复数的加减法及其几何意义
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复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复数的加减运算及其几何意义zhy
4.（i +i）+ i (1 i )
2
5. 5i (3 4i ) ( 1 3i )
变式1： 设z1 x 2i , z2 3 yi ( x , y R ),
且z1 z2 5 6i , 求z 2 x yi
若f ( z) 2z 3i, 求f ( z1 z2 )
(2)若z C , z 2, 求 z 2 3i 的最大值和最小值 .
(3)若z C, 且 z 2 2i 1, 求 z 3 4i 的最大值 和最小值.
例7, (1)设z C, 且 z 1 z i , 求 z 2 i 的最小值
(2)设z C, 且 z i z i 2, 求 z 1 i 的 最小值
Z2(c,d)
Z1(a,b)ຫໍສະໝຸດ o|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.如图的向量OZ对应的复数是 z，试 作出下列运算的结果对 应的向量. (2) z i (3) z (2 i )
y
（ 1 ）z 1
O
x
例 2． 在复平面内, 复数6 5i,3 4i对应的
已知复数z满足z z 2 8i , 求复数z 变式2：
2.复数加法运算的几何意义? OZ1+OZ2 = OZ 表示复数z1+ z2
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
3.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
复数的加减法几何意义2
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0， 则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的 向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角， 再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
4
(C) 11
4
(D) 5
4
2、在复平面内，直角三角形ABC的直角顶点C对应的
复数为-2，30度的顶点A对应的复为 则点B所对应的复数为
5 3i
3.复平面内点A对应的复数为1,点B对应的复数 为3 i, 将向量AB绕A按顺时针方向旋转900并 将模扩大到原来的2倍得向量A C, 则点C对应 的复数为
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的 向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角， 再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
4
(C) 11
4
(D) 5
4
2、在复平面内，直角三角形ABC的直角顶点C对应的
复数为-2，30度的顶点A对应的复为 则点B所对应的复数为
5 3i
3.复平面内点A对应的复数为1,点B对应的复数 为3 i, 将向量AB绕A按顺时针方向旋转900并 将模扩大到原来的2倍得向量A C, 则点C对应 的复数为
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的加减运算及其几何意义 完整版课件
两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时， 要把绝对值号内变为两复数差的形式； (2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆； (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点 间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何 方法进行求解．
[跟踪训练] 1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
答案：－10i
2．已知复数 z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若 z1＋z2 是纯虚数， 则实数 a＝________.
答案：3
复数加、减运算的几何意义 [例 2] (链接教材第 77 页练习 2 题)如图所 示，在平行四边形 OABC 中，顶点 O，A，C 分 别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)―A→O 所表示的复数，―B→C 所表示的复数； (2)对角线―C→A 所表示的复数； (3)对角线―O→B 所表示的复数及―O→B 的长度．
()
2．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
答案：B
3．已知复数 z＋3i－3＝3－3i，则 z＝
A．0
B．6i
C．6
() D．6－6i
答案：D 4．在复平面内，向量―OZ→1 对应的复数是 5－4i，向量―OZ→2 对应的
复数是－5＋4i，则―OZ→1 ＋―OZ→2 对应的复数是
是什么？ 提示：|z－z0|的几何意义是复平面内点 z 与点 z0 的距离．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数．
高二数学复数的加减运算
例1.计算(1)(1+3i)+(-4+2i) (2)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
二.复数的加减法及几何意义
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
Z的共轭复数用Z来表示即Z a bi时, Z a bi
复数的加减运算 及其几何意义
一.回顾复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（ห้องสมุดไป่ตู้）
一一对应 平面向量 OZ
|z|=|a+bi|
点Z(a,b)到原点的距离
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ 的模|OZ |.
| z z0 | 复平面上点Z(a,b)到Z0 (a’,b’)的距离
例2:证明:1 | Z || Z |
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
例3.（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2, 求Z
(2)设f (Z ) Z , Z1 3 4i, Z2 i 2,则求f (Z1 Z2 ).
