直线经过点B时，把B的坐标（3，0），代入y＝kx+2得：3k+2＝0，解得：k＝﹣，当﹣2≤k≤﹣时，E在AB上，则S△CDE＝×2×1＝1；当﹣＜k＜﹣时，E在BC上，在y＝kx+2中，令x＝3，则y＝3k+2，则CE＝1﹣（3k+2）＝﹣3k﹣1则S△CDE＝×2×（﹣3k﹣1）＝﹣3k﹣1．即S＝﹣3k﹣1．21．解：（1）设直线DE的解析式为：y＝kx+b，∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，∴点E的坐标为：（6，2），∵D（8，0），∴，解得：，∴直线DE的函数关系式为：y＝﹣x+8；（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，∴﹣x+8＝4，解得：x＝4，∴点F的坐标为；（4，4）；∵函数y＝mx﹣2的图象经过点F，∴4m﹣2＝4，解得：m＝；（3）由（2）得：直线FH的解析式为：y＝x﹣2，∵x﹣2＝0，解得：x＝，∴点H（，0），∵G是直线DE与y轴的交点，∴点G（0，8），∴OH＝，CF＝4，OC＝4，CG＝OG﹣OC＝4，∴S四边形OHFG＝S梯形OHFC+S△CFG＝×（+4）×4+×4×4＝18．22．解：（1）不超过50度时每度收费：30÷50＝0.6（元），超过50度时，超过的部分每度收费：（60﹣30）÷（80﹣50）＝1（元）；答：当用电量不超过50度时，每度收费0.6元，超过50度时，超过的部分每度收费1元．（2）120﹣0.6×50＝90（元），90÷1＝90（度），50+90＝140（度）．答：该户居民用电140度．23．解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．故答案为：80；40；（3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况：相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．24．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．。

高中数学必修一练习题(4)函数(含详细答案)

• 高中数学必修一复习练习（四）函数班号姓名 指数函数及其性质1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1； ②y ＝2·3x ； ③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)； ④y ＝1x ； ⑤y ＝(12)2x －1.A ．1个B ．2个C ．4个D ．5个2．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x3．若集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( ) A ．M NB ． M ⊆NC ．N MD ．M ＝N4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )5．若函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则实数a 的取值范围是________． 6．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)． 7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．8．已知指数函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<14．函数f (x )＝2|x |，则f (x )( )A ．在R 上是减函数B ．在(－∞，0]上是减函数C ．在[0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，＋∞)上是增函数 5．方程3x －1＝19的解是________．6．已知函数y ＝(13)x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．7．已知2x ≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．8．已知函数f (x )＝a 2－3x(a >0，且a ≠1)．(1)求该函数的图象恒过的定点坐标； (2)指出该函数的单调性．1．使式子log (x －1)(x 2－1)有意义的x 的值是( ) A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＞1且x ≠2 C ．x ＞1D ．x ≠22．方程2log 3x ＝14的解是( )A.33B.3C.19D ．93．化简：2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）的结果是( )A.12B ．1C ．2D ．44．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 485．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为________．6．已知x ，y ∈(0，1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________． 7．计算下列各式的值：(1)lg12.5－lg 58＋lg 12； (2)12lg25＋lg2＋lg 10＋lg(0.01)－1； (3)log 2(log 264)．8．方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根之积为x 1x 2，求x 1x 2的值．1．下列函数中，定义域相同的一组是( ) A ．y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1) B ．y ＝x 与y ＝x C ．y ＝lg x 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lg x 22．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 3．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是( )A ．[1，∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]4．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )5．函数y ＝log x (2－x )的定义域是________．6．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 7．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 2（4x －3）； (2)y ＝log 5－x (2x －2)．8．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案指数函数及其性质1．选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确． 2．B3．选A x ∈R ，y ＝2x ＞0，y ＝x 2≥0，即M ＝{y |y ＞0}，N ＝{y |y ≥0}，所以M N. 4．选C 由0＜m ＜n ＜1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C 或D ，进而再判断①②与n 和m 的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x ＝1，则①②对应的函数值分别为m 和n ，由m ＜n 知选C.5．解析：函数y ＝(2a －1)x 为指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1. 答案：a >12且a ≠16．∵指数函数y ＝a x 恒过定点(0，1)．∴y ＝a x ＋1的图象必过点(0，2)．答案：(0，2) 7．解：(1)函数图象过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0，2]． 8．解：由指数函数的概念知a >0，a ≠1.当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是增函数，所以当x ＝2时，f (x )取最大值a 2，当x ＝1时，f (x )取最小值a ，由题意得a 2＝a ＋a 2，即a 2＝32a ，因为a >1，所以a ＝32；当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上是减函数，同理可以求得a ＝12.综上可知，a 的值为32或12✠✠指数函数及其性质的应用1．选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x 是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．选A 定义域为R.设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数．3．选D ∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1.4．选B ∵y ＝2x 在R 上递增，而|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)是递增，∴f (x )＝2|x |在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增．5．解析：∵3x -1＝19，∴3x -1＝3-2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1. 答案：－16．解析：函数y ＝(13)x 在定义域内单调递减，∴m ＝(13)－1＝3，n ＝(13)－2＝9， ∴m ＋n ＝12. 答案：127．解：∵2x ≤(14)x -3，即2x ≤26-2x ，∴x ≤6－2x ，∴x ≤2，∴y ＝ (12)x ≥ (12)2＝14，∴函数值域是[14，＋∞)．8．解：(1)当2－3x ＝0，即x ＝23时，a 2－3x ＝a 0＝1. 所以，该函数的图象恒过定点(23，1)(2)∵u ＝2－3x 是减函数，∴当0<a <1时，f (x )在R 上是增函数；当a >1时，f (x )在R 上是减函数．❑❑对数与对数运算1．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x 2－1＞0，x －1≠1，解得x ＞1且x ≠2.2．选C 由已知得log 3x ＝－2 ，∴ x ＝3－2＝19.3．选C 由对数运算可知：lg(lg a 100)＝lg(100lg a )＝2＋lg(lg a )，∴原式＝2. 4．选A 由2x ＝3得：x ＝log 23.∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3.5．解析：log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x b ＝13，log x c ＝16.log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1. 答案：16．解析：lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg1＝0. 答案：0 7．解：(1)原式＝lg(252×85×12)＝lg10＝1.(2)原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1]＝lg(5×2×1012×102)＝lg1072＝72.(3)原式＝log 2(log 226)＝log 26＝1＋log 23.8．解：因为lg2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝(lg x ＋lg2)(lg x ＋lg3)，所以lg x ＝－lg2＝lg2－1或lg x ＝－lg3＝lg3－1，即x 1＝12，x 2＝13，所以x 1x 2＝16.对数函数及其性质1．C2．选C 当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2.3．选D 由函数的解析式得log 12(3x －2)≥0＝log 121.∴0＜3x －2≤1，解得：23＜x ≤1.4．选C 当x ＝0时y ＝0，而且函数为增函数，可见只有C 符合．5．解析：由对数函数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x >0x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <2x >0且x ≠1⇒0<x <2且x≠1. 答案：(0，1)∪(1，2)6．解析：当x ＝2时y ＝1. 答案：(2，1)7．解：(1)要使函数有意义，须满足：log 2(4x －3)≥0＝log 21，⇒1≤ 4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4. ∴函数的定义域为(1，4)∪(4，5)．8．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 的值．。

