材料力学习题弯曲变形
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。
答：(C)2. 外伸梁受载荷如致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种：答：(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B)EI x M xw q x F F xM)(d d ,d d ,d d 22SS =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -==-=；(D)EI x M x w q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -=-==。
答：(B)4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EIl M EI Fl w B 232e 3+=（↓）则截面C 处挠度为：(A)2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）；(B)233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； (C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）。
答：(C)5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；(C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：(C)8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
《材料力学》 练习题 (弯曲变形)
《材料力学》练习题（弯曲变形）
院系：年级：专业：
姓名：学号：成绩：
1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。
（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。
（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。
4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。
（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。
8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。
已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。
试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学弯曲变形答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力ζ与切应力η必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力ζ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力η必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
材料力学弯曲变形
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
材料力学第八章-弯曲变形
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学典型例题及解析 6.弯曲变形典型习题解析
弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。
图中C 为中间铰。
为已知。
I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。
解：设支反力为，如图示。
yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。
AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。
需要6个位移边界条件和光滑连续条件。
332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。
材料力学 第6章 弯曲变形
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形基本概念题一、选择题1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。
2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。
题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。
题3图4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。
A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数-26-题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( )A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。
关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。
A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
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1. 梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（
）所示（图中挠曲线的虚线部
分表示直线，实线部分表示曲线
）。
2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为
）°
弯曲变形
基本概念题
一、选择题
题2图 题1图
A. 两组结果的正负号完全一致
B. 两组结果的正负号完全相反
C. 挠度的正负号相反，转角正负号一致
D. 挠度正负号一致，转角的正负号相反
3
2
3
3. 已知挠曲线方程 y = q o x （l - 3lx +2 x ）/（48EI ），如图所示，则两端点的约束可能为
F 列约束中的（
）°
题3图
4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。
A. 该梁应分为 AB 、BC 两段进行积分 B. 挠度积分表达式中，会出现 4个积分常数
5
题4图 题5图
C. 积分常数由边界条件和连续条件来确定
D.
边界条件和连续条件表达式为 x = 0，y = 0 ； x = l ，
