2020年高一上数学必修一培优学案第4讲.函数的奇偶性(二)与对称性

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人教A版高中数学必修一新课标优秀教学案教案资料奇偶性

备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f ［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f ［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (8)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.(设计者：韩双影)本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.推进新课提出问题①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例思路1例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )A.P∩Q=∅B.P QC.P=QD.P Q分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P 是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=∅.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )A.M=PB.P MC.M PD.M∩P=R分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴P M.2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A 与B 的运算A*B={x|x ∈A 或x ∈B,且x ∉A∩B},则(A*B)*A 等于( )A.A∩BB.A ∪BC.AD.B分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x 2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x 2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.解：方法一（观察法）∵函数y=x 2+1的定义域是R ,∴观察到x 2≥0.∴x 2+1≥1.∴函数y=x 2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函数y=x 2+1是二次函数，其定义域是x ∈R ，则函数y=x 2+1的最小值是f(0)=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x 2或|x|或x 时，通常利用常见的结论x 2≥0,|x|≥0,x ≥0等，直接观察写出函数的最值；公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=432+x x 的最大值和最小值. 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值.解：（判别式法）由y=432+x x 得yx 2-3x+4y=0， ∵x ∈R ，∴ 关于x 的方程yx 2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y 2≥0.∴0<y 2≤169.∴43-≤y<0或0<y≤43. 综上所得，43-≤y≤43. ∴ 函数y=432+x x 的最小值是43-，最大值是43. 点评：形如函数y=fcx dx c bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎨⎧≠≥-.0,042m mk n 此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线x=a ，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=2-+x a x ，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+1x a -2)-(x 2+2x a -2) =(x 1-x 2)+(-1x a 2x a )=(x 1-x 2)(121x x a -)=(x 1-x 2)2121x x a x x -. ∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0.∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f(x 1)与f(x 2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D 上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值.变式训练求函数f(x)=1-x 2的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=u ，u=x 2-1，当x≥0时，u=x 2-1是增函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在［1,+∞)上是增函数.当x≤0时，u=x 2-1是减函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在(-∞,-1］上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f ［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f ［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f ［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.思路2例1集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.分析：集合B 是关于x 的方程mx-1=0的解集，∵B ⊆A ，∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，关于x 的方程mx-1=0无解，则m=0；当B≠∅时，x=m 1∈A ，则有(m 1)2m 3--4=0，即4m 2+3m-1=0.解得m=-1,41. 答案：-1,0,41 黑色陷阱：本题任意忽视B=∅的情况，导致出现错误m=-1,41.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练已知集合A={x|⎩⎨⎧≥-≥+0502x x }，B={x|p+1≤x≤2p -1}，若A∩B=B ，求实数p 的取值范围. 分析：理解集合A 是不等式组⎩⎨⎧≥-≥+05,02x x 的解集是关键，又A∩B=B 说明了B ⊆A ，包含=∅和B≠∅两种情况，故要分类讨论解决问题.解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B ，∴B ⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，p+1>2p-1，解得p<2.当B≠∅时，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-<+.512,21,121p p p p 解得2≤p≤3.综上所得实数p 的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；要重视常见结论A∩B=B ⇔A ∪B=A ⇔B ⊆A 的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-.2,4,22,2,2,4x x x x -4,2x,4, x≤-2,-2<x<2,x≥2.其图象如图1-2所示:图1-2由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，图1-3观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.例3求函数y=x+x4,x ∈［1,3］的最大值和最小值. 分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性. 解：可以证明当x ∈［1,2］时，函数y=x+x 4是减函数，此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.可以证明当x ∈［2,3］时，函数y=x+x 4是增函数，此时函数的最大值是f(3)=313，最小值是f(2)=4. 综上所得，函数y=x+x4,x ∈［1,3］的最大值为5，最小值为4. 点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b ］上是减函数，在区间［b,c ］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b ］上是增函数，在区间［b,c ］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例4求函数y=x 4+2x 2-2的最小值.解：函数的定义域是R ，设x 2=t ，则t≥0.则y=t 2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，则当t=0时，y 取最小值-2，所以函数y=x 4+2x 2-2的最小值为-2.点评：求形如函数y=ax 2m +bx m +c(ab≠0)或y=ax+c bx +(ab≠0)的最值时，常用设x m =t 或c bx +=t ，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例52007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y ∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(xyy x ++1). (1) 求证：函数f(x)是奇函数；(2) 若当x ∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y 是解题关键；（2）定义法证明，其中判定21121x x x x --的范围是关键. 解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0100++)，∴f(0)=0. 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(21xx x --)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)＝f(21121x x x x ---). ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0. 又(x 2-x 1)-(1-x 1x 2)=(x 2-1)(x 1+1)<0，∴0＜x 2-x 1<1-x 1x 2.∴-1<21121x x x x ---<0.由题意知f(21121x x x x ---)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练1.2006陕西高考，文1已知集合P={x ∈N |1≤x≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x-6=0},则P∩Q 等于( )A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2}D.{2}分析：明确集合P 、Q 的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q ={-3,2},则P∩Q ＝{2}.答案：D点评：解决本题关键是集合P 是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q 是方程x 2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S ∪T)等于( )A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}分析：直接观察（或画出Venn 图）得S ∪T={1,3,5,6}，则(S ∪T)＝{2,4,7,8}. 答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、V enn 图写出运算结果.3.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）=1和f （x ＋1）-f （x ）=2x.（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f （x ）是二次函数，用待定系数法求f （x ）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.解：（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1，可知c ＝1.而f （x ＋1）-f （x ）＝［a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ］-（ax 2＋bx ＋c ）＝2ax ＋a ＋b. 由f （x ＋1）-f （x ）＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝-1.故f （x ）＝x 2-x ＋1.（2）∵f(x)=x 2-x+1=(x-21)2+43， ∴当x ∈[-1，1]时，f （x ）的最小值是f(21)=43，f （x ）的最大值是f （-1）＝3. 拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1-4图1-5思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE 、△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF ，∠ECF=90°,∴△CFE 为等腰直角三角形，同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ，则BE=0.4-x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)， W=21x 2·3a+21×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x)］a =a(x 2-0.2x+0.24)=a ［(x-0.1)2+0.23］(0<x<0.4).由于a>0，则当x=0.1时，W 有最小值，即总费用为最省.即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.课堂小结本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业复习参考题任选两题.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.。