湘教版八年级下册数学第4章一次函数含答案(参考答案)

湘教版八年级下册数学第4章一次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若一次函数y=（3-k）x-k的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A.k＞3B.0＜k≤3C.0≤k＜3D.0＜k＜32、有一道题目：已知一次函数y=2x+b，其中b＜0，…，与这段描述相符的函数图像可能是（）A. B. C.D.3、下列四个函数中，自变量的取值范围为≥1的是（）A. B. C. D.4、已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：x… 3 6 …y… 2 1 …对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（）A.①②B.②③C.③④D.①④5、在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（）A. B. C. D.6、已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A.x>-2B.x>1C.x<-2D.x<17、甲、乙、丙、丁四人一起到冰店买红豆与桂圆两种棒冰．四人购买的数量及总价分别如表所示．若其中一人的总价算错了，则此人是谁（）A.甲B.乙C.丙D.丁8、如表是变量与之间的一组数据，则与之间的表达式可以写成（）1 2 3 4 ……2 5 10 17 ……A. B. C. D.9、在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米）与行驶时间（秒）的函数图象，根据图象信息，计算的值分别为（）A.39，26B.39，26.4C.38，26D.38，26.410、下列图象不能反映是的函数的是A. B. C. D.11、已知四条直线y=kx-3，y=-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是8，则k 的值为（）A. 或－4B.- 或4C. 或－2D.2或－212、在直角坐标系中,函数y=kx与的图像大数是（）A. B. C.D.13、如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停下，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A.当x=2时，y=5B.矩形MNPQ的面积是20C.当x=6时，y=10 D.当y= 时，x=314、春节期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（）A.2小时B.2.2小时C.2.25小时D.2.4小时15、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积s与工作时间t的函数关系如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为________平方米17、如果正比例函数的图像经过点，则它的解析式为________．18、某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据的是下面表格的数据：鸡的质量(kg) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4烤制时间(min) 40 60 80 100 120 140 160 180若鸡的质量为2.5kg，则估计烤制时间________分钟.19、已知点A（a，2）在一次函数y=x+1的图象上，则a=________20、一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点坐标为________ .21、函数y=kx的图象经过点P（1，﹣3），则k的值为________．22、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．23、一次函数的图象经过，两点，若时，则________ （填“ ”“＜”或“ ”）24、已知一次函数y＝2x＋b，当x＝3时，y＝10，那么这个一次函数在y轴上的交点坐标为________．25、设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+ (1-x)，当1≤x≤2时y的最大值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、在y=kx+b中，当x=1时y=4，当x=2时y=10．求k，b的值．27、已知y=（k﹣1）x IkI+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x=3时，y的值；（3）当y=0时，x的值．28、已知y=y1y2，其中y1= （k为非0的常数），y2与x2成正比例，求证：y与x也成正比例．29、写出下列函数关系式，并指出关系式中的自变量和函数：圆锥的底面半径为定值r，则圆锥的体积V与圆锥的高h之间的关系．30、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）提出概念所用时间（x）2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、A4、C5、D6、B7、D9、B10、C11、A12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、。

初三数学函数练习题及答案

初三数学函数练习题及答案1. 已知函数 y = 2x + 3，求当 x 为 4 时的函数值。

解答：将 x = 4 代入函数中，得到 y = 2(4) + 3 = 11，所以当 x 为 4 时，函数值为 11。

2. 求函数 y = 3x - 1 的解析式。

解答：已知函数的解析式为 y = 3x - 1，其中 3 是函数的斜率，-1 是y 轴的截距。

所以函数的解析式为 y = 3x - 1。

3. 已知函数 y = 4x + 2，求当 y = 14 时的 x 的值。

解答：将 y = 14 代入函数中，得到 14 = 4x + 2，然后移项得到 4x = 14 - 2，即 4x = 12。

最后除以 4 得到 x = 3，所以当 y = 14 时，x 的值为3。

4. 求函数 y = 2x^2 - 3x + 1 的最大值或最小值，并说明是最大值还是最小值。

解答：首先，可以通过计算函数的导数来确定最大值或最小值。

对函数 y = 2x^2 - 3x + 1 求导得到 y' = 4x - 3。

令 y' = 0，解得 x = 3/4。

将x = 3/4 代入原函数，得到 y = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = 7/8。

所以函数的最大值或最小值为 7/8，由于函数的二次项系数为正数，所以该值为最小值。

5. 求函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x 的零点。

解答：函数的零点即为使 y = 0 的 x 值。

将 y = 0 代入函数中，得到x^3 - 2x^2 + 3x = 0。

通过因式分解，可得到 x(x - 1)(x - 3) = 0。

因此，函数的零点为 x = 0, x = 1, x = 3。

6. 求函数 y = log2(x) 的定义域和值域。

解答：对于函数 y = log2(x)，由于对数函数的定义需满足 x > 0，所以该函数的定义域为 x > 0。

而对数函数的值域为实数集，所以函数 y= log2(x) 的值域为实数集。

实验4-函数

实验4 函数程序填空1.普通参数本题分值：4题目描述：输入日期的年份和月份，求该月有多少天。

要求编写函数int daynum(int year,int month)，求出以year为年份、以month为月份的某个月的天数。

以下是完成此项工作的程序，请在计算机上调试程序以补足其中的空格。

代码：//通过日期求某月的天数。

#include<iostream>using namespace std;int main(){int daynum(int year,int month);int y,m,d;cin>>y>>m;if(y<1900 || y>=3000 || m<1 || m>12){cout<<"输入错误!"<<endl;return 0;}d=daynum(__(1)__); //以y、m作实参调用函数，求出该月的天数cout<<"此月的天数为"<<d<<endl;return 0;}int daynum(int year,int month){int days;switch(month){case 1:case 3:case 5:case 7:case 8:case 10:case 12: days=31; break;case 4:case 6:case 9:case 11: days=30; break;case 2: if(year%4==0&&year%100!=0 || year%400==0)days=29;elsedays=28;break;}return __(2)__;}答案：(1) y,m(2) days每空分值：2参考答案：yx3-t1.cpp2.字符数组参数本题分值：4题目描述：编写一个函数，用来求字符串s的任意子串。