(3)已知Z C,且2Z 3Z 1 3i,求复数Z.
；宁波象山出海捕鱼 宁波象山出海捕鱼 ；
不影响其存在和意义。 地址是死的，地点是活的。地址仅仅被用以指示与寻找，地点则用来生活和体验。 安东尼·奥罗姆是美国社会学家，他有个重大发现：现代城市太偏爱“空间”却漠视“地点”。在他看来，地点是个正在消失的概念，但它担负着“定义我们生存状态”的使命。 “地点是人类活动最重
二.复数的加减法及几何意义
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
Z的共轭复数用Z来表示即Z a bi时, Z a bi
复数的加减运算 及其几何意义
一.回顾复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（ห้องสมุดไป่ตู้）
一一对应 平面向量 OZ
|z|=|a+bi|
点Z(a,b)到原点的距离
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ 的模|OZ |.
| z z0 | 复平面上点Z(a,b)到Z0 (a’,b’)的距离
例2:证明:1 | Z || Z |
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
例3.（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2, 求Z
(2)设f (Z ) Z , Z1 3 4i, Z2 i 2,则求f (Z1 Z2 ).
(3)已知Z C,且2Z 3Z 1 3i,求复数Z.
；宁波象山出海捕鱼 宁波象山出海捕鱼 ；
不影响其存在和意义。 地址是死的，地点是活的。地址仅仅被用以指示与寻找，地点则用来生活和体验。 安东尼·奥罗姆是美国社会学家，他有个重大发现：现代城市太偏爱“空间”却漠视“地点”。在他看来，地点是个正在消失的概念，但它担负着“定义我们生存状态”的使命。 “地点是人类活动最重
复数加减运算)及几何意义
[解] ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i， ∴z1－z2＝5＋5i. 于是 f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝(5＋5i)－2i＋|5＋5i| ＝5＋3i＋5 2 ＝(5＋5 2)＋3i.
• [点评]
进行复数的加法、减法 以及模的运算时，主要依据加 减运算的法则以及模的定义进 行计算求解．
• 迁移体验 4 则z等于( • A．－3i • C．±3i
• [点评]
复数、复平面上的点、 向量之间是一一对应关系，可 以相互等价转化．
• 迁移体验3 若△ABC中， A、B两顶点对应的复数分 别为1＋i与3－i，且 △ABC是以C为直角顶点 的等腰直角三角形，求C 点对应的复数．
解：设 C 点对应的复数为 x＋ yi(x， y∈ R)则有 x－ 1 ＋ y－ 1 ＝ x－ 3 ＋ y＋ 1 即 x＝ y＋ 2 当 AC、 BC 斜率都存在时 y－ 1 y＋ 1 · ＝－ 1 x－ 1 x－ 3
平行四边形OABC是 矩形 o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 正方形
复数减法的几何意义的运用 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条 件下求动点Z(x,y)的轨迹.