【新教材】新人教A版必修一函数的奇偶性学案

2019-2020学年新人教A版必修一函数的奇偶性学案1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。

2．两个性质(1)若奇函数f(x）在x＝0处有定义，则f(0）＝0。

(2)设f（x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

3．函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a）＝－f（x)，则T＝2a(a≠0）。

（2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a（a≠0）。

（3)若f(x＋a）＝－错误!,则T＝2a（a≠0）。

一、走进教材1．（必修1P35例5改编）下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f（x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为（0,＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。

故选B。

答案 B2．(必修4P46A组T10改编）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈［－1，1）时，f（x)＝错误!则f错误!＝________。

解析由题意得，f错误!＝f错误!＝－4×错误!2＋2＝1。

答案 1二、走近高考3．（2017·全国卷Ⅱ）已知函数f(x）是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0）时,f （x）＝2x3＋x2，则f(2)＝________。

解析依题意得，f（－2)＝2×(－2）3＋(－2)2＝－12，由函数f(x）是奇函数，得f （2)＝－f（－2)＝12。

答案124．(2017·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f(x＋4)＝f（x－2)。

若当x∈［－3,0］时,f（x)＝6－x，则f(919）＝________。

北京市101中学2020学年高中数学《函数的奇偶性》学案新人教A版必修1

北京市 101中学 2020学年高中数学《函数的奇偶性》教案新人教 A版必修 1学科：数学专题：函数的奇偶性主要考点梳理1．奇函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．2．偶函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．假如函数是奇函数或偶函数，那么，就说函数拥有奇偶性．易混易错点：函数的定义域在数轴上所示的区间对于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必需条件．所以判断函数为奇函数或偶函数，第一要看定义域能否对于原点对称．但是，许多学生对此缺少深刻的理解，常常只注意形式化的表达式而不注意定义域对于原点对称的包含条件．3．单一函数的性质①由奇函数的定义可知，假如在处有定义，则．②一般地，图象对于原点对称的函数为奇函数；反之，奇函数的图象对于原点对称．图象对于轴对称的函数为偶函数；反之，偶函数的图象对于轴对称．③奇函数在对于原点对称的两个区间上拥有同样的单一性，偶函数在对于原点对称的两个区间上拥有相反的单一性．易错小题考考你题一题面：判断函数的奇偶性时，王新同学这样解：因为，所以是偶函数．上述判断正确吗？为何？金题精讲题一题面：如果偶函数在上有最大值，那么在上（）．A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值题二题面：设函数为奇函数，则．题三题面：设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）．A．B．C．D．题四题面：已知（）为奇函数，当时，，求在上的表达式.题五题面：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于随意的、都满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的的奇偶性，并证明你的结论．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：设是 R 上的随意函数，则以下表达正确的是（）．A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数题二题面：若奇函数在上单调递增，又，则不等式的解集为 ________ ．