指数函数经典例题(标准答案)

指数函数1．指数函数的定义： y a x（a 0且a 1）的图象和性质。

a>1 0<a<1图象111性质（1）定义域： R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（ 0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函（4）在 R 上是减函指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数 f (x) x 2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x)，且 f(0) 3 ，则 f(b x)与函数 y a x（a 0且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R我们观察 y= 2x ， y= 2 ， y=10x， y= 10 图象特征，就可以得到f(c ) 的大小关系是．分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1 x) ，∴函数 f (x) 的对称轴是x 1 ．故b 2，又f(0) 3，∴ c 3．∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)；若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)．综上可得f(3x)≥ f(2x)，即f(c x)≥ f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_____ ．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ，∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数，∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ．44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1，∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ．令t 6x 2，则y 1 t ，又∵ x≤2 ，∴ x 2≤ 0．∴ 0 6x 2≤1，即0 t≤1．∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤ y 1 ．∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题例 4 函数 y a 2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间 [ 1，1] 上有最大值 14，则a 的值是．分析：令 t a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围．解：令 t a x，则 t 0，函数 y a 2x 2a x 1可化为 y （t 1）22 ，其对称轴为 t 1 ．∴当a1 时，∵x 1，1 ，∴1≤ a x ≤ a ，即 1≤t ≤ a ． aa∴当t a 时， y max2(a 1)2214 ．解得a 3 或a 5 （舍去）当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ，∴a ≤ a x≤ 1，即 a ≤ t ≤ 1， aa1 12∴ t 时， y max 1 2 14 ，aa解得a 1或a 1 （舍去），∴ a 的值是 3或1．3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例 5 解方程 3x 2 32 x80 ．解：原方程可化为 9 （3x ）2 80 3x 9 0 ，令 t 3x（t 0），上述方程可化为9t 2 80t 9 0，解得 t 9或t 1 （舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程的 9解是 x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（）．A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B ．向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C ．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数 y 9 3x5转化为t 3x 25 ，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵ y 9 3x5 3x 25 ，∴把函数 y 3x的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x5的图象，故选（ C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：1）若，比较与2） 3） 4若，比较与；若，比较与；若，且，若，且，故解：（1）由，此时函数比较 a 与 b ；，比较 a 与 b ．为减函数．由，．又，故（3）由，因，故．又而．2）由，故．从而，故．从（4）应有．因若，则．又．又因，故．从而，（5）应有．因若，则．又，故这与已知，故这样矛，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数, 和的图象, 则与1 的大小关系是( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性, 确定, 在轴右侧令, 由小到大依次为, 故应选.小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第(2) 题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3，求下列函数的定义域与值域1(1)y ＝2 x 3; (2)y ＝4x+2x+1+1.5、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，因端点较距对称．6．（9 分）已知函数 y a 2x 2a x1（a 1）在区间［－1,1］上的最大值是 14，求 a 的值.1．解： y a 2x 2a x 1（a 1），换元为 y t 22t 1（ t a ），对称轴为 t 1. a 当a 1，t a ，即 x=1 时取最大值，略解得 a=3 （a= －5舍去）7．已知函数（且（1）求的最小值；（2）若求的取值范围．．解：（ 1）时，有最小值为（ 2），解得当时，；当时，．28（10分）（1）已知 f （x ） x 2m 是奇函数，求常数 m 的值；3x12）画出函数 y |3x1|的图象，并利用图象回答： k 为何值时，方程 |3Ｘk 无解？有一解？有两解？，则原来的函数成为，故函数最小值为轴远，故函数的最大值为）解：（1）常数 m=1（2）当k<0时，直线y=k 与函数 y |3x1|的图象无交点 ,即方程无解;当k=0或k 1时, 直线y=k 与函数 y |3 1| 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y |3x 1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