1.| z- 2|= 1 2. | z- i|+ | z+ i|=4
• 如果两个复数对应的向量在同一直 线上，则可通过平移，使第二个向 量的起点与第一个向量的终点重合， 连接第一个向量的起点和第二个向 量的终点，所得向量就为两个复数 和对应的向量．
图4
图5
3．两个复数减法的几何意义 → → 复数的减法是加法的逆运算，设OZ1，OZ2分别与 → → 复数 a＋ bi，c＋di 相对应，且OZ1，OZ2不共 线，如 → → 图 5，则这两个复数的差 z1－z2 与向量OZ1－OZ2(等于 → Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．
第十五课复数的加减运算及其几何意义
2 2 2 2
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， 解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对 应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0， ，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理， 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释， 使复数作为工具运用 于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， 解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对 应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0， ，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理， 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释， 使复数作为工具运用 于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的加减运算及其几何意义 课件
预备知识
●一、复数的几何意义 ●（1）复数z=a+bi与复平面内点Z(a,b)一一对应；
●（2）复数z=a+bi与平面向量 OZ 一一对应；
（其中O是原点，Z是复数z所对应的点）
二、平面向量的加减法 平行四边形法则、三角形法则
复数的加法法则 规定：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
口算： 1、(1+2i)+(-2+3i)= -1+5i 2、(-2+3i)+(1+2i)= -1+5i
3、[(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i) = (-1+5i)+(3+4i)= 2+9i 4、(-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)] = (-2+3i)+(4+6i) = 2+9i
说明：
（1）两个复数的和仍是一个复数。 （2）复数的加法法则满足交换律、结合律。
探究：复数加法的几何意义
复数可以用向量表示，如果与这些复数对应 的向量不共线，那么这些复数的加法就可以 按照向量的平行四边形法则来进行。
y Z2(c,d)
OZ OZ1 OZ2
Z
=(a,b)+(c,d)
Z1(a,b)
=(a+c,b+d)
Z
总结
两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对 应相加（减），得到一个新的复数，即
(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i
例题讲解 例1： 计算（5 - 6i）+（-2 - i）-（3 + 4i） （5 – 2 - 3）+（-6 – 1 - 4）i = -11i
●一、复数的几何意义 ●（1）复数z=a+bi与复平面内点Z(a,b)一一对应；
●（2）复数z=a+bi与平面向量 OZ 一一对应；
（其中O是原点，Z是复数z所对应的点）
二、平面向量的加减法 平行四边形法则、三角形法则
复数的加法法则 规定：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
口算： 1、(1+2i)+(-2+3i)= -1+5i 2、(-2+3i)+(1+2i)= -1+5i
3、[(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i) = (-1+5i)+(3+4i)= 2+9i 4、(-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)] = (-2+3i)+(4+6i) = 2+9i
说明：
（1）两个复数的和仍是一个复数。 （2）复数的加法法则满足交换律、结合律。
探究：复数加法的几何意义
复数可以用向量表示，如果与这些复数对应 的向量不共线，那么这些复数的加法就可以 按照向量的平行四边形法则来进行。
y Z2(c,d)
OZ OZ1 OZ2
Z
=(a,b)+(c,d)
Z1(a,b)
=(a+c,b+d)
Z
总结
两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对 应相加（减），得到一个新的复数，即
(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i
例题讲解 例1： 计算（5 - 6i）+（-2 - i）-（3 + 4i） （5 – 2 - 3）+（-6 – 1 - 4）i = -11i
课件复数加减法及几何意义
(3)对角线O→B表示的复数. 解 因为O→B＝O→A＋O→C， 所以对角线O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反 思 感 悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一 对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的 复数可能改变.
解析 ∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数， 则a＝_－__1__.
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴aa22－ ＋aa－ －26＝ ≠00， ， 解得 a＝－1.
设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类 复数的加法，你有什么想法？举例说明。
纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳 对一般的两个复数相加有什么猜想，即
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，A→B与A→C对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)A→D对应的复数；
解 因为ABCD是平行四边形，
D
C
o
所以A→C＝A→B＋A→D，于是A→D＝A→C－A→B，
A
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即A→D对应的复数是－2＋2i.
反 思 感 悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一 对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的 复数可能改变.
解析 ∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数， 则a＝_－__1__.
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴aa22－ ＋aa－ －26＝ ≠00， ， 解得 a＝－1.
设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类 复数的加法，你有什么想法？举例说明。
纯虚数2i与3i的和是多少呢?
即 z1=0+2i ，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。
猜想归纳 对一般的两个复数相加有什么猜想，即
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，A→B与A→C对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)A→D对应的复数；
解 因为ABCD是平行四边形，
D
C
o
所以A→C＝A→B＋A→D，于是A→D＝A→C－A→B，
A
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即A→D对应的复数是－2＋2i.