题三题面：设，都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值．讲义参照答案易错小题考考你题一答案：上述判断是错误的．金题精讲题一答案： A．题二答案：．题三答案： D．题四答案：题五答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）是奇函数；证明略．课后拓展练习题一答案： D．详解：对于A，设，则，故函数为偶函数．所以 A 错误．对于B，设，则，此时与的关系不能确定，故函数的奇偶性不确立．所以 B 错误．对于C，设，，故函数为奇函数．所以 C 错误．所以正确选项为 D．事实上，对于D，设，，故函数为偶函数．所以 D 正确．．题二答案：．详解因为函数是奇函数，且，所以依据奇函数图象的对称性，能够画出图象（如图），联合图象能够求出解集为．题三答案：1．详解：考虑，显然为奇函数．由题意知在上有最大值3，所以在上有最小值3，故在上有最小值1．。

高一数学必修一函数奇偶性教学教案

函数奇偶性的教学教案一、教学目标理解函数奇偶性的概念及性质；能够判断函数的奇偶性，并了解常见函数的奇偶性；学会应用函数奇偶性解决实际问题；培养学生的数学思维能力和创新意识。

二、教学内容本节课教学内容为函数的奇偶性，包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数等概念及其判断方法。

三、教学过程导入新课通过复习函数的定义及性质，引出函数的奇偶性。

新课教学（1）奇函数和偶函数的概念定义：对于函数f(x)，如果对于任意一个x∈D(D为函数的定义域)，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)称为偶函数；如果对于任意一个x∈D，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)称为奇函数。

（2）常见函数的奇偶性a. 正比例函数f(x)=kx (k≠0)是奇函数，因为f(-x)=-f(x)。

b. 一次函数f(x)=kx+b (k≠0)是非奇非偶函数，因为f(-x)=kx-b≠f(x)。

c. 反比例函数f(x)=k/x (k≠0)是奇函数，因为f(-x)=-f(x)。

d. 二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)是非奇非偶函数，因为f(-x)=ax^2-bx+c≠f(x)。

（3）如何判断函数的奇偶性a. 首先确定函数的定义域是否关于原点对称；b. 其次计算f(-x)与f(x)或-f(x)的关系，判断函数是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数。

（4）应用举例通过具体例子的判断，加深学生对函数奇偶性的理解。

课堂练习（1）让学生判断一些函数的奇偶性；（2）让学生自己举出一些函数的奇偶性的例子。

四、教学反思本节课教学内容比较简单，学生容易理解。

但需要注意一些细节，如：判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称；其次要计算f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。

在实际应用中，要注意将函数的奇偶性与函数的单调性、周期性等其他性质结合起来，才能更好地理解函数的性质。

同时，培养学生的数学思维能力和创新意识也是本节课的重要目标之一。

高中数学必修一《函数的奇偶性》教案7页word文档

函数的奇偶性和平中学朱飞鸽教学目标：1、学习函数奇偶性的概念；2、利用定义判断简单函数的奇偶性3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：函数的奇偶性及其建立过程，判断函数的奇偶性方法与格式教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识教学过程：一、新课引入1、智力测验题：现有10枚硬币，摆成一个等边三角形，试只移动其中的3枚使三角形的方向改变。

引导学生寻找其中的原因和规律：由于中间部分是个正六边形，即是个中心对称图形，而等边三角形的三个顶点恰在相间的三条边上，所以只需移动这三枚硬币到另三条边上即可改变方向；而且我们把它看成一个轴对称图形也可解决问题。

小结：由此可见该智力题的解决关键是我们把握了图形的对称性，而实际生活中对称性的应用远非仅仅解决智力题，它在许多地方起着极其重要的作用，例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。

