苏教版八年级一次函数知识点整理

苏教版八年级上学期一次函数知识点整理（最新）知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．”点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．知识点2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．知识点3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．知识点6 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点7 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （x 0，y 0）必在函数的图象上． 例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.知识点11 一次函数与一次方程（组）、不等式的关系思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合典 型 例 题例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式． 解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ． 把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得 7-3＝2k ， ∴k ＝2．∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3． （2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 学生做一做 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 老师评一评 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为x=k （x+1）. 再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式． 设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）. ∵当x=5时，y=12， ∴12=（5+1）k ，∴k=2． ∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例2 （2003·哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21 D ．m ＞21 [分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 例3（2003·陕西）已知直线y=2x+1． （1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值． 老师评一评 （1）令x=0，则y=2×0+1=1，∴M （0，1）． ∴直线y=2x+1与y 轴交点M 的坐标为(0，1) （2）∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称， ∴两直线上的点关于y 轴对称．又∵直线y ＝2x+1与x 轴、y 轴的交点分别为A （-21，0），B （0，1）, ∴A （-21，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为A ′（-21，0），B ′（0，1）．∴直线y=kx+b 必经过点A ′（-21，0），B ′（0，1）．把 A ′（-21，0），B ′（0，1）代入y=kx+b 中得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,01,210b b k ∴⎩⎨⎧=-=.1,2b k ∴k ＝-2，b ＝1． 小结 当两条直线关于x 轴（或y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于x 轴（或y 轴）对称．例如：对于两个一次函数，若它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式．例4 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值； （5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标． ［分析］ 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．解：（1）∵y+2与x 成正比例， ∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0）∵当x=-2时，y=0． ∴0+2＝k ·（-2），∴k ＝-1． ∴函数关系式为x+2=-x ， 即y=-x-2． （2）列表；x 0 -2 y-2描点、连线，图象如图11－23所示． （3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0． ∴当x ≤-2时，y ≥0．(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上， ∴6=-m-2, ∴m ＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点， ∴A （-2，0），B （0，-2）． ∵S △ABP =21·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4． 又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上， ∴P 点坐标为(0，-6).例5 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2． ∴当k=-3时，它的图象经过原点． （2）该一次函数的图象经过点（0，-2）. ∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0， ∴k=±10 ∴当k=±10时，它的图象经过点(0，-2) （3）∵图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b ＞0． ∴-2k 2+18＞0， ∴-3＜k ＜3，∴当-3﹤k ﹤3时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方． （4）函数图象平行于直线y=-x ， ∴3-k=-1， ∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ． （5）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ． ∴k ＞3． ∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．例6 已知直线y=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式. 错解：∵直线经过点（25，0），∴0=25k+b,①设直线y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A （-kb，0），B （0，b ），又S △ABO =425,∴S △ABO =21|OA|·|OB|=21·（-k b ）·b=425.即425)(21=⋅-⋅b k b ，② 由①得b=-25k ，代入②中得k=-2，∴b=5.∴所求直线的解析式为y=-2x+5．[分析] 上述解法出现了漏解的情况，由于解题时忽略了|OA|=|-kb|，|OB|=|b|中的绝对值符号，因此，也就漏掉了一个解析式．正解：∵直线经过点（25，0），∴0=25k+b ，①设直线y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A （-kb，0），B （0，b ）， ∴|OA|=|-k b |=|k b|，|OB|=|b|. 又∵S △AOB =425，∴S △AOB =21|OA|·|OB|=21·|k b |·|b|=425，即42521=⋅⋅b k b ，② 由①得b=-25k ，代入②中得|k|=2， ∴k 1＝2，k 2＝-2，∴b 1＝-5，b 2＝5． ∴所求直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5．例7 （2004·沈阳）某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．［分析］ 利用表格来分析C ，D 两县运到A ，B 两县的化肥情况如下表．则总运费W （元）与x （吨）的函数关系式为：W=35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45[60-（100-x ）]=10x+4800．自变量x 的取值范围是40≤x ≤90．解：（1）由C 县运往A 县的化肥为x 吨，则C 县运往B 县的化肥为（100-x ）吨． D 县运往A 县的化肥为（90-x ）吨，D 县运往B 县的化肥为（x-40）吨． 由题意可知W ＝35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45（x-40）＝10x+4800． 自变量x 的取值范围为40≤x ≤90．∴总运费W （元）与x （吨）之间的函数关系式为 w ＝1Ox+480O （40≤x ≤9O ）．（2）∵10＞0， ∴W 随x 的增大而增大． ∴当x=40时， W 最小值=10×40+4800=5200（元）． 运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．∴当总运费最低时，运送方案是：C 县的100吨化肥40吨运往A 县，60吨运往B 县，D 县的50吨化肥全部运往A 县．例8 （2004·黑龙江）图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？ （2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？［分析］ 本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力．解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y （千米）随时间x （分）变化的函数关系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．解：（1）当15≤x ＜33时，设y AB =k 1x+b 1，把（15，5）和（33，7）代入， 解得k 1=91,b 1=310, ∴y AB =91x+310. 当y=6时，有6=91x+310， ∴x=24。