1.6三角函数模型及其应用优秀课件

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一般的，所求出的函数模型只能近似刻
画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当
特别注意自变量的变化范围.
总结: y Asin(x ) b.
A
1 2
f
xmax
f
xmin
b
1f
2
xmax
f
xmin
利用T 2 ，求得
选择的点要认清其属“五点法”中的哪
一位置点，并能正确代人列式，求得 .
“第一点”为：x0 0
A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修4）
1.6三角函数模型的简单应用
例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化
曲线近似满足函数 y Asin(x ) b y
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30
20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.
10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
函数 y Asin(x ) b的半个周期
0 6 10 14 x
的图象，所以，A 1 30 10
1
2Baidu Nhomakorabea
14
6
2
.
将x
2
8
10, b 6,
1 30 10
2
20
y 10代入上式，解得＝
3
4
.
综上，所求解析式为y 10sin( x 3 ) 20, x 6,14
所以，函数 y sin x 是以π为周期的函数。
探究一：建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图，设地球表面某地正午太
阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ
为该地的纬度值.当地夏半年δ取正值，冬半
年δ取负值. 如果在北京地区（纬度数约为
北纬40°）的一幢高为h0的楼房北 面盖一新楼，要使新
φ-δ
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）， 该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00 开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什
么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
“第二点”为：x0
2
“第三点”为：x0
“第四点”为：x0
3
2
“第五点”为：x0 2
例2 画出函数 y sin x 的图象并观察其 周期。
y
-3π -2π -π 0
π
2π 3π x
y
-3π -2π -π 0
π
2π 3π x
解：函数图象如图所示。
从图中可以看出，函数 y sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。 我们也可以这样进行验证： 由于 sin(x ) sin x sin x ,
xC 12 0.3848 12.3848,
xD 12 5.6152 17.6152. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出 港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次 可以在港口停留5小时左右。
解：
（3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点.
解：
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，
在直角坐标系中画出散点图，根据图象，
可以考虑用函数 y Asin(x ) h
来刻画水深与时间之间的对应关系.
从数据和图象可以得出：
A=2.5,h=5,T=12, =0;
由T
2
12 ，得
6
.
所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
y 2.5sin x 5
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
课堂练习；如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复
两楼的临界距离
应是图中哪两点
h0
之间的距离？
-23°26´
0°
23°26´
M 40°
A
B
C
思考5：右图中∠C
的度数是多少？MC
的长度如何计算？
h0
MC
h0 tan C
-23°26´ 0° 23°26´
tan
h0 26034
'
2h0
M 40°
A
B
C
思考6：综上分析，要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼 的距离不应小于多少？
思考3：根据地理知识，北京地区一年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长？
太阳直射北回归线时物体的影子最 短，直射南回归线时物体的影子最 长.
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射
北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地
面上的投影点.要
使新楼一层正午
的太阳全年不被
前面的楼房遮挡，
6
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
解：
（2）货船需要的安全水深
为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.
令
2.5 sin
6
x
5
5.5
化简得
sin
6
x
0.2
由计算器计算可得
6
x
0.2014, 或
6
x
0.2014
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
因为 x [0, 24]，所以有函数周期性易得
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。
圣米切尔山
涨潮
落潮
例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一 般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道， 靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节 每天的时间与水深的关系表：
楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应
θ
φδ 太阳光
小于多少？
思考1：图中θ、 δ、φ这三个角 之间的关系是什 么？
φ-δ
φδ θ 太阳光
θ=90°－∣φ－δ∣.
思考2：当太阳高度角为θ时，设高为
h0的楼房在地面上的投影长为h，那么 θ、h0、h三者满足什么关系？
h=h0 tanθ.
时刻
0:00 3:00 6:00
水深（米）
5.0 7.5 5.0
时刻
9:00 12:00 15:00
水深（米）
2.5 5.0 7.5
时刻
18:00 21:00 24:00
水深（米）
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关
系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0. 1）