2美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，我们学校刚刚落成的综合大楼，它们都具有对称的美。

对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变化）的一个重要性质。

今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习。

（板书课题）二、新课讲述请同学们观察图像填写下表让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现：Λ),2()2(),1()1(f f f f =-=-适时引入课件，加深印象。

（板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

再注意观察x x g 1)(=的图象，显然xx g 1)(=不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。

引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。

（由教师板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-, 那么函数)(x f 就叫做奇函数。

人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案

人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的奇偶性人教A版必修一第一章第三节一、创设情境引入新课二、师生互动探索新知①麦当劳的标志②风车问题1：图像有何共同特点？问题2：你能回忆几类常见函数及图像吗？请找出哪些关于轴对称，哪些关于原点成中心对称。

O①()f x x=②1()f xx=O③2)(xxf=④axf=)(⑤xxf=)(问题3：如何从数学角度，用数学语言来描述这种对称性呢？1、探索定义请作出2)(xxf=的图像，求)(),(),2(),2(),1(),1(afafffff---。

观察并思考：①关于y轴对称的点的横、直观感受生活中的对称美。

1、关于y轴对称的轴对称函数图像：③④⑤2、关于原点对称的中心对称函数图像：①②学生动手，计算出每个函数值。

发现①横坐标为相反数，纵坐标相等。

②是。

用符号描述察图片导入新课，让学生感受到数学来源于生活，数学与生活是密切相关的，从而激发学生浓厚的学习兴趣。

指出这两类就是本节课要研究和学习的对象。

以提问的方式，引出本节课的课题----如何用数学语言来描述这种图像的对称特征。

由于函数图像是由无数点构成的，所以让学生通过取特殊点猜想所有点的情况的方式，让学生体会到从特殊到一般的过程。

从而从形和数两个方面丰富了学生对偶函数的认xyoxyxyoxyOxy二、师生互动探索新知纵坐标具有什么特点？②在函数f(x)＝x2图像上任取一点，关于y轴对称的对称点是否一定还在其图像上呢？研究结论：图像关于y轴对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)＝f(x)。

此类函数y＝f(x)叫做偶函数。

这就是偶函数的定义。

2、深化概念①如何理解“D内的任意一个x，都有-x∈D”②f(－x)=f(x)实质是什么？课外探究：是否所有的二次函数、分段函数都是偶函数呢若不是，需要满足什么条件才是呢3、活学活用：例1：判断1)(2+=xxf是偶函数吗？变式：]2,3[,1)(2-∈+=xxxf4、归纳步骤用定义法判断的步骤①求定义域，看是否关于原点对称；②判断f(-x)=f(x)是否成立。

