人教A版高中数学必修四课件：第一章任意角

探究点一 角的概念的推广 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点
出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围， 也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，从“旋转”的角度， 对角作重新定义如下：一条射线 OA 绕着端点 O 旋转到 OB 的位置所形成的图形叫作角，射线 OA 叫角的始边，OB 叫角 的终边，O 叫角的顶点．
例 2 写出终边落在直线 y＝x 上的角的集合 S，并把 S 中适合 不等式－360°≤β<720°的元素 β 写出来． 解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°，在 0°～360°范围内，终 边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线 y＝x 上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°， k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}． ∴S 中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
人教A版高中数学必修四 课件：第一章任意角
本节目标
1．理解正角、负角、零角与象限角的概念． 2．掌握终边相同角的表示方法．
预习反馈
1．－361°的终边落在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．下列各角中与 330°角终边相同的角是
A．510°
B．150°
C．－150°
( D)
( D) D．－390°
3．经过 10 分钟，分针转了__－__6_0___度． 4．写出终边落在坐标轴上的角的集合 S.
解 终边落在 x 轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 终边落在 y 轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°， k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z} ＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转 360°后回到原来的
位置．终边相同的角相差 360°的整数倍． 因此，所有与角 α 终边相同的角(连同角 α 在内)的集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，
判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角．
第二象限 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
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问题 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S. 答 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．
问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的？
答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋 转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们 称它形成了一个零角． 问题 2 根据角的定义，图中角 α＝120°；β＝ －240° ；
－α＝ －120° ；－β＝ 240° ；γ＝ 480° .
问题 3 经过 10 小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成 的角．
小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°， k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利用 0°～360° 范围内的角分析该角是第几象限角．
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°. 解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角． (2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与 150°终边相同． ∴－2 010°是第二象限角．
{α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y 轴正半轴 y 轴负半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
问题 2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α 终边所在 的象限
角 α 的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
问题 3 已知集合 S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角 α 的终 边落在 第一或第三象限的角平分线 上．
探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角
问题 1 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在 x
轴、y 轴各半轴上的角，请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x 轴正半轴 x 轴负半轴
k∈Z}． 根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题 1 已知集合 S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240° ∉ S,300°∉ S，－1 020°∈ S.(用符号：∈或∉填空)．
问题 2 集合 S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角 －30°终边 相同的角，其中最小的正角是 330° .
问题 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 T. 答 T＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋ 2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
【典型例题】 例 1 在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并
答 经过 10 小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形 成的角是－3 600°.
问题 4 如果你的手表快了 1.25 小时，只需将分针旋转多少度 就可以将它校准？
答 将分针旋转 450°或－3 870°即可校准．
探究点二 终边相同的角 我们使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合．角的终边落在