y 左=y 右二0，y'O
5.用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为 （ ）
A. x = =0, y = 0
);x = :a + l
,y = 0 ； x = a, y 左二 y 右，y 左 二y 右 B. x = =0, y = 0 );x = :a +
l ,y = 0 ; x = a, y 左二y 右， y 左二y 右 C. x = =0, y =( );x = =a + l
,y = 0, y =0; x = a, y 左= y 右
D. x : =0, y = < 0; x =
=a + l, y = 0, y "= 0; x = a, y 左二
:y 右
6.
材料相同的悬臂梁I 、n,所受荷载及截面尺寸如图所示。
关于它们
的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。
1
A . I 梁最大挠度是n 梁的
倍
C . I 梁最大挠度与n 梁的相等
B . I 梁最大挠度是n 梁的
D .I 梁最大挠度是n 梁的
7.如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端 题7图
C 截面的挠度为（
A .
2Pa 3 3EI
B .
Pa 3 3EI
Pa 3 EI
D .
3Pa 3 2EI
8. 已知简支梁，跨度为I , El 为常数，挠曲线方程为
y =qx(l 3 - 2lx 2 x ‘). (24EI),
-27-
4
4 b
题6图
如图所示，则梁的弯矩图为（ ）。
D . Q
Cg —尹
10.研究梁的变形的目的是（
1 2
M C — M C qa
2
)。
3. 如图所示，若两梁的抗弯刚度相同, 面有相同位移。
（
）
4. 等截面直梁在弯曲变形时，弯矩 最大处，挠度最大。
（）
弯矩方程相同，梁长相同, 则两梁相应的横截 9. 对于图示等截面梁 AB,下列结论中正确的是（ A. 梁AB 的位移（挠度和转角）等于梁A B •和梁A B 的位移的代数和
B. 梁A B •的受力情况对于中央截面 C •对称，故截面 C •处的剪力和转角必为零
C. 梁A B ”的受力情况对于中央截面 C”为反对称，故截面 C”处弯矩和挠度必为零A.进行梁的强度计算 B •进行梁的刚度计算 C.进行梁的稳定性计算 D •为解超静定梁提供条件
11.桥式起重机的主钢梁，设计成两端外伸梁较简支梁有利，其理由是（
）。
A.减小了梁的最大弯矩值 B •减小了梁的最大剪力值 C.减小了梁的最大挠度值
D .增加了梁的抗弯刚度值
、判断题（正确的打“V” ，错的打“X
1. 平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线。
（）
2. 若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程相同，则两梁的挠曲线近似微分方程相同。
5. 弯矩为零的梁截面，挠度有极大 ，
<b
)
(c)
题9图
）。
值。
（）
题3图
-28-
1.挠曲线近似微分方程
八一彎的近似性表现在（1）•（
）；
-29-
9.用积分法求解等截面梁的转角和挠度,
题10图
(b)这
6. 弯矩为零的梁截面，挠曲线将出现拐点。
（）
7. 用积分法计算图示梁的挠度时，边界条件和连续条件（右端弹性支座的弹簧常数为
* P ， *
k ）是 x = o, y = o ； x = 2 i ， y ； x = i, y 左二 y 右，y 左二 y 右。
（）
2 k
题7图 题8图
8. 用积分法求解梁的转角和挠度时，对于中间铰和中间支座的连续条件是中间铰处:
y 左二y 右，y 左二y 右；中间支座处： y 左二y 右，y 左二y 右。
（）
边界条件为：x = 0,y = .）I AC （AC 杆的伸长），
10. 图所示梁B 截面的转角 ％是负值。
（） 11. 在设计中，一受弯的碳素钢轴刚度不够，可改用优质合金钢。
（）
12. （a ）所示简支梁，按所选截面，发现跨中挠度超过了设计允许值，可以采用图 种局部增加刚度的方法。
（）
题12图
三、填空题
x = l ，y =
得“匝
2EI ，即曲线是一条抛物线。
试说明两者不一样的原因。
题2图
3. 图示梁 AC 段的挠曲线方程为 y =坐_
2EI
（ ），截面B 的转角和挠度分别为（
4. 画出图示各梁挠曲线的大体形状
（画在原图
上
（0乞X 乞a ），则该段的转角方程
为 ）和（
）。
图（
a
）
分为
（
） 段，边界条件为（
（
)°
图（b ）分为（ ） 段, 边界条件为（
（
)
图（c ）分为（ ） 段, 边界条件为（
（
)
图（d ）分为（ ） 段, 边界条件为（
（
) ），连续条件为
），连续条件为
），连续条件为
），连续条件为
（2）.（ ）。
2.由二M
可知，当M 为常量即纯弯曲时，全梁的曲率不变，
为常量，所以挠曲
EI
线是一条圆弧线。
今取图 6-29所示悬臂梁，自由端作用有集中力偶
m,亦为纯弯曲，但解
5.对图示外伸梁，当 x =（）时，AB段挠度成线性变化。
6.对图6所示静定梁D点的挠度为
Pa
y^sET，截面B的转角为
5Pa
2
6EI ，则不
题
7图
8.矩形截面悬臂梁受荷载如图所示, （1）当梁长I增大到21时，则梁的最大挠度增大至
9. 若已知简支梁承受均布荷载q时的中点挠度和端点转角, 如图（a）所示，那么图（b）、（c）、（d）梁的中点挠度为：（b）
（
），（c）（），（d）
（
10. 用叠加法求梁位移时，应满足的条件是（1）
（
11. 在下列各梁中指明哪些是超静定梁。
（
），（2）（）。
）为超静定梁，对应的超静定
难求得 =（）；y c =（）。
7. 用积分法求图示变截面梁的挠曲线方程时
应分（）段，共有积分常数（）个。
原来的（）倍。
⑵当梁长b减小至b/2时，则梁的最大挠度增大至原来的（）倍。
⑶当梁长h减小至h/2时时，则梁的最大挠度增大至原来的（）倍。
题5图题6图
题11图-31-
1.
求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。
设EA =常量。
求解时应注意
到梁在CB 段内无载荷，故 CB 仍为直线。
2. 用叠加法求图示个梁截面 A 的挠度和截面B 的转角。
EI 为已知常数。
3. 用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角。
设
EI 为常数。
题3图 题4图
4. 图示等截面梁，抗弯刚度 EI 。
设梁下有一曲面 y = -Ax 3,欲使梁变形后恰好与该
曲面密合，且曲面不受压力。
试问梁上应加什么载荷？并确定载荷的大小和方向。
5. 直角拐AB 与AC 刚性连接，A 处为一轴承，允许AC 轴的端截面在轴承内自由转动， 但不能上下移动。
已知 F = 60 N, E = 210 GPa, G = 0.4 E 。
试求截面 B 的垂直位移。
6. 图示悬臂梁AD 和BE 的抗弯刚度同为 EI = 24 X 106N • m 2。
由钢杆CD 相连接。
题1图 题2图
题5图 题6图
CD 杆的 I = 5 m, A = 3X 10-4m2, E = 200 GPa。
若 F = 50 kN，试求悬臂梁 AD 在 D 点的挠度。
-32-。