人教B版数学高一版必修1学案函数的奇偶性

2.1.4 函数的奇偶性谈重点对函数奇偶性的理解(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的前提条件是定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(2)函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(3)既奇又偶函数的表达式如f(x)＝0(x∈A)，定义域A是关于原点对称的非空数集．如函数f(x)＝0(－2≤x≤2)是既奇又偶函数；再如函数f(x)＝x＋－x，定义域为{0}且f(x)＝0，所以该函数也是既奇又偶函数．(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.(5)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．用定义判断函数奇偶性的一般步骤(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进行下一步．(2)求f(－x)并判断f(－x)与f(x)的关系．若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数．(3)得出结论．【例1－1】下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数答案：B【例1－2】判断下列函数的奇偶性：(1)(f x(2)(f x(3)f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]．解：(1)∵由10,10,xx-≥⎧⎨-≥⎩得x＝1，∴函数f(x)的定义域为{1}，不关于原点对称．故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)∵由2210,10,xx⎧-≥⎨-≥⎩得x2＝1，即x＝±1.∴函数f(x)的定义域是{－1,1}，关于原点对称．又∵f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称．又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．2．奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．析规律巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数(－∞，0](或[0，＋∞))上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．【例2－1】奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)＜0的解集是(－1,0)∪(1,2)．答案：(－1,0)∪(1,2)【例2－2】已知，如图为某函数y＝f(x)的图象(关于原点对称)，且f(2)＝2，求f(－2)的值是多少？解：∵函数y＝f(x)的图象关于原点对称，∴函数y＝f(x)是奇函数．又f(2)＝2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2.【例2－3】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．分析：方法一：方法二：解：方法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)＜f(3)．方法二：由题图可知f(－1)＜f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，∴f(1)＜f(3)．析规律奇、偶函数图象的作用(1)由函数图象的对称性判断函数的奇偶性也是一种常用的奇偶性判断方法，称作图象法．(2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数，则只要将它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．3．判断函数奇偶性的方法(1)定义法 (2)图象法其步骤是：①画出函数f (x )的图象；②判断函数图象关于原点或y 轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．【例3】判断下列函数的奇偶性：(1)222()=1x xf x x ++；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 2＋1.解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－(x 3－2x )＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3－2x 是奇函数．方法二：∵f 1(x )＝x 3是奇函数，f 2(x )＝－2x 也是奇函数， ∴f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )＝x 3－2x 是奇函数． (3)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．方法二：画出y ＝x 2＋1的图象，如图，由图可知其图象关于y 轴对称．∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．辨误区判断奇偶性应先考虑定义域本题(1)易错解为：f (x )＝2x 2＋2x x ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域．避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则．4．分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系．首先要特别注意的是x 与－x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x )与f (－x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ≥0，－x (x ＋1)，x <0的奇偶性．解：函数的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R .∵当x ＞0时，有f (x )＝x (x －1)，－x ＜0， ∴f (－x )＝－(－x )·(－x ＋1)＝x (1－x )＝－x (x －1)＝－f (x )．当x ＜0时，有f (x )＝－x (x ＋1)，－x ＞0， ∴f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，f (－0)＝0＝－f (0)．综上所得，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )成立． ∴f (x )是奇函数．【例4－1】已知函数222,0,()=0,=0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪⎨⎪+<⎩是奇函数，则m ＝________.解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x . ∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， ∴m ＝2. 答案：2【例4－2】判断函数2211,0,2()=11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩的奇偶性．解：方法一：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝12－(－x )2－1＝2112x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝2112x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝－f (x )．综上所述，在(－∞，0)∪(0，＋∞)上总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．方法二：作出函数的图象，如图所示．函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．点技巧分段函数奇偶性的判断技巧(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，可利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性．5．抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．【例5】函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．6．利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.若做选择题或填空题，还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．(2)特殊点对称法：在函数y＝f(x)图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))，(－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．【例6－1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.解析：方法一：由于是填空题，故可采用直接代换法，将x用－x代替，即答案为－x－x 4.方法二：设x ∈(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)，则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝－x －x 4. 答案：－x －x 4【例6－2】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．分析：解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0. 当x ＞0时，－x ＜0，则 f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (x ＋2)．故(2),0,()=0,=0,(2),0.x x x f x x x x x +>⎧⎪⎨⎪-<⎩辨误区定义在R 上的奇函数易忽略的结论f (x )在定义域内的解析式是分段给出的，要写成分段函数的形式，另外不要忽略当x ＝0时，f (x )＝0.7．函数的奇偶性与单调性的综合应用函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系：(1)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相同”的单调性．证明：当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时，设－b ＜x 1＜x 2＜－a ，则a ＜－x 2＜－x 1＜b . 由于f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则有f (－x 1)＞f (－x 2)．又函数y ＝f (x )是奇函数，所以－f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间(－b ，－a )上也是增函数．同理可证，当f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )上是减函数时，f (x )在区间(－b ，－a )上也是减函数．(2)如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相反”的单调性．证明略，与(1)的证明类似．这样，就可以利用函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系解决有关问题了．【例7】函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (2)＝0，求不规范解答顾问点评解：∵f (2)＝0，∴不等式可转化为f [x (x ＋1)]＜f (2)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解决有关函数的奇偶性、单调性及不等式的综合问题，一般是先利用奇偶性。

2019-2020年高中数学函数的奇偶性教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学函数的奇偶性教案新人教A版必修1
（3）判断函数的奇偶性。

（4）判断函数的奇偶性。

小结：㈠判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义式f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )判断。

一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数
八、本节小结：
1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成－x，（x,－x都在定义域内。

