第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)

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第六章 能量泛函的转换形式及其应用

§6.1 总位能泛函转换形式及其应用

由§4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即

⎰⎰σ

--ε=∏S i i V

i i ij S u T V u F A d d ])([P （4-16）

该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即

)(2

1

,,i j j i ij u u +=

ε 0=-i i u u

所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。

【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。

图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷

)(x p ，简支端（L x =）作用一集中力矩M ，

梁的另一端为固持。显然，其边界条件为

0=x ：0)0()0(='=w w L x =：0)(=L w ，及M L M =)( 6-1）

总位能泛函根据定义可写为 V U +=∏p （6-2）

其中

⎰''=

L x w EJ U 02

d )(2

1 （应变能） （6-3） )(d 0

L w M x w p V L '+-=⎰ （外力位能） （6-4）

上面各式中，w 表示挠度，它是坐标x 的函数，而w '与w ''分别代表x w d d 及2

2d d x w

。

现在对总位能取一阶变分，

)(δd δd δδδδ0

p L w M x w p x w w EJ V U L

L '--''''=+=∏⎰⎰ （6-5）

当弯曲刚度EJ 沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green 公式，可得

[][]⎰⎰

+'''-'''=''''L

L

L

L x w EJw w w EJ w w EJ x w w EJ 0

)4(000d δδδd δ （6-6）

将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得

图6-1 一维弯曲梁

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w M w EJ x w p EJw L x L

'-''+-=∏=⎰δ][d δ][δ0

)4(p （6-7）

现令（6-7）的0δp =H ，利用变分法中的预备定理，可得到

0)4(=-p EJw （6-8）

0=-''=M w EJ L x （6-9）

（6-8）式即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，（6-9）式为力的边界条件，即相当于（6-1）式中的最后一个公式。

以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价于平衡方程的。

应当指出，方程（6-8）对自变量即挠度w 要求它具有四阶可微，而泛函（6-2）中最高可微阶次为两次。显然，定义泛函p ∏的自变量的因次可能满足不了平衡方程（6-8）的要求，从这一点来说，直接利用泛函（6-2）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可能要低得多，这对选择自变量的函数形式带来方便。

在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。

【例2】 图6-2为一维梁元素，节点位移分别为2211,,,θθw w ，下标1代表节点1的，下标2代表节点2的，节点位移列阵为

T w w }{}{22

11θθ=∆ （6-10）

因为节点位移有四个，我们以3次多项式表达挠度w ，即

342321x a x a x a a w +++= （6-11）

或

}]{[α=x w （6-12）

式中：]1[][32x x x

x =

T

a a a a }{}{4321=α 显然，（6-11）式的阶次并不满足平衡方程式（6-8）。利用节点位移（6-10）式，可得

}]{[}{∆=αc （6-13）

则（6-12）式化为

}]{[}]{[][∆=∆=N c x w （6-14）

式（6-14）中的矩阵][N 为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。

下面由式（6-14）式导出几何矩阵][B ，梁的弯曲应变为

}]{[22∆-=∂∂-=εB z x

w

z （6-15）

（6-15）式中的][B 阵为

图6-2 一维梁元素

114

][][22

N x

B ∂∂= （6-16）

将（6-14）式中的][N 代入（6-16）式，可求出几何矩阵][B 为

])13(2)12(6)23(2)12(6[][22-----=L

x

L L x L L x L L x L L

B 最后，利用（4-16）式求出梁的总位能泛函为

⎣⎦⎣⎦⎣⎦}{d }{][}{d ]][[][2

100p e L T L T F x P N x B D B ∆-∆-∆∆=

∏⎰⎰ （6-17） 式中EJ D =][为梁的抗弯模量，⎰⎰

=

A

dydz z J 2为梁横截面关于y 轴的惯性矩。

由泛函p ∏的驻值条件，即0δp =∏，可得

}~

{}]{[e F K =∆ （6-18）

式中

}{d }{][}~

{0

e L T e F x P N F +=⎰ （6-19）

为梁元素的等效节点力。

利用能量法求近似解的方法较多，其中Rayleigh-Ritz 法是一种有效而应用得比较多的一种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数来离散实际位移，如

∑==n

i i i w a w 1

（6-20）

i a 为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以i a 为独立变量的泛函如

)(21p p n a a a ，，， ∏=∏

利用泛函驻值条件，

0δδ1

p p =∂∏∂=∏∑

=n

i i i

a a （6-21）

得到一组代数方程式，

),,2,1(0p n i a i

==∂∏∂ （6-22）

譬如对于图6-1所示的一端固持一端简支的梁，（6-1）式表示其边界条件。现取

)(),(3221L x x w L x x w -=-= （6-23）

显然，（6-23）式是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度w 可取为

)()(2221L x x a L x x a w -+-= （6-24）

这类函数的形式甚多，这里不在列举。