4函数零点

函数零点专题1．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数．2．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．3．若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）﹣1在[﹣2π，0]上零点的个数为．4．若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3的零点有且只有一个，则实数a=．5．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是．6．已知函数f n（x）=lnx﹣n+5的零点为a n（其中n=1，2，3…），数列{a n}的前k项的积为T k（k＞1，k∈N），则满足T k=a k的自然数k的值是．7．设k∈R，x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为8.已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．9．若方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，10]内零点的个数为．11.若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是．12．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，则a的取值范围为．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．14．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是．15．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．16．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．17．已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．18．判断函数f(x)＝lnx－1x在区间(1,3)内是否存在零点．19．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log19x)≥0的x的取值集合．函数零点专题答案1．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数1．【解】∵函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点个数∴转化为方程lnx=6﹣2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：由图象可得两个函数只有一个交点．故填1．2．若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1]．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．3．若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）﹣1在[﹣2π，0]上零点的个数为1．【解】解：化简可得f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），又∵|α﹣β|的最小值为，∴==，T为函数周期，∴ω=，∴g（x）=f（x）﹣1=2sin（x+）﹣1，令2sin（x+）﹣1=0可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，k∈Z，解得x=3kπ﹣或x=3kπ+，k∈Z，结合x∈[﹣2π，0]可知当且仅当k=0时，有x=﹣符合题意．故答案为：1．4．若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3的零点有且只有一个，则实数a=．【解】：对于函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3∵f（﹣x）=f（x）∴f（x）为偶函数∴y=f（x）的图象关于y轴对称由题意知f（x）=0只有x=0一个零点，即4a2﹣3=0，解可得a=±；又由x＞0时，f（x）=x2+2ax+4a2﹣3，其对称轴为x=﹣a，必有x=﹣a≤0，故a=故答案为：5．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是．【解】：因为不等式等价于（﹣k+4）x2﹣4x+1＜0，其中方程（﹣k+4）x2﹣4x+1=0的△=4k＞0，且有4﹣k＞0，故0＜k＜4，不等式的解集为，又，则一定有1，2为所求的整数解集，所以，解得k的范围为．故答案为：6．已知函数f n（x）=lnx﹣n+5的零点为a n（其中n=1，2，3…），数列{a n}的前k项的积为T k（k＞1，k∈N），则满足T k=a k的自然数k的值是10．【解答】解：由f n（x）=lnx﹣n+5=0，得lnx=n﹣5，即x=e n﹣5，则a n=e n﹣5，则T k=a1a2…a k=，若T K=a K，则，即，解得k=10或k=1（舍去），故答案为：10．7．设k∈R，x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为1【解】：∵x1，x2是方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实数根△=（2k）2﹣4（1﹣k2）=8k2﹣4≥0即;又∵x1+x2=2k，x1•x2=1﹣k2∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6k2﹣2≥1;故x12+x22的最小值为1故答案为：18.已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【解】：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）9．若方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围【解】：由于方程x2+ax﹣2=0有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1•x2=﹣2＜0，故方程x2+ax﹣2=0在区间[1，5]上有唯一解．设f（x）=x2+ax﹣2，则有f（1）f（5）≤0，即（a﹣1）（5a+23）≤0，解得：≤a≤1，10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，10]内零点的个数为14．【解】：作出区间[﹣5，10]上的两个函数的图象，y轴右边最后一个公共点是（10，1）y轴左边有四个交点，y轴右边是9个交点，y轴上有一个交点，总共是14个交点．故应填14．11.若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是（0，4）．解：由题意可知，解得x＞﹣1且x≠0，由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）2，可得kx=（x+1）2，变形可得k==x++2，（x＞﹣1且x≠0）由“对号函数”的性质可知x+＜﹣2，或x+≥2，∴x++2＜0，或x++2≥4，要使函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，只需k取x++2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，当k=0时，函数无意义，故k的取值范围应为：（0，4）故答案为：（0，4）12．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，则a的取值范围为．【解】：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．故a≥1或a≤﹣．13．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．【解】：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：114．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是3．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b，且x 1，x 2是方程3x 2+2ax+b=0的两根，不妨设x 2＞x 1，由3（f （x ））2+2af （x ）+b=0，则有两个f （x ）使等式成立，x 1=f （x 1），x 2＞x 1=f （x 1），如图所示：有3个交点，故答案为：3．15．已知对于任意实数x ，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．【解】设x 0为其中一根，即f(x 0)＝0，因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x 0)＝f(x 0)＝0，即－x 0也为方程一根，又因为方程f(x)＝0有2 009个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 009个实数解之和为0.【答案】 016．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．【解析】分别作出函数f(x)=3-2-x 与函数g(x)=x2的图象，如图所示． ∵f(0)=2，g(0)=0，∴从图象上可以看出它们有2个交点．【答案】 2 17．已知函数f(x)＝3x －x 2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．【解析】 ∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0，f(0)＝30－02＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0.又函数f(x)在[－1,0]上的图象是连续曲线，∴方程f(x)＝0在[－1,0]内有实根．又函数f(x)＝3x －x 2在[－1,0]上是增函数，∴方程f(x)＝0在[－1,0]上只有一个实数根．18．判断函数f(x)＝lnx －1x 在区间(1,3)内是否存在零点．【解】因为函数f(x)＝ln x －1x 的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线，且f(1)＝－1<0，f(3)＝ln 3－13>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1,3)内存在零点．19．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log 19x)≥0的x 的取值集合．【解】 ∵－12是函数的一个零点，∴f(－12)＝0.∵y ＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递增，∴当log 19x ≤0，即x ≥1时，log 19x ≥－12，解得x ≤3.即1≤x ≤3.由对称性可知，当log 19x>0时，13≤x<1.综上所述，x 的取值范围为[13，3].。