即定义域关于原点对称）。

①如果都有f(－x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。

②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数2、性质:①奇函数的图象关于原点对称。

②偶函数的图象关于y轴对称。

③如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

④如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

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2020高一数学函数的奇偶性(2)学案

2020高一数学函数的奇偶性（2）学案一、学习目标：1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、教学过程：1．复习旧知：（1）奇偶性的定义（2）判断奇偶性的方法和步骤（3）函数具有奇偶性的前提是（4）判断下列函数的奇偶性：f(x)=x 2+x 4; f(x)=x 2-x; f(x)=x-x 1; f(x)=2 x2. 问题解决：一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论变式训练1. 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，试问f(x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论2.改y=f(x)是偶函数呢？小结二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．变式训练已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。

小结三、利用奇偶性，单调性解不等式例3：（1）已知()f x 是定义域为R 上的增函数，且f(m-1)>f(2m-1),求实数m 的取值范围（2）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且为R 上的增函数f(m-1)+f(2m-1) >0，求实数m 的取值范围（3）定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0，求实数m 的取值范围．（4）定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围（5）定义在（－2，2）上的偶函数，在[-2，0]上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围练习反馈1. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－43)与f(a 2－a+1) （a R ∈）的大小关系是（） A ． f(－43)<f(a 2－a+1) B ． f(－43)≥f(a 2－a+1) C ． f(－43)>f(a 2－a+1) D ．与a 的取值无关 2. 定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m = ，n = ； 3. 函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。

高中数学苏教版高一必修一学案函数的奇偶性

2．2.2函数的奇偶性学习目标理解函数奇偶性的定义(难点)；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法(重点)；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题(重、难点)．预习教材P41－43，完成下面问题：知识点一函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．(2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．【预习评价】1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解析由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.答案 12．函数f(x)＝x4＋1x2＋1的奇偶性为________．解析∵x∈R，又f(－x)＝(－x)4＋1(－x)2＋1＝x4＋1x2＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案偶函数3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解析∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案－1知识点二奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【预习评价】下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？提示①②关于y轴对称，③④关于原点对称．知识点三奇偶性应用中常用结论(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反．(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数．【预习评价】若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的有________．解析由奇函数的定义可知①②一定正确，对③、④，当x ＝0时，有f (0)＝0，所以③、④均不成立．答案 ①②题型一如何证明函数的奇偶性【例1】 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1＋x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ＜0，1，x ＞0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．(4)定义域为{x |x ≠0}．若x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f (－(－x ))＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．【训练1】 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x是非奇非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ＜0，x 2，x ＞0是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．(3)定义域为{－a，a}，因为对定义域内的每一个x，f(x)＝0，f(－x)＝0，－f(x)＝0，∴有f(x)＝f(－x)，f(－x)＝－f(x)成立，∴函数既是奇函数又是偶函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝x2，有f(x)＝－x2＝－f(－x)成立；当x＞0时，－x ＜0，f(－x)＝－x2，有f(x)＝x2＝－f(－x)成立，∴有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x)是奇函数．题型二利用函数的奇偶性求值【例2】已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，②①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.规律方法解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d)．也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解．【训练2】函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝________.解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3)．又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.答案 3题型三奇(偶)函数图象的对称性的应用【例3】定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＞0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)＞0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2,0)∪(0,2)．规律方法鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．【训练3】已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)在定义域R上的大致图象，并指出其单调区间．解显然当x＞0时，f(x)＞0.又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，∴f(x)＝xx2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f(x)＝xx2＋1的图象如下．由图可知f(x)＝xx2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．考查方向奇偶性与单调性的综合应用方向1【例4－1】已知y＝f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试判断F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上的单调性．解任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则有－x1＞－x2，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，又∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x2)＝－f(－x2)，f(x1)＝－f(－x1)，故f(x2)＞f(x1)＞0，于是F(x1)－F(x2)＝1f(x1)－1f(x2)＝f(x2)－f(x1)f(x1)f(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)，所以函数F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上是减函数．方向2：求解析式【例4－2】 ①函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，求当x ＜0时，f (x )的解析式；②设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ①设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x －1. ②∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝1x －1①用－x 代替x 得 f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1.方向3：求参数范围【例4－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．①求实数m 的值；②若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 ①因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)，解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2. ②要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．规律方法 (1)两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．(2)两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．(3)证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了． (4)如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ，－y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． (5)奇偶性对单调性的影响①若奇函数f (x )在[a ，b ]上是单调增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是单调增函数，且有最小值－M .②若偶函数f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．课堂达标1．函数f(x)＝x－2＋－x＋2的奇偶性为________．解析由题意知函数的定义域为{x|x＝2}，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．答案非奇非偶2．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)＝f(x)＋x2，若g(－3)＝10，则g(3)的值为________．解析由题意可得g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以g(－x)＋g(x)＝2x2，再由g(－3)＝10得g(3)＝8.答案83．若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，则m＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴m－1＝0，即m＝1.答案 14．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.解析当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－3 x)．高中数学打印版校对完成版本答案 x (1－3x )5．若奇函数f (x )在(－1,1)上是减函数，且2f (1－m )＜0，求实数m 的取值范围．解原式可化为f (1－m )＋f (1－m )＜0⇒f (1－m )＜－f (1－m )⇒f (1－m )＜f (m －1)，又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞m －1，－1＜1－m ＜1，⇒0＜m ＜1.－1＜m －1＜1即实数m 的取值范围是(0,1)．课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。

