2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量

1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r＝_____________ 【答案】27- 解析：27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅2.0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r得⎩⎨⎧==⇒+=ny m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n mx y 330tan 0==法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r两边同乘或得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⋅=⇒=⋅n n mm 333两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于 22 解析：4=•=•CB AB AC AB 88)(2=⇒=+⇒B O ABCPQ4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r则的取值范围是___________)1,32(解析：=+=+=''32GP AG GP AG AP λ )()(31n m t +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,32(3132∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 22OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的 心 垂心解析： 22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+⇒ 02=⋅⇒，可知AB OC ⊥，其余同理6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41-解析：()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____32 解析：（2007全国联赛类似题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅，即22=⋅+⋅+⋅+。

因为12=，ABCOABGP G ’P ’1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅。

设与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以32cos =θ8. 已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是 21解析：数形结合.α=,β=,βα-=,,γ=BD CD ⊥⇒-=-=αγβγ,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，就是BC ，而21121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．23解析：本题和8完全相同。

数形结合，具体参见810. 设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则⋅的最大值为________212sin ))((+=++θ12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若y x +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是___2 解析：【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)23,21(),0,1(-==则BCD)23,21(y y x -=，则满足11)23()21(222=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 2解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CDBC 与上运动（包括端点），则•的取值范围是 ]1,21[-解析：分两种情形，结合图形分析。

（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则]1,21[211∈-=⋅+⋅=⋅BP ；同理，当P 在CD 上时，]21,21[2121-∈+-=⋅DM14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是 [)716，解析：PM PN⋅u u u u r u u u r ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅==322362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2(2=+≤b a ab ，PM PN ⋅u u u u r u u u r 732≥-=ab ，或者用消元的方法25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅u u u u r u u u r732≥-=ab ；同时86106<⇒+-=+<a a b a ，当8=a 时16=ab ，故16>ab ，另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决15. 已知且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是 37解析：',,B A C y x ⇒+=共线，用几何图形解）的最小值为根据几何意义即为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使最小，则'AB OC ⊥，利用面积法可求得 16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最小值为12解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,21(),1,1(θθ=-==由AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21，BB ’ AC1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++⋅=++-=+θθθθθθθμλ，令]2,0[,sin cos 2sin 1)(πθθθθθ∈++=f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为