高等数学教材四答案完整版

高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。

1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。

1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。

2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。

3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。

第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。

必修4第一章三角函数同步练习及答案

第一章三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。

实变函数论课后答案第四章4

实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设()()n f x f x ⇒于E ，()()n g x g x ⇒于E ，证明：()()()n n f x g x f x g x +⇒+于E证明：0ε∀>，[||()()(()())|][||()()|][||()()|]22n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εεε+-+≥⊂-≥⋃-≥ A B εε⋃（否则，若[||()()(()())|n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥，而x A B εε∉⋃，()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|22n n f x f x g x g x εε⇒-<-<|()()(()())||()()||()()|22n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x εεεε⇒≤+-+≤-+-<+=矛盾），则[||()()(()())|][||()()|][||()()|]022n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε+-+≥≤-≥+-≥→（()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒）从而()()()()n n f x g x f x g x +⇒+ 2．设|()|n f x K ≤.a e 于E ，1n ≥，且()()n f x f x ⇒于E ，证明|()|f x K ≤.a e于E证明：由本节定理2（Riesz 定理）从()()n f x f x ⇒知∃{}()n f x 的子列{}()kn fx 使()lim ()k n k f x f x →∞=.a e 于E设A E ⊂，(\)0m E A =，()()kn f x f x →于A ，从条件|()|kn f x K ≤.a e 于E ，设k n B E ⊂，(\)0k n m E B =,|()|k n f x K ≤.a e 于k n B 上令1()kn k B B A +∞==⋂ ，则B K ⊂，且11(\)()(()(())k k ccccc n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞+∞===⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂111()()(\)(\)00k k ccn n k k k m E A m E B m E A m E B +∞+∞+∞===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑故(\)0m E B =,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂，则|()|k n f x K ≤令k →∞，|()|f x K ≤故x B ∀∈有|()|f x K ≤，从而命题得证 3．举例说明mE =+∞时定理不成立解：取(0,)E =+∞，作函数列1(0,](){0(,)n x n f x x n ∈=∈+∞ 1,2,n =显然()1n f x →于E 上，但当01ε<<时[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞，[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞不0→故mE =+∞时定理不成立，即n f f →.a e 于E 不能推出()()n f x f x ⇒于E周民强《实变函数》P108Th2.25 若:n n T R R →是非奇异线性变换，n E R ⊂，则**(())|det |()m T E T m E =⋅ （2.8）|det |T 表示矩阵T 的行列式的绝对值.证明：记{}012(,,,);01,1n i I x i n ξξξξ==≤<≤≤{}12(,,,);02,1k n i I x i n ξξξξ-==≤<≤≤显然0I 是2nk 个I 的平移集{}j I x +（1,2,2nk j = ）的并集，0()T I 是2nk个{}()j T I x +（1,2,2nk j = ）的并集，且有{}{}***()()()j j m T I x m TI T x m TI +=+=，{}()()j mT I x m TI += 1,2,2nk j =现在假定（2.8）式对于0I 成立00(())|det |()|det |m T I T m I T =⋅= （2.9）则 0|det |(())2(())nk T m T I m T I ==因为()2nk m I -=，所以得到()2|det ||det |()nk m TI T T m I -=⋅=⋅这说明（2.8）式对于I 以及I 的平移集成立，从而可知（2.8）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体0a ∀>，{}12(,,,);0a n iI x a ξξξξ==≤< 000(())()|det()|()|det ||det ||det |()n a m T I m T aI T aE m I T aE a T m I =⋅=⋅== 0|det |()|det |()aT m aE I T m I =⋅=）对一般开集G ，1i i G I +∞== ，i I 为二进方体，i I 互补相交则111()()()|det |()|det |i i i i i i m TG m TI m TI T m I T mG +∞+∞+∞=======∑∑T 1-1 1i i TG TI +∞== ，T 连续，1T -连续 G 开，则()T G 开，从而可测于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（2.8）式成立设G 为有界G δ集1i i G G +∞== ，i G 开，1nn i i S G == ，则n S 开，1n n G S +∞== 且不妨设11S G =有界，否则令1S G U =⊂ U 有界，令 1G G U =⋂即可. 1T -连续，则i TG 开，n TS 开，TG 可测（1n n T G T S +∞== ），12TS TS ⊃⊃ ，12n S S S ⊃⊃⊃⊃故1()()lim ()lim |det |()n n n n n n m TG m TS m TS T m S +∞→+∞→+∞====⋅1|det |lim ()|det |()|det |n n n n T m S T m S T mG +∞→+∞==== （n S 开）若G 为无界G δ集，令{};||m E x x m =<，则1m m G G E +∞==⋂ ，m G E ⋂为有界G δ集1()(())lim (())m m n m m TG m T G E m T G E +∞→+∞==⋂=⋂1lim |det |()|det |lim ()|det |()|det |m m m n n m T m G E T m G E T m G E T mG+∞→+∞→+∞==⋅⋂=⋂=⋂= n E R ∀⊂，T 线性，则n E R ∀⊂若0mE =，则(())0m T E =（后面证） n E R ∀⊂，则由注释书P69定理3，存在G δ集G E ⊃，*mG m E =，若E 有界，*m E <+∞则*(\)0m G E =，故**0((\))(\))m T G E m TG TE == （T 1-1）****()(\))()0()()m TG m TG TE m TE m TE m TG ≤+=+≤则*()()m TE m TG =，故**()()|det ||det |m TE m TG T mG T m E ===若E 无界，{};||m E x x m =<则1m m E E E +∞==⋂ ，m E E ⋂****1()(())lim (())lim |det |()m m m n n m m TE m T E E m T E E T m E E +∞→+∞→+∞==⋂=⋂=⋂**11|det |lim ()|det |()|det |(())m m m n m m T m E E T m G E T m E E +∞+∞→+∞===⋂=⋂=⋂*|det |()T m E =:n n T R R ∀→线性，若*()0m E =，则*()0m TE =证明：(0,,1,0,,0)n i e R =∈ 为n R 的基，()i i T e x =，n x R ∀∈，12(,,,)n x ξξξ= ,1122n n Tx x x x ξξξ=+++ ,令1221(||)i i M x +∞==∑，则112222112211|()|||||||||||||(||)(||)||nnn n i i i i T x x x x x M x ξξξξ==≤+++≤=∑∑则|()()|||,,n T x T y M x y x y R -≤-∀∈（即T 是Lipschitz 连续的）∀一边平行于坐标平面的开超矩体{}121122(,,,),(,)(,)(,)n i i i n n I x a b a b a b a b ξξξξ==<<=⨯⨯⨯ 于12n I I I ⨯⨯⨯ 221()(||)n ni i i diamI b a +∞==-∑12n TI TI TI TI =⨯⨯⨯ ，(,)i i i I a b =开，1T -连续，则i TI 是1R 中开集从而可测，从而12TI TI ⨯是2R 中可测集，由归纳法知12n TI TI TI ⨯⨯⨯ 是可测集若（2.9）式成立*0()|det |()o m TI T m I =，则∀矩体{},i i iI x a b ξ=<< ， 1ni i I I == ，iI 为正方体，则对开集G 也有()|det |()m TG T m G =，特别对开区间{},i i i I x a b ξ=<<这一开集有*()|det |()m TI T m I =则可知n E R ∀∈，若*()0m E =，则*()0m TE =事实上，0ε∀>，{}1i i I +∞=∃开区间，1i i E I ∞=⊂ ，1||i i I ε∞=<∑****111()(())()()i i i i i i m TE m T I m TI m TI ∞∞∞===≤=≤∑111|det |()|det |()|det ||||det |i i i i i i T m I T m I T I T ε∞∞∞======<∑∑∑令0ε→知*()0m TE =若（2.9）成立，则T 将可测集映为可测集，还要看（2.8）证明过程是否用到T 将可测集映为可测集或*()0m E =推出*()0m TE =这一性质！