合振动频率

二、谐振动规律
d2 x 2 解 dt 2 x 0 可得
位移
x A cos(t ) 振动方程
dx A sin(t ) 速度 v dt dv 2 加速度 a A cos(t ) dt
1
x
a
0.5
v
4 6 8 10 12 14
2 -0.5
y
mgx N1 N 2 d 2
N1
O
x
f1 f 2
N2
d x mg x0 2 dt d
2
c
x
是简谐振动！

2
mg
d
mg
2d
d 2 T mg
例3. 单摆长 l
0
单摆

T
F
（1）证明小角度摆动为简谐振动， 并求周期。 （2）若将摆拉至最大角度 0 放手 为计时起点，写出振动方程。 解：（1）摆沿圆弧运动，只需分 析任意角位移 处切向力：
第四篇
振动与波动
第四篇 振动与波动
Oscillations and Waves 第一部分 机械振动 第二部分 机械波
第三部分 电磁振荡与电磁波
第11章 振动与波动
Oscillations and Waves
第1节 谐振动 (重点1) 第2节 振动的合成和分解 第3节 阻尼振动、受迫振动与共振 第4节 非线性振动与相图法 (自学) 第 5节 第 6节 第 7节 第 8节 机械波 (重点2) 声波 地震波 波的衍射和波的干涉 (重点3) 多普勒效应
任意
P x
x处分析受力：
m
h L
k
任意 x处分析受力： F
l
M
F
P
P
x o x
P ( M m )g
F k( L l x)
合力=？
F合 （M m ) g k ( L l x ) kx 为简谐振动 d2 x 由 ( M m ) 2 kx 得 dt 2 2 d x d x k 2 为简谐振动 x 0 x 0 即 2 dt 2 M m dt
第9节 电磁振荡与电磁波
第11章
振动与 波动
第一部分 机械振动
第一节 谐振动
Simple Harmonic Motion 振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。 问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移） 机械振动 电磁振动
其中
k Mm
Mm T 2 k
2
m
h L k M
l
F P
x
（ 2） t 0
F o o x x P x
2
m 2 gh v0 Mm （注意正负号！）
2
mg x0 l k
2 v mg 2 ghm 代入公式得 A x02 0 k ( M m )k v0 取第3象限值 2kh arctan x arctan ( M m ) g 取第1象限值 0
O
Fy N 1 N 2 mg 0
x
f1 f 2 mN1 mN 2 0
N2
y
x
f1 f 2
N1 N 2 ?
x
c
选O点为转轴
mg

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0
0
2d
N 2d N1d mgx 0
N 2d N 1d mgx 0
d x mgx Fx f1 f 2 mN1 mN 2 m d m dt 2
例2. 两轮的轴互相平行，相距 2d, 两轮转速相 同而方向相反，将质量为 m 的一匀质薄板搁在两轮 上，板与轮的摩檫系数为 m ，若板的质心 C 起初 距一轮较近（如图）试证明板作简谐振动并求周期。
O

C
双轮
2d
证明：建立坐标系如图， 研究对象：板
板受力： mg N1 N2
f1 f2
F
N1
x
-0.2
2
4
6
8
10
t
12
E
1 0.8
Ek
Ep
0.6
0.4
守恒！
0.2
-1
-0.5
0.5
x
1
三、描述谐振动的基本量 由 x A cos(t )
A, , .
A

振幅（最大位移的绝对值）。 由初始条件决定。
2 角频率（2秒内振动的次数)。 2 T。
由系统性质决定（故称固有频率）。 2 d x 2 由 x 0 定出 。 2 dt 位相（决定振动状态的物理量）。 (t )
电磁量（如i 、u、 E、 B）
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
一、谐振动特征 以弹簧振子为例得出普遍结论： 弹簧振子
动力学特征
由
回复力
k
o
F合 kx
F合 ma kx

运动学特征 k a x 2 x m 微分方程特征
2
F x
N m p x
k m
x可代表任意物理量 d x 2 x 0 2 dt
例1. 已知：M, m, h, k. （1）证明物m从静止落下与板粘在一起后作简 谐振动，并求周期。 （2）当物m与板相碰时作为记时起点，写出振 动方程。 解：（1）首先选一坐标系，原 m 点放在受力平衡处。
h L
k
M
l
F P
F
x o
Mg kL (m M ) g k ( L l )
振动方程为
2 mg 2 ghm 2 k 2 kh x cos t arctan M m ( M m ) g k ( M m )k
讨论：若 x 轴向上为正，写方程有那些变化？
F合 （M m ) g k ( L l x ) kx
t 0 ，位相为
称初位相。
由初始条件决定。 （重点！）
设 t 0 ，位移 x0 ，速度 v 0
x0 A cos
A
v0 A sin
得
2 x0 (v 0 ) 2 v0 tan x 0
简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期？ （2）写出振动方程？
t
-1
E p Ek 1 2 动 能 Ek mv 2 1 mA 2 2 sin 2 (t ) 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 2 势 能 E p kx 2 1 kA 2 cos 2 (t ) 2 总 能 E Ek E p
1 1 2 2 m v kx 2 2 1 1 2 kA m ( A ) 2 2 2