高一上册数学第一章4《函数的奇偶性》讲义

知识点一：函数奇偶性的定义1、函数奇偶性的定义（1）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则函数()f x 就叫做偶函数；（2）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则函数()f x 就叫做奇函数；（3）如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。

2、具有奇偶性的函数图象特点：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

【题型一】概念应用例1、已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[2,1]a a -,则函数的值域为。

变式：已知函数()f x 为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为。

【题型二】判断奇偶性例2、下列函数是否具有奇偶性.(1) 3()35f x x x =- (2) 2()3||1f x x x =--(3) 22()22f x x x =-+-; (4) 2|2|2()1x f x x --=-(5) 22230()230x x x f x x x x ⎧++<=⎨-+->⎩ （6）1()(1)1x f x x x +=--例3、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 . ① ()||y f x =; ②()y f x =-; ③()·y x f x =; ④()y f x x =+.【题型三】利用奇偶性求值例4、若函数3()7f x ax bx =++,有(5)3f =,则(5)f -= 。

变式1：(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()()()35g 2F x f x x =++,若()F a b =,则()F a -= 。

高一数学培优学案(4)函数的奇偶性

高一数学培优学案（4）函数的奇偶性1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

5、判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

【数学】2020版高中数学第二章函数214函数的奇偶性学案新人教B版必修1

【关键字】数学2．1.4 函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？梳理奇、偶函数的概念思考如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？梳理在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于________对称．知识点三函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？梳理奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以____________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于________对称，则这个函数是偶函数．类型一判断函数的奇偶性例1 (1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．追踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．例2 判断函数f(x)＝的奇偶性．反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))．追踪训练2 证明f(x)＝是奇函数．例3 f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果．追踪训练3 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数类型二奇偶性的应用例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．追踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．例5 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．反思与感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．追踪训练5 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．1．下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x2．函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于( )A．－1 B．1 C．－5 D．54．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________. 1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．答案精析问题导学知识点一思考1 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．思考2 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y 轴(原点)对称，则图象关于y 轴(原点)对称，反之亦然．(2)可操作：要判断点是否关于y 轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．梳理f (x ) －f (x )知识点二思考由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．梳理原点知识点三思考 ①②关于y 轴对称，③④关于原点对称．梳理(1)坐标原点坐标原点 (2)y 轴 y 轴题型探究例1 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数． (2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．跟踪训练1 证明 (1)由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．例2 解由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋52－4，x ∈－6，－1]，x －52－4，x ∈[1，6是偶函数．跟踪训练2 证明定义域为{x |x ≠0}．若x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2，∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．例3 解 ∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数． f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数．f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数．跟踪训练3 C例4 解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f (x )的图象如图．