下面证（2.9）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积（i ）坐标12,,,n ξξξ 之间的交换（ii ）11,i i ξβξξβξ→→ (2,,)i n = (iii) 112,i i ξξξξξ→+→ (2,,)i n = 在（i ）的情形显然00|det |1,T TI I ==（2.9）成立在（ii ）的情形下，T 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以β而得到{}1211()(,,,),01,2,3,,,0(0),0(0)o n i T I x i n ξξξξξβββξβ==≤<=≤<><≤< 当当从而可知0(())||m T I β= （2.9）式成立在（iii ）的情形，此时det 1T = （1100010000100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦）而且{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ==≤<≠≤-< X （{}{}00122();,(,,,),01,1n i T I y x I y Tx i n ξξξξξ=∃∈==+≤<≤≤01221221(),(,,,),01,01n i y T I y ξξξξξξξξξ∀∈=+≤<≤+-=<则{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ⊂=≤<≠≤-< 反过来，12(,,,)n y X ξξξ∀=∈ ，01(1)i i ξ≤<≠则1201ξξ≤-<令122(,,,)n x ξξξξ=- 则0x I ∈，12(,,,)n Tx y ξξξ==则0()y T I ∈，0()X T I ⊂ ）记{}1201(,,,)(),1n A x T I ξξξξ==∈< {}012()(,,,),01(1)n i T I x i ξξξξ==≤<≠10(1,0,,0),()\e B T I A == ，则{}12021(,,,),n A x I Y ξξξξξ==∈≤ {}112012$,,,),n B e x I C ξξξξξ==∈<（12(,,,)n x Y ξξξ∀=∈ ，则01,1i i n ξ≤<≤≤，21ξξ≤，则12001,()x T I ξξ≤-<∈，且11ξ<，则x A ∈反过来，y A ∀∈，则存在120(,,,)n x I ξξξ=∈ ，01i ξ≤<，使122(,,,)n y Tx ξξξξ==+ ，12001,y I ξξ≤+<∈，且212,y YOK ξξξ≤+∈！1y B e ∀∈-，存在00()\z T I A ∈，使1\y z e =， 0x I ∃∈，122(,,,)01n i z Tx ξξξξξ==+≤<121z A ξξ∉+≥，，1122\(1,,,)n z e ξξξξ=+- ， 12210011,\z e I ξξξ≤+-≤<∈1221111,\y z e C ξξξξ+-≤⇔<=∈反过来，y C ∀∈，12012(,,,),,01,1n i y I i n ξξξξξξ=∈<≤<≤≤112(1,,,)n z y e ξξξ=+=+ ,则 1212011(,01)i ξξξξξ≤-+<<≤<则0()z T I ∈，又10111,()\,\,z A z T I A B z e y z B ξ+≥∉∈==∈，则11\,\,y B e C B e C B ∈∈=得证）由此得到0011(),{(),()T I A B A B I A B e A B e =⋃⋂=∅=⋃-⋂-=∅010(())($1|det |m T I mA mB mA m B e mI T =+=+===故（2.9）式成立这里用到A，B可测，(),(,)(,)(A TIHH =⋂=-∞+∞⨯-∞+∞，0()T I 可测，H 开，则A 可测，0()\T I A B =可测故还是需要：若:n n T R R →为非奇异线性变换，则Borel ∀集n E R ⊂，()T E 是可测集，从而∀方块I ，()T I 可测，0()T I 可测有了，这就有（2.9），从（2.9）知T 将零测集E 变为零测集，从而有T 将可测集变为可测集1:n f R R →可测11()BorelB R f B -⇔∀⊂为可测集（江则坚P109习题10）现设:n n f R R →连续，则∀开集n O R ⊂，1()f O -是开集，记{}1|()n n B R f B R -=⊂是中的可测子集1B ，可证1B 是一个σ-代数，且包含全部开集，从而包含全部Borel 集证1）1()f -∅∈∅=∅，1B 可测2）若A ∈1B ，则1111()()()()c n n f A f R A f R f A ----=-=-显然也可测，c A ∈1B3）若,(1,23,)i A i ∈= 1B ，则i ∀，1()i f A -可测，1111()()i i i i f A f A +∞+∞--=== 可测1B 是σ-代数 f 连续，则1()open Of O -∀∈1B ，1B 包含全部开集，从而包含全部Borel 集:n n T R R →为非奇异线性，1T -显然连续I ∀方体半开半闭（显然为Borel 集），11()T I TI --=可测 1[,)n i i i I a b ==∏为Borel ，111[,)ni i i m I a b m+∞===-∏ 事实上，0ε∀>从()()mkm m n f x g x →（当k →+∞）知00(,)N N m ε∃=，使当0k N ≥时|()()|m km m n f x g x ε→<而当0m a x (,(,))k m N m ε≥时，k mk k n n ≥，故|()()|k km m n f x g x ε→< （kkn 是{}1m k k n+∞=的子列中的一个元，故,m kk m k k l n n +=，0l ≥则0(,)k N m ε≥时,0m k k l N +≥ 则,|()()||()()|k mkk l m km m m m n nf xg x f x g x ε+→=→<）()k m f x 收敛于1()m g x R ∈，即k f 在E 上收敛.若条件改为：F 是一族一致有界的[,]a b 上的函数族，则结论成立令{}123,,,[,]E x x x a b =⊂ 则0,|()|,[,]M f x M x a b ∃>≤∀∈， {}11()|x f x f =∈F F ，则1x F 是1R 中的有界集，由聚点原理∃一列n f ∈F 和1()g x R ∈，11()()kn f g x n →→∞同样令{}11(2)2()|1,2,kx n f x k == F （n f 为上述取定的一列n f ∈F ）故12|()|kn f x M ≤，由聚点原理，存在1kn f 的子列2kn f 和1()g x R ∈（21k k n n k ≥≥）使22()kn f g x →，由此用归纳法可作出m N ∀∈，{}1mkn k f +∞=⊂F （m kn f 为1m kn f -的子列）使1()m km n f g x R →∈令k kk n f f =，则n f ∈F 且m ∀有()k km n f g x →故由Berstein 定理即知(0,1)B C c ≤≤=，C c =方法②建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集A 和(0,1)上一切无尽九进位小数之集B 之间的一一对应.集A 中每个十进位小数对应B 中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而A 中不含7，将9 7，而其他不动）显然(0,1),B c A c === 周民强书P35思考题：6．设F 是定义在[,]a b 上的实值函数族，[,]E a b ⊂是可数集，则存在n f ∈F （1,2,n = ）使得{}()n f x 在E 上收敛.我怀疑本题有错：若不假设F 是[,]a b 上一致有界的，会有反例：令[,]a b =[0,1]，设{}|1,2,m f m == F 这里(),[,]m f x m x a b =∀∈，则显然任取无穷个(1,2,)()kkk n n f k f x n ∈==→+∞ F 于[,]x a b ∀∈，故()n f x 不会收敛！0a =时，{}111|lim ()0[|()]n j n k n i n j iE x f x E x f x k +∞+∞+∞+∞→∞====>=>故还有：[|lim ()][|lim(())][|lim(())]n n n n n n E x f x a E x f x a E x f x a →∞→∞→∞<=--<=->- 111111[|()][|()]j j k n i n j ik n i n j i E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞=========->-+=<-鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势？证明：①从江则坚CH1§4.3题知2N c =，且从证明中知2N A ∀⊂与之1-1对应的是(1)(2)0.(0,1)A A χχ∈ ，故(0,1)中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合，(0,1)B 满足(0,1)2N B c ==，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集C 满足(0,1)B C ⊂⊂附加题：徐森林书P15.8设()(1,2,)i f x i = 为定义在n R 上的实函数列，适用点集 1{|()},1,2,i x f x i j j ≥= 表示点集[|lim ()0]n n x f x →∞> 证明：江则坚书第一章第一节习题8：若()()n f x f x →于E ，则1a R ∀∈有11[|()]liminf [|()]n k E x f x a E x f x a k +∞=≤=≤+ 111111[|()]liminf [|()][|()]cn i k k k n i n E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞=====⎛⎫>=≤+=>+ ⎪⎝⎭ 即111[|lim ()][|()]n i n k n i n E x f x a E x f x a k+∞+∞+∞→∞===>=>+ 另一方面，{}()n f x ∀易知{}|sup ()[|()]m m m n m n E x f x a E x f x a +∞≥=>=> 故{}1|lim ()[|inf sup ()]n m n n m n E x f x a E x f x a →∞≥≥>=> 111111[|limsup ()][|sup ()][|()]m m m n m n m i k n i n k n i n m i E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞→∞≥≥========>=>+=>+思考:若A 不可测, B 也不可测,且(,)0A B ρ>,则A B ⋃不可测? ((,)0A B ρ=显然不对, 1,,(,)0,R Q B R Q R Q R R ρ===⋃=可测至少当,A B 有一个有界时,结论是对的? 若存在开集G 使G A ⊂,G B ⋂=∅,不妨设A 有界, mG <+∞,则若A B ⋃可测,则****(())(())()c mG m G A B m G A B m A m G A =⋂⋃+⋂⋃=+- )。

