方程的根与函数零点 公开课获奖课件
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方程的根与函数的零点
方程解法史话
在人类用智慧架设 的无数座从未知通向已 知的金桥中，方程的求 解是其中璀璨的一座， 虽然今天我们可以从教 科书中了解各式各样方 程的解法，但这一切却 经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已 比较系统地解决了部分 方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成 的《九章算术》，就给 出了求一次方程、二次 方程和三次方程根的具 体方法…
方程实例求解
求下列方程的根：
1 3x 2 0
(2) x 2 x 3 0
2
(3) x x 2 0
3
(4) ln x 2 x 6 0
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
思考: 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函 数的图像有什么关系？
方程
方程的实数根 x2－2x－3=0 x1=－1,x2=3 y= x2－2x－3
2 1 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5
x
知识巩固练习： 1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若 f(a).f(b)<0 (a,b R,且a<b),则函数y=f(x)
在(a,b)内（ B ）
A 只有一个零点 B 至少有一个零点
C
无零点
D 无法确定有无零点
2、若方程 2ax 1 0 在（0，1）内有一解，
3、函数y=f(x)的零点存在性的判定
课后作业：
1．教材 P92 习题 3．1（A 组）第 2 题； 2. 3.
课后延展：
已知函数 f ( x ) ln x 2 x 6 的零点在（2,3）内 如何求这个零点的近似值？
谢 谢 指 导！
－4 －6
. .3 ..
4
.
.
.
.
5 6 7 8 9 10
1
2
x
.
一题多解
例2 求函数 f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数
方法2： 将函数•f ( x) ln x 2 x 6的零点个数转化为
6 5 4 3
函数y ln x与y y2 x 6的图象交点的个数。
x2－2x+1=0
x1=x2=1 y= x2－2x+1 .y
2
x2－2x+3=0 无实数根 y= x2－2x+3
y
相应函数
.
函数的图象
－1
y
2
.
－1 －2
. . . .
2
.
x
－1
.
1
0
1
2
.
3
x
－1
1
0
1
3 2 1
.
5 4
.
1
.
2
.
－3
－4
. (1,0)
0
3
x
函数图像与 x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
解法1：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f（x） －4
－1.3069 1.0986
3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y 由上表和右图可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)· f(3)<0，14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数，所以 0 它仅有一个零点。 －2
1 a 则 a 的取值范围是____________; 2
3、若函数 f ( x) x 2 4 x a 有3个零点
Байду номын сангаас
4 则 a ______
知识总结： 小结： 1、函数y=f(x)的零点的定义 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2、等价关系
方程f(x)=0 有实根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x) 有零点
那么函数 f ( x) 在区间 1,7 上的零点至少有 _____ 3 个。
课堂练习
1．函数 f ( x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
B
A． （-2,0）
B． （1,2）
C． （0,1）
D． （0,0.5）
例2 求函数
f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
思考：
1 上述定理中，函数的零点是否唯一？
2 若 f (a) f (b) 0，则函数在区间（a,b）内一定没有零点吗？
零点的存在性定理
f ( x )在 a , b上连续
f ( x )在 a , b上单调
f (a ) f (b) 0
f ( x )在a , b 有 唯一 零点
例1. 已知函数f ( x)的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26
无交点
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
函数的零点定义： 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 等价关系
零点是一个点吗?