7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)
【变式训练3】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量 对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一 复数的加、减运算
【例1】 计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用
复数的加减法几何意义
(x+ 2)²+(y+ 2)² =1
12
二、复数加法与减法运算的几何意义
解方程组 y=-x (x+ 2)²+(y+ 2)²=1 得 Z1 点的坐标是((2 2 3 3 Z , 2 2 2 2 )， 2
点的坐标是
,
2 2
)
3 3 + i 2 2 2 2 2 2
∴当Z=当 Z=-
时，|Z|max =3；
∴ 点Z (a+c, b+d) ,
OR=OP+PR=OP+Z1 S =OP+OQ=a+c RZ=RS+SZ=P Z1+QZ2 =b+d
oz 就是与复数(a+c)+ (b+d)i 对应的向量.
3
复数加法与减法运算的几何意义
(2)
oz 1， oz 2 共线
画出一个“压扁”了的平行四边形，并据 此 画出它的对角线来表示 oz , oz 的和.
2 1
复数的加法可以按照向量的加法法则来进 行，这就是复数加法的几何意义.
4
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、复数减法的运算的几何意义 y y Z
Z2 Z1
Z2 Z10Βιβλιοθήκη x(1)0
x
(2)
oz -oz 1 复数 Z－Z 1差所对应的向量： =oz 2
oz 2=z1z z1z ∴ oz -oz = 1
15
复数加法与减法运算的几何意义
3、根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆 x² y² x² y² + =1 (a＞b＞0)，双曲线 - = 1 (a＞0,b＞0) a² b² a² b² 分别写成复数方程的形式。
复数的加、减运算及其几何意义
我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR ）是两个任意复数， 那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时， 与实数加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
知识一：复数的加法
探究：
设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR）是两个任意复数， 由于希望加法结合律成立，
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（bi+di）
由于希望乘法分配律成立，
z1+z2=（a+c）+（bi+di）=（a+c）+（b+d）i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明：（3）复数的加法法则：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 如果将i 看作“变元”，a+bi中的实部和虚部 a，b看作常数，我们就可以将复数看成是 “一次二项式”，很容易发现两个复数相加与 两个一次二项式相加（合并同类项）一致. 这样，得到两个复数相加与两个多项式相加 相类似.
例题2
y
解：复平面内的点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i， 所以点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)
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（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0 时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
1
1
x
-1 o
几何意义运用
例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i .1、求点C对应的复 数.2、求OC表示的复数 3、AC表示的复数
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
uuur uuuur
设
OZ1
及
OZ2
分别与复数 a + uuur
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1,= (a,b)
Z2 (c, d )
Z
uuur
OZ
uuur
2
= (c,d
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
uuuur
)
OZ = OZ1 + OZ2
Z1 (a, b)
= (a,b) + (c, d )
O
x
= (a + c,b + d )
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c)
+
(b
+
d )i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
是复数加法的几何意义
课堂练习
• 2 已知 OA,OB对应复数是3 2i,2 i,求向 量 AB对应的复数.