C语言练习4(函数)=参考答案

C语言（函数，变量作用范围）一、选择题1 下列定义不正确的有 ( C ) 。

A）#define PI 3.141592 B）#define S 345C）int max(x,y); D）char c;int x,y ;{ }2 下列程序结构中，不正确的是 ( B )。

A）main() B） main(){float a,b,c; {float a,b,c;scanf("%f,%f",&a,&b); scanf("%f,%f",&a,&b);c=add(a,b); c=add(a,b);...... .....} }int add(float x,float y) float add(float x,float y) { ... } { ... }C）float add(float x,float y); D）float add(float x,float y) main() { ... }{float a,b,c; main()scanf("%f,%f",&a,&b); {float a,b,c;c=add(a,b); scanf("%f,%f",&a,&b);...... c=add(a,b);} .....float add(float x,float y) }{ ... }3 一个C语言的程序总是从( A )开始执行的.A)main函数B)文件中的第一个函数C)文件中的第一个子函数调用D)文件中的第一条语句4 以下正确的函数定义是( D ).A）double fun(int x,int y){z=x+y; return z；}B) double fun(int x,int y);{int z;z=x+y; return z；}C) fun(int x,y){int z; return z；}D) double fun(int x,int y){double z;z=x+y; return z；}5 以下正确的函数声明形式是( D ).A） double fun(int x,int y)B) double fun(int x;int y)C) double fun(int ,int )D) double fun(int ,int );6 以下说法中正确的是( A )在C语言中A）实参与其对应的形参各占用独立的存储单元B）实参与其对应的形参占用同一个存储单元C）只有当实参与形参同名时才占用同一个存储单元D）实参占用存储单元，但形参是虚拟的，不占用存储单元7 设有如下函数定义：int f(char *s){ char *p=s ;while(*p!='\0') p++;return(p-s) ;}如果在主程序中用下面的语句调用上述函数，则输出结果为( A ). printf("%d\n",f("goodbye!"));的输出结果是A) 3 B) 6 C) 8 D) 08 下面程序段中，主函数中变量a被初始化为 ( C )。

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本章要求1．掌握函数的定义、说明和调用的方法；2．理解函数、形参、实参、作用域、生命期的概念；3．理解全局变量、局部变量的概念；4．掌握递归函数的编写规则及执行过程；5．掌握预处理命令的使用。

一、选择题1．以下正确的函数定义形式是（A）。

A)double fun（int x，int y）B)double fun（int x；int y）C)double fun（int x，int y）；D)double fun（int x，y）2．以下不正确的说法是（B）。

c语言规定A)实参可以是常量、变量或表达式；B)形参可以是常量、变量或表达式；C)实参可以为任意类型；D)形参应与其对应的实参类型一致；3．以下正确的说法是( C )。

A)定义函数时，形参的类型说明可以放在函数体内B)return后边的值不能为表达式C)如果函数值的类型与返回值的类型不一致，以函数值的类型为准D)如果形参与实参的类型不一致，以实参的类型为准4．C语言规定，简单变量作实参时，它和对应的形参之间的数据传递方式是( B )。

A)地址传递B)单向值传递C)有实参传递给形参，再由形参传回给实参D)由用户指定传递方式5．······6．C语言中函数的返回值的类型由（D）决定。

A)return语句中的表达式B)调用该函数的主调函数类型C)调用函数时临时决定D)定义函数时所指定的函数类型7．C语言中的函数（D）A)可以嵌套定义B)不可以嵌套调用C)可以嵌套调用，但不可以递归调用D)嵌套调用和递归调用均可8．以下程序有语法错误，有关错误原因的正确说法是（ C ）。

main（）{ int G=5，k；void prt_char（）；…… k=prt_char（G）；…… }A)语句void_char（）；有错，它是函数调用语句，不能用void说明B)变量名不能使用大写字母C)函数说明和函数的调用语句之间有矛盾D)函数名不能使用下划线9．用宏替换计算多项式2*x*x-x+10，正确的宏定义是（B）。