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
即兴练习
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ D ） A（3，0）,（2，0）； C x=3 ；
2
B D
x=2 ； 2和3．
2、若函数f x x 2 x a没有零点， 则实数a的取值范围是 A、a 1 C、a 1 B、a 1 D、a 1
B
知识探究（二）：函数零点存在性定理
生活实例探究——小马过河
Ⅰ
Ⅱ
知识探究（二）：函数零点存在性定理
数学实例探究:
2 f ( x ) x 2x 3 的图象： 观察二次函数
< （＜或＞） 1 f (2) · f (1) _____0 ○ ，
函数 y f ( x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
< （＜或＞） 2 f (2) · f (4) ____0 ○ ，
函数 y f ( x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
知识探究（二）：函数零点存在性定理
函数零点存在性定理：
方程解法史话
在人类用智慧架设 的无数座从未知通向已 知的金桥中，方程的求 解是其中璀璨的一座， 虽然今天我们可以从教 科书中了解各式各样方 程的解法，但这一切却 经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已 比较系统地解决了部分 方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成 的《九章算术》，就给 出了求一次方程、二次 方程和三次方程根的具 体方法…
方程实例求解
求下列方程的根：
1 3x 2 0
(2) x 2 x 3 0
2
(3) x x 2 0
3
(4) ln x 2 x 6 0
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
思考: 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函 数的图像有什么关系？
方程
方程的实数根 x2－2x－3=0 x1=－1,x2=3 y= x2－2x－3
2 1 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5
x
知识巩固练习： 1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若 f(a).f(b)<0 (a,b R,且a<b),则函数y=f(x)
在(a,b)内（ B ）
A 只有一个零点 B 至少有一个零点
C
无零点
D 无法确定有无零点
2、若方程 2ax 1 0 在（0，1）内有一解，
3、函数y=f(x)的零点存在性的判定
课后作业：
1．教材 P92 习题 3．1（A 组）第 2 题； 2. 3.
课后延展：
已知函数 f ( x ) ln x 2 x 6 的零点在（2,3）内 如何求这个零点的近似值？
谢 谢 指 导！
－4 －6
. .3 ..
4
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5 6 7 8 9 10
1
2
x
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一题多解
例2 求函数 f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数
方法2： 将函数•f ( x) ln x 2 x 6的零点个数转化为
6 5 4 3
函数y ln x与y y2 x 6的图象交点的个数。
x2－2x+1=0
x1=x2=1 y= x2－2x+1 .y
2
x2－2x+3=0 无实数根 y= x2－2x+3
y
相应函数
.
函数的图象
－1
y
2
.
－1 －2
. . . .
2
.
x
－1
.
1
0
1
2
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3
x
－1
1
0
1
3 2 1
.
5 4
.
1
.
2
.
－3
－4
. (1,0)
0
3
x
函数图像与 x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
解法1：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 和图象
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f（x） －4
－1.3069 1.0986
3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y 由上表和右图可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)· f(3)<0，14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数，所以 0 它仅有一个零点。 －2
1 a 则 a 的取值范围是____________; 2
3、若函数 f ( x) x 2 4 x a 有3个零点
Байду номын сангаас
4 则 a ______
知识总结： 小结： 1、函数y=f(x)的零点的定义 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2、等价关系
方程f(x)=0 有实根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x) 有零点
那么函数 f ( x) 在区间 1,7 上的零点至少有 _____ 3 个。
课堂练习
1．函数 f ( x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
B
A． （-2,0）
B． （1,2）
C． （0,1）
D． （0,0.5）
例2 求函数
f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
思考：
1 上述定理中，函数的零点是否唯一？
2 若 f (a) f (b) 0，则函数在区间（a,b）内一定没有零点吗？
零点的存在性定理
f ( x )在 a , b上连续
f ( x )在 a , b上单调
f (a ) f (b) 0
f ( x )在a , b 有 唯一 零点
例1. 已知函数f ( x)的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26
无交点
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
函数的零点定义： 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 等价关系
零点是一个点吗?
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
即兴练习
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ D ） A（3，0）,（2，0）； C x=3 ；
2
B D
x=2 ； 2和3．
2、若函数f x x 2 x a没有零点， 则实数a的取值范围是 A、a 1 C、a 1 B、a 1 D、a 1
B
知识探究（二）：函数零点存在性定理
生活实例探究——小马过河
Ⅰ
Ⅱ
知识探究（二）：函数零点存在性定理
数学实例探究:
2 f ( x ) x 2x 3 的图象： 观察二次函数
< （＜或＞） 1 f (2) · f (1) _____0 ○ ，
函数 y f ( x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
< （＜或＞） 2 f (2) · f (4) ____0 ○ ，
函数 y f ( x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
知识探究（二）：函数零点存在性定理
函数零点存在性定理：