复数的加减法及其几何意义

3. 复数的几何意义是什么？ Z=a+bi(a.b∈R)
复平面上的点Z(a,b)
向量OZ
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= (？a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应
A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
C A
0
OC (3,2) (2,1) (1,3)
∴ 点C对应的复数是 -1+3i
B
x 2、OC对应复数是-1+3i
3、AC=OC-OA=2+i
课堂练习
5、若复数z满足︱z+2—2i︱=1 (1)求z对应点的轨迹; (2)求︱z︱的最大值和最小值 6、若︱z1︱=1 ,︱z2︱=1 ,︱z1+z2︱=1求
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
学 以致用
讲解例题 例1 计算
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i)
解：
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i) = (5- 2- 3)+ (- 6- 1- 4)i = - 11i
︱z1-z2︱
补充概念：共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用Z来表示
即Z a bi时, Z a bi
说明： 1 | Z || Z |
Z Z
小结
• 复数的代数形式加减运算 • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即实部与实部相
课堂练习 3、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i 4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3
则x=__－__2___ y=__4_i____
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
1
1
x
-1 o
几何意义运用
例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i .1、求点C对应的复 数.2、求OC表示的复数 3、AC表示的复数
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a+bi)-(c+di)=?(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。
思考？ 如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
uuuur
)
OZ = OZ1 + OZ2
Z1 (a, b)
= (a,b) + (c, d )
O
x
= (a + c,b + d )
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c)
+
(b
Hale Waihona Puke Baidu
+
d )i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
是复数加法的几何意义
课堂练习
• 2 已知 OA,OB对应复数是3 2i,2 i,求向 量 AB对应的复数.
加减，虚部与虚部相加减 • 复数的加减法的几何意义 • 就是向量加减法的几何意义
独立 作业
作业本: P22
（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
金华六中 高二（文科）数学组
老
师 勤奋是理想的翅膀，
寄 语
： 懒惰是学习的敌人。
信 心 就 是 力 量 ！！
知识回顾
1、复数的代数形式 Z__=_a_+_b_i__(a_，__b_∈_ R) 2、实数的加减运算法则及交换律、结合律
相同类别的数相加减 如：（1+㏑2）+（3+㏑5）=（1+2）+ （㏑2 +㏑5）=3+ ㏑10
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
uuur uuuur
设
OZ1
及
OZ2
分别与复数 a + uuur
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1,= (a,b)
Z2 (c, d )
Z
uuur
OZ
uuur
2
= (c,d