湖北省七市州教科研协作体2020届高三5月联合考试数学试题(文)

湖北省七市州教科研协作体2020届高三5月联合考试（文）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出『答案』后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它『答案』标号。

答在本试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在本试题卷上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i b i i a 2)2(-=⋅+，其中a ，b 为实数，i 是虚数单位，则复数a+bi= A ．i 22+ B ．i 22- C ．i 22+- D ．i 22--
2．已知集合{}
0,,2
a a A =，{
}2,1=B ，若{}1=B A ，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．土1
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A
A
B ab a c b sin sin sin 2222-=-+．
则角C 等于 A ．
6π B ．3π C ．4π D ．3
2π
4．设31
214)3
1
()21(2log ===c b a ，，，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
5．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为3，焦点到渐近线的距离为2，则双
曲线的实轴长为
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
6．从分别标有数字1，2，3，4 ，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，
则抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是 A ．
51 B ．52 C ．53 B ．5
4 7．平行于直线4=+y x 且与圆12
2
=+y x 相切的直线的方程是
A ．
02=++y x 或02=-+y x B ．02=+-y x 或02=--y x C ．01=++y x 或01=-+y x D ．04=-+y x 或04=++y x 8．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D 是CB 延长线上的一点，则⋅=
A ．3
B ．4
C ．9
D ．不能确定
9．已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差为d ，前n 项和为n S ．若8S S n ≤恒成立，则公差d 的取值范围是 A ．]81,71[--
B ．),71[+∞-
C ．]81,(--∞
D ．)8
1
,71[-- 10．如果两个方程的曲线经过若千次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程： ①x y sin =与)5
cos(π
+
=x y ②x y ln 2=与2ln x y =
③y x 42
=与x y 42
= ④3
x y =与2332
3
++-=x x x y 则“互为镜像方程对”的是
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②③④
11．△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点．将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，当三棱锥P—BCM 体积最大时，三棱锥P—BCM 外接球的表面积为
A ．π
B ．3π
C ．5π
D ．7π
12．已知函数)0,0(cos sin 3)(>>+=a x a x x f ωωω，对任意R x x ∈21，，
)()(21x f x f +的最大值为4，若)(x f 在),0(π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是
A ．]37,34[
B ．]3734(， c ．)613,67[ D ．]6
13
,67[ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥42y x x y x
y ，则y x z 2-=的最小值是 ▲ .
14．若10cos 3sin =+αα，则αtan = ▲ ． 15．已知函数x e e x f x
x
2)(+-=-，使不等式0)()12(>+-x f x f 成立的x 的取值范围是
▲ ．
16．已知斜率为)0(>k k 的直线l 过抛物线x y C 62
=：的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为11B A ，，若
21
1=∆∆ABA ABB S S ，则k 的值为 ▲ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、 23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人．为确保安全，全程限速为80公里/小时．为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50，90]（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图:
（1）请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）； （2）求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度．
18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11=a ，当n≥2时，)(2
*11
N n a a a n n n ∈+=
--，数
列{}n b 满足12+⋅=n n n
n a a b ．
（1）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，
AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ，过AD 的平面与PC ，PB 分别交于点M ，N ，连接MN ． （1）证明： BC//MN ；
（2）已知PA =AD= AB =2BC ，平面ADMN ⊥平面PBC ，求
ABCD
P BDM
P V V --的值.
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的焦距为2，
且过点)2
2
,
1(. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于A ，B 两点，若点H )0,3
1
(-满足HB HA =，求AB ．
21．（本小题满分12分）已知函数)()(R a ae x f x
∈=，1ln )(+=
x
x
x g ．
（1）当e a 1
=时，求函数)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）当e
a 1
≥时，证明:0)()(≥-x g x f ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=--=t y t x 23212（t 为参数）．以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是0cos 3=+θρ． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设)0,2(-P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求BPO APO S S ∆∆-．
23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知函数12)(--+=x x x f ．
（1）求不等式2)(-≥x f 的解集；
（2）设a ，b ，c 为正实数，若函数)(x f 的最大值为m ，且m c b a =++2，求证
4
92≤
+++c bc ac ab
期中考试试题
1。