(2)xf (x )>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf (x )>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究解 (1)f (x )的图象如图所示：(2)xf (x )>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．跟踪训练4 解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D . 分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．例5 解设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴f (x )＝－x －1.∴当x <0时，f (x )＝－x －1.跟踪训练5 解设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2]＝2x ＋x 2. 因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0.当堂训练1．D 2.C 3.D 4.B 5.－x ＋1此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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②若 f (x 1) 1 是奇函数，则函数 f (x 1) 图象的对称中心为_________．
⑷ 若 f x 3 的对称中心为 2，1 ，则函数 f x 2 1 图象的对称中心为
．
⑸ ( 目标班专用 ) 若 f (x 3) 的对称中心为 (2 ，1) ，则函数 f (x) 图象的对称中心为
例：若 f x 2 是偶函数，则 f x 的对称轴为_____．
在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由
f x 2 f x 2 f x 关于 x 2 对称．
第 4 讲·目标班·教师版
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知识点睛
一般的轴对称： ⑴ 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 f (x) f (2a x) f (a x) f (a x) ； ⑵ 若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则 y f (x) 的图象关于直线 x a b 成轴对称．
经典精讲
考点 2：二次函数的对称性
<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的．对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质．
【铺垫】函数 f x x2 px q 对任意的 x 均有 f 1 x f 1 x ，那么 f 0 、 f 1 、 f 1 的大小
C． c
D． 4ac b2 4a
F． f x 1 f x 1
⑵ ①若 f (x 2) 是偶函数，则函数 f (x) 图象的对称轴为_______．
②若 f (x 2) 是奇函数，则函数 f (x) 图象的对称中心为_________．
⑶ ①若 f (x 1) 1 是偶函数，则函数 f (x 1) 图象的对称轴为_______．
一、轴对称这里我们要讲的是研究方法：
先来看偶函数，偶函数的图形是关于 y 轴对称的，它具有代数形式是 f x f x ，如何从
图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量 x 和 x ，由于图象是关于 y 轴对称的，所以在 x 与 x 处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是 x 0 ，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，x 和 x 可以理解为一个是 0 x ，一个是 0 x ，也可以理解为 x 与 x 中点为 0 ．
2
【练习 1】⑴若函数 f (x) 满足： f (x 1) f (1 x) 0 ，则 f (x) 的图象的对称轴为________； ⑵若函数 f (x) 满足： f (x) f (x 4) ，则 f (x) 的图象的对称轴为________； ⑶若函数 f (x) 满足： f (2x 2) f (2 2x) 0 ，则 f (x) 的图象的对称轴为________．
由此角度可以想想，若将对称轴换成 x a 呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？
x0
xa
① f a x f a x
②若 x1 x2 2a ，则 f (x1) f (x2 ) ，一定要写成 x1 x2 的形式，只需两个括号中的和为 2a 即可．第 1 种思考方式：若关于 x a 对称，则关于 x a 对称的两自变量所对应的函数值相等；
关系是（）
A． f 1 f 1 f 0
B． f 0 f 1 f 1
C． f 1 f 0 f 1
D． f 1 f 0 f 1
【例 2】 ⑴
二次函数
f
x ax2
bx ca
0 ，若
f
( x1 )
f
(x2 )(x1
x2 )
，则
f
x1
2
x2
等于（
）
A． b 2a
B． b a
一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：
f a x f b x ，则 f (x) 关于 x a b 轴对称．
2
再如：若 f 4 2x f 2 2x ，此时 f x 是否有对称轴？有，仍然为 x 3 ．
当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．
第 4 讲函数的奇偶性㈡与对称性
4.1 函数奇偶性（二）
考点 1：函数的奇偶性
如 f (x 1) 是偶函数：从图象平移角度来说：意味着函数 f (x) 的图象向右平移一个单位后，有对称轴 x 0 ，故函数 f (x) 的图象有对称轴 x 1 ．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等， f (x 1) 的自变量为 x ，故意味着 f (x 1) f (x 1) ．这说明： f (x 1) f (x 1) 与 f (x) 关于 x 1 对称是等价的命题．
Hale Waihona Puke ________． f (x 1) 图象的对称中心为_______．
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第 4 讲·目标班·教师版
4.2 函数的对称性
偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．
【例 1】 ⑴ ① 若 f x 1 是偶函数，下列结论正确的有
．（写出所有正确的选项）
② 若 f x 是偶函数，下列结论正确的有
．（写出所有正确的选项）
A． f x 1 f x 1
B． f x 1 f x 1
C． f x 1 f x 1
D． f x 1 f x 1
E． f (x 1) f (x 1)
第 2 种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若 x2 ，f x2 和
x1 ，f x1 两点关于 y 轴对称 f x1 f x2 ，则两自变量满足 x1 x2 0 （∵中点在对称轴上）．
如： f 4 x f 2 x ，括号中的和为 6 ，∴ f (x) 的图象关于 x 3 对称．