函数的极值问题

函数的极值问题

1．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2

答案 C

解析 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x －3)(x ＋1)，∴y ′＝0时，x ＝3或x ＝－1. ∵－2

x ＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值． 2．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1

ln2 B ．－1

ln2

C ．－ln2

D ．ln2

答案 B

解析 由y ＝x·2x ，得y ′＝2x ＋x·2x ·ln2.

令y ′＝0，得2x (1＋x·ln2)＝0.∵2x ＞0，∴x ＝－1ln2.

3．设函数f(x)＝2

x ＋lnx ，则( )

A ．x ＝1

2为f(x)的极大值点

B ．x ＝1

2为f(x)的极小值点

C ．x ＝2为f(x)的极大值点

D ．x ＝2为f(x)的极小值点 答案 D

解析 因为f(x)＝2x ＋lnx ，所以f ′(x)＝－2x 2＋1x ＝x －2

x 2，且x>0.当x>2时， f ′(x)>0，这时f(x)

为增函数；当0

4．(优质试题·山西太原期中)设函数f(x)＝1

3x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f(x)的极小值为

( )

A ．－1

3

B ．－1 C.13 D ．1

答案 A

解析 f ′(x)＝x 2－1，由f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－1.所以f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，

在区间(－1，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x ＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m ＝13，函数f(x)在x ＝1处取得极小值，且f(1)＝13×13－1＋1

3＝

－1

3

.故选A. 5．(优质试题·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．1＋1e

B ．1

C ．e ＋1

D ．e －1

答案 D

解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝

1

e ＋2－e<1

2

＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.

6．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和1

3，则( )

A ．a －2b ＝0

B ．2a －b ＝0

C ．2a ＋b ＝0

D ．a ＋2b ＝0 答案 D

解析 y′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝1

3，∴a ＋2b ＝0.

7．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．以上都不对 答案 A

解析 f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，

∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.

8．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜1

2

答案 A

解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.

9．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图像可能是( )

答案 C

解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知， 当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－20，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.

10．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6

答案 A

解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，

设⎩

⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2

＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2

＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0，

可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)．

11．若函数f(x)＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞)