最新-高中数学 31不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5 精品

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高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5

思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？

a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6：若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn

人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系

推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0，即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不等式与不等关系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对

高中数学必修五课件：3.1-1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)

8
§3.1 不等关系与不等式
9
第1课时不等关系与比较大小
10
11
1．含有不等号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
的式子
叫不等式．若；aa，≤bb是即a>b两为或a实＝b数，. 那么aa<≥b或ba即＝b为
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比大左边点对应的实数
．
12
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b有三且仅种
解：列不等式组，涉及到“至”、“至多”问题，要用到“≥”
或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)． y＋z≥55
22
[例 2] 比较 3＋ 5与 4 的大小． [分析] 要比较 3＋ 5与 4 的大小，直接作差后很难判定差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可第二次平方相减判断符号． [解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)，又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
27
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋＋11，当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， ∴aa32＋＋11>1.∴logaaa32＋＋11>0；当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， ∴aa32＋＋11<1.∴logaaa32＋＋11>0. 综上可得 p－q>0，∴p>q.
2
事实上，要解决上述问题，需要用到本章的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通过具体问题情境，使我们感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，然后提出如何用不等式研究及表示不等关系，最后给出了不等式的九条基本的性质；

广东省佛山市中大附中三水实验中学高一数学《3.1.1不等关系与不等式的性质》课件新人教A版必修5

b a b 0 作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是
推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
因式分解、配方、通分等手段
作差
变形
判断
结论
比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b 作差
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
变形
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b 定符号 ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
从表格中你能获得什么信息？用数学关系来反映就是：
f≥2.5%
p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
学生活动
雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
∴bm b 0∴bm b
am a
am a

新人教A版数学必修5课件：3.1 不等关系与不等式

(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.
解: (2)设原来的糖水 b1 克,含糖 a1 克,易知浓度为 a1 ; b1
加糖后的糖水 b2 克,含糖 a2 克,易知浓度为 a2 , b2
则混合后的浓度为 a1 a2 , b1 b2
课堂探究
题型一用不等式来表示不等关系【例1】配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应满足的不等关系式.
第三章不等式 3.1 不等关系与不等式
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.
自主学习
知识探究
1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、 ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. (2)不等式的分类在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异向不等式b ≥0,所以 a + b ≥ a + b .
ab
ba
法二 (平方后作差):( a + b )2= a2 + b2 +2 ab , b a ba

高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5

为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________．解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒．解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b，则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．

人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件

②展示开始时非展示同学可
继续小声讨论，或翻阅学案、课本，进一步思考； ③展示快结束时，迅速浏览
展示内容，认真比对，准备点评、补充、质疑、追问。
人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件
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例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式 (px+qy)2与px2+qy2的大小.
自主小结：
（1）用不等式（组）表示不等关系：（2）比较大小的方法：
人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件
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当堂检测： 1.一辆汽车原来每天行驶 xkm，如果它每天多行驶 19km，那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200km；如果它每天比原来少行驶 12km，那么行驶同样的路程 s 所学时间就超过 9 天。列出未知数 x 所满足的不等式（或不等式组）。
高中数学人教版必修5第三章第一节
3.1.1不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
B
A
远横近看高成低岭各侧不成同峰
，
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系
长短
高矮
轻重
大小
你能举出我们数学中的一些不等关系吗？
那么在数学中我们是用什么来表示不等关系的呢？
2.比较 x3 与 x2 x 1的大小。（提示：根据 x 取
值范围的不同，分类讨论）
人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件
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作业：1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案

新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.1不等关系与不等式(二)

2. 回答下列问题：
(1)如果a＞b, c＞d, 是否可以推出ac＞bd?
举例说明；
(2)如果a＞b, c＜d, 且c≠0, d≠0, 是否可
以推出
?举例说明.
ab cd
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立嘚是 (C)
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1
b
a
B. a 1 b 1
讲授新课
常用嘚基本不等式嘚性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式嘚可乘性)
讲授新课
常用嘚基本不等式嘚性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式嘚可乘性)
(6) a b 0,n N ,n 1 an bn,n a n b
(可乘方性、可开方性)
3.1 不等关系与不等式(二)
主讲老师：
复习引入
1. 比较两实数大小嘚理论依据是什么?
2. “作差法”比较两实数嘚大小嘚一般步骤?
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是什么?
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.
基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号嘚方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.

新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的性质

第1课时不等式的性质及比较法证明不等式
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形 ——与1比较大小.
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课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系为A____B. ＞
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5

D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系．【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ，又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ，即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小．【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x；当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.

高中数学第三章不等式3.4基本不等式(第2课时)课件新人教A版必修5

4 1 9 ( 2)已知a b 0, a b 1, 则的最小值为 ___ a b 2b
方法点拨:常数“1”的代换
例题讲解
1 4 例3.对任意的 (0, ),不等式 2 2x 1 2 2 sin cos 恒成立 ,则实数 x的取值范围是 ( D ) A. 3,4 B.0,2 3 5 C . , 2 2 D. 4,5
a7 a6 2a5 , 若存在两项 am , an , 使得 am an 4a1 , 1 4 3 5 9 25 则的最小值为 ( A ) A. B. C . D. m n 2 3 4 6
变题
改条件 am an 2a1，则最小值在计算时有何不同？
课堂小结
基本不等式
ab 若a , b 0, 则 ab (当且仅当 a b时, 等号成立 ) 2
基本不等式及其应用的运用的原则：（1）结构为王（2）配凑变形为辅（3）成立条件保障
（备用例题）
1.设已知实数a, b R, 若a 2 ab b 2 3, 则 (1 ab) 2 的值域为_______ 2 2 a b 1
作业：
配套练习
例题讲解例1. 试着构造一个最小值为2的函数, “□”内可填入常数或是x相关的式子
f ( x)

x 2
2
x 1
( x 1)
x 1 2 f ( x) ( x 1) 2 x 1 x f ( x) x 2 ( x 1) x 1 x2 f ( x) 2( x 1) x 1

例题讲解
例4.关于x的二次不等式 ax2 2 x b 0的解集为 1 a 2 b2 2 2 的最小值为 ________ x x , 且a b, 则 a ab

高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修

2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________．【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ，化简得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把��+2��叫做 a,b 的算术平均数,把 ��叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1��2≥2 3��·1��2=2 36=12. 当且仅当 3x=1��2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ��=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
��+�� 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
��.
2.填空: 基本不等式与最值已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.