A）#define calculx(x) 2*x*x-x+10B) #define calculx(x) (2*(x)*(x)-(x)+10)C) #define calculx (2*(x)*(x)-(x)+10)D) #define calculx 2*x*x-x+1010．若a, b, c, d, t为整型变量，则执行下一程序段后结果为（ C） #define MAX(A,B) (A)>(B)?(A): (B)#define PRINT(Y) printf(“Y=%d\n”,Y)......a=1;b=2;c=3;d=4;t=MAX(a+b, c+d) ;PRINT(t) ;A) Y=3 B) 存在语法错误 C) Y=7 D) Y=011．以下叙述中正确的是（ C ）。

A) 在程序的一行上可以出现多个有效的预处理命令行。

B) 使用带参的宏时，参数的类型应与宏定义时的一致。

C) 宏替换不占用运行时间，只占用编译时间。

D) 在以下定义中C R是称为“宏名”的标识符。

#define C R 04512．以下程序的运行结果是（ B ）。

#define MIN(x,y) (x)<(y)?(x):(y)main(){ int i=10,j=15,k；k=10*MIN(i,j)；printf("%d\n",k)；}A) 10 B) 15 C) 100 D) 15013．若有宏定义如下：#define X 5#define Y X+1#define Z Y*X/2则执行以下printf语句后，输出结果是（D）。

int a;a=Y;printf("%d\n",Z);printf("%d\n",--a);A) 7 B) 12 C) 12 D) 76 6 5 514．请读程序：#include <stdio.h>#define MUL(x,y) (x)*ymain(){int a=3,b=4,c;c=MUL(a++,b++);printf("%d\n",c);}上面程序的输出结果是（）。

A) 12 B) 15 C) 20 D) 1615．对下面程序段：#define A 3#define B(a) ((A+1)*a)...x=3*(A+B(7));正确的判断是（）。

A）程序错误，不许嵌套宏定义B) x=93C) x=21D) 程序错误，宏定义不许有参数16．以下正确的描述是（）。

A) C语言的预处理功能是指完成宏替换和包含文件的调用B) 预处理指令只能位于C源程序文件的首部C)凡是C源程序中行首以"#"标识的控制行都是预处理指令D) C语言的编译预处理就是对源程序进行初步的语法检查17．在"文件包含"预处理语句的使用形式中，当#include后面的文件名用< >(尖括号)括起时，找寻被包含文件的方式是（C）。

A) 仅仅搜索当前目录B) 仅仅搜索源程序所在目录C)直接按系统设定的标准方式搜索目录D) 先在源程序所在目录搜索，再按照系统设定的标准方式搜索18. 下列程序的运行结果是（）#include<stdio.h>#define F(x) 2.84+x#define w(y) printf("%d",(int)(y))#define P(y) w(y); putchar('\n')void main(){int x=2;P(F(5)*x);}A）12 B) 13 C) 14 D) 16二、写出下列程序的运行结果1．以下程序的输出结果是__20 _。

main（）{ float x,y,z,r;x=6.0,y=6.0,z=8.0;r=func（（x- -,y++,x+y）,z- -）;printf（“%f\n”,r）;}float func（float a,float b）{ float c;c=a+b;return c;}2．有以下程序，其输出结果是不确定。

main（）{ int x,y,z,r;x=1,y=2;try（x,y,z,r）;printf（“%d\n”,r）;}try（int x,int y,int z,int r）{ z=x+y;x=x*x;y=y*y;r=z+x+y;}3．分析以下程序，写出输出结果。

mma（int a,int b）{ int c;a+=a; b+=b;c==mmb（a,b）;return c*c;}mmb（int a,int b）{ int c;c=a*b%3;return c;}main（）{ int x=11,y=19; printf（“%d\n”,mma（x,y））; //4 }4．#include<stdio.h>void num（）{ extern int x,y; int a=15,b=10;x=a-b;y=a+b;}int x,y;main（）{ int a=7,b=5;x=a+b;y=a-b;num（）;printf（“%d,%d\n”,x,y）; //x=5, y=25}5．写出以下程序的运行结果。

#include<stdio.h>main（）{ int k=4,m=1,p;p=func（k,m）;printf（“%d,”,p）; //8p=func（k,m）;printf（“%d\n”,p）; //17}func（int a,int b）{ static int m=0,i=2;i+=m+1;m=i+a+b;return（m）;}6．写出下面程序的运行结果：main（）{ int i=5;printf（“%d\n”,sub（i））; //15}sub（int n）{ int a;if（n==1） return 1;a=n+sub（n-1）;return（a）;}7. 写出下面程序的运行结果main(){ printf(“%d”,fun(5)); }//1fun(int n){ if(n==1) return 1;else n-fun(n-1);}答案：n-fun(n-1)的值并没有利用，返回值为1。

8．写出下面程序的运行结果：fun(int x){ if(x/2>0) fun(x/2);printf(“%d”,x);//136}main(){ fun(6);}9．写出下面程序的运行结果：void fun(int x){ putchar(‘0’+(x%10)); //43210if(x!=0) fun(x/10); return;}main( ){ printf(“\n”);fun(1234);}10．写出下面程序的运行结果：func(int a, int b){ return a+b;}main(){ int x=6, y=7,z;z=func(func(x++,y++), func(－－x,－－y));printf(“%d”, z); //22}答案：函数参数处理从右相左。

11．以下程序运行后输出x的值是1，y的值是 2 。

int x=1;main(){ int y, k;y=f(3); printf(“%d\n%d”, y,x);}int f(int x){ if(x==3){ int x=2;return x;}else return x;}12．写出下面程序的运行结果：#define T(x,y,z) x*y*z/4main( ){ int a=1, b=3, c=5;printf(“%d”,T(b+a, a*++b,a+b+c));//13}答案：T(b+a, a*++b,a+b+c)展开成 :b+a*a*++b*a+b+c/4 (此时先求++b=4)=4+1*1*4*1+4+5/4=4+4+4+1=1313．#define N 3#define Y(n) ((N+1)*n)则执行语句z=2*(N+Y(5+1))；后z的值是48 。

14．写出下面程序的运行结果：#include<stdio.h>int f(int a[], int n){ if(n>1) return a[0]+f(a+1, n-1);else return a[0];}main(){ int aa[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},s;s=f(aa+2,4);printf("%d\n",s);}15.三、编程题1．已有变量定义和函数调用语句：int x=57 ；isprime(x)；函数isprime( ) 用来判断一个整形数a是否为素数，若是素数，函数返回1，否则返回0。