解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应
A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
C A
0
OC (3,2) (2,1) (1,3)
∴ 点C对应的复数是 -1+3i
B
x 2、OC对应复数是-1+3i
3、AC=OC-OA=2+i
课堂练习
5、若复数z满足︱z+2—2i︱=1 (1)求z对应点的轨迹; (2)求︱z︱的最大值和最小值 6、若︱z1︱=1 ,︱z2︱=1 ,︱z1+z2︱=1求
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
学 以致用
讲解例题 例1 计算
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i)
解：
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i) = (5- 2- 3)+ (- 6- 1- 4)i = - 11i
3. 复数的几何意义是什么？ Z=a+bi(a.b∈R)
复平面上的点Z(a,b)
向量OZ
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= (？a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
金华六中 高二（文科）数学组
老
师 勤奋是理想的翅膀，
寄 语
： 懒惰是学习的敌人。
信 心 就 是 力 量 ！！
知识回顾
1、复数的代数形式 Z__=_a_+_b_i__(a_，__b_∈_ R) 2、实数的加减运算法则及交换律、结合律
相同类别的数相加减 如：（1+㏑2）+（3+㏑5）=（1+2）+ （㏑2 +㏑5）=3+ ㏑10
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
课堂练习 3、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i 4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3
则x=__－__2___ y=__4_i____
︱z1-z2︱
补充概念：共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用Z来表示
即Z a bi时, Z a bi
说明： 1 | Z || Z |
Z Z
小结
• 复数的代数形式加减运算 • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即实部与实部相
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a+bi)-(c+di)=?(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
加减，虚部与虚部相加减 • 复数的加减法的几何意义 • 就是向量加减法的几何意义
独立 作业
作业本: P22
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
1
1
x
-1 o
几何意义运用
例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i .1、求点C对应的复 数.2、求OC表示的复数 3、AC表示的复数
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
uuur uuuur
设
OZ1
及
OZ2
分别与复数 a + uuur
bi
及复数 c + di对应，则uuOuuZr 1,= (a,b)
Z2 (c, d )
Z
uuur
OZ
uuur
2
= (c,d
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2
∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
uuuur
)
OZ = OZ1 + OZ2
Z1 (a, b)
= (a,b) + (c, d )
O
x
= (a + c,b + d )
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c)
+
(b
+
d )i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就
是复数加法的几何意义
课堂练习
• 2 已知 OA,OB对应复数是3 2i,2 i,求向 量 AB对应的复数.
解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应
A(3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
C A
0
OC (3,2) (2,1) (1,3)
∴ 点C对应的复数是 -1+3i
B
x 2、OC对应复数是-1+3i
3、AC=OC-OA=2+i
课堂练习
5、若复数z满足︱z+2—2i︱=1 (1)求z对应点的轨迹; (2)求︱z︱的最大值和最小值 6、若︱z1︱=1 ,︱z2︱=1 ,︱z1+z2︱=1求
事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
学 以致用
讲解例题 例1 计算
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i)
解：
(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i) = (5- 2- 3)+ (- 6- 1- 4)i = - 11i
3. 复数的几何意义是什么？ Z=a+bi(a.b∈R)
复平面上的点Z(a,b)
向量OZ
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两 个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)= (？a+c)+(b+d)i
即实部与实部 虚部与虚部分别相加
金华六中 高二（文科）数学组
老
师 勤奋是理想的翅膀，
寄 语
： 懒惰是学习的敌人。
信 心 就 是 力 量 ！！
知识回顾
1、复数的代数形式 Z__=_a_+_b_i__(a_，__b_∈_ R) 2、实数的加减运算法则及交换律、结合律
相同类别的数相加减 如：（1+㏑2）+（3+㏑5）=（1+2）+ （㏑2 +㏑5）=3+ ㏑10
a意3，Zb1∈1，Cb，2，Zb23∈∈RC)，Z3∈C
则Z1+Z2=（aZ1+1+a2Z)+2=(bZ1+2+b2Z)i1，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可(得Z1+Z2)(+ZZ1+3=ZZ2)1++Z(Z3=2+ZZ1+3)(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
课堂练习 3、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=__－_2_+_2_i_____
（2） ( 3 －2i) －(2+i) －(___－_9_i___)=1+6i 4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3
则x=__－__2___ y=__4_i____
︱z1-z2︱
补充概念：共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用Z来表示
即Z a bi时, Z a bi
说明： 1 | Z || Z |
Z Z
小结
• 复数的代数形式加减运算 • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即实部与实部相
思考？ 类比复数加法如何规定复数的减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a+bi)-(c+di)=?(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di） +（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复 数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di）
加减，虚部与虚部相加减 • 复数的加减法的几何意义 • 就是向量加减法的几何意义
独立 作业
作业本: P22