第十章 曲线曲面积分(习题及解答)

第十章 曲线曲面积分

§10．1对弧长的曲线积分

一、选择题

1. 设曲线弧段»AB 为，则曲线积分有关系( ).

(A)

»»(,)d (,)d AB

BA f x y s f x y s =-⎰⎰； (B)

»»(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =⎰

⎰；

(C)»»(,)d (,)d 0AB BA

f x y s f x y s +=⎰⎰；

(D)»»(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =--⎰

⎰． 答(B).

2. 设有物质曲线23

:,,(01),23

t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它

的质量M =( ).

(A)10t ⎰; (B)10

t t ⎰

;

(C)

t ⎰

; (D)

t ⎰

. 答(A).

3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OM

I s

=⎰不相等的积分是( ).

(A)10

x ⎰; (B)

10

y ⎰;

(C)

d r r ⎰

; (D)10

e r ⎰

答(D).

4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L

x y s -=⎰( ).

(A)

4

03d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫

- ⎪⎝⎭⎰;

(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝

⎰. 答(D).

5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分

s =⎰

( ).

(A)x ⎰; (B)y ⎰

;

(C)

10

x ⎰

; (D)

y ⎰

. 答(C).

6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d L

x y s +=⎰( ).

(A); (B)2; (C) (D) 答(D).

二、填空题

1. 设L 是圆周22

1x y +=,则31d L

I x s =⎰Ñ与5

2d L

I x s =⎰Ñ的大小关系是

.

答:12.I I =

2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L

x y s +=

⎰.

3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n L

x y s +=

⎰.

答：212a a π+.

4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L

x y s -=⎰

.

答：0.

5. 设L 是圆周22

1x y +=,则2d L

I x s ==

⎰Ñ.

答：π.

6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L

x y s -=

⎰.

答:

2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,

则L

s =

⎰.

答：3. 三、解答题

1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)

d L

x s ⎰

Ñ其中为由直线y x =与抛物线2

y x =所围区域的整个边界. 答： 1

1)12.

(2)

L

s ⎰Ñ其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内

所围成的扇形的整个边界.

答： 2 2.4a a e π⎛

⎫+- ⎪⎝

⎭

(3)

2d x yz s Γ

⎰

，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).

答：9. (4)

2d L

y s ⎰

其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.

答： 34232.53

a ⋅⋅

(5)

22

()d L

x y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩

(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+

§10．2对坐标的曲线积分

一、选择题

1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d AB

y x x y +=⎰( ).

(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22

221x y a b

+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).

(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则

(3)d (2)d C

x y x y x y +++=⎰

( ).

(A)21

[(2)(23)]d x x x x x +++⎰

； (B)

21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰

(C)

2

1

[(73)2(51)]d x x x -+-⎰

; (D)

21

[(73)(51)]d x x x -+-⎰

. 答(C).

4. 设曲线C 的方程为x y =(0)2

t π

≤≤,

则22d d C

x y y y x x -=⎰( )

(A)20

[cos sin t π⎰

； (B)

2220

(cos sin )d t t t π

-⎰

(C)

220

0cos sin π

π-⎰

⎰(D)201

d 2t π

⎰.答(D).

5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).

(A)

2

2()(d d )0L

f x

y x x y y ++=⎰Ñ；(B)

2

2()(d d )0L

f x

y x y y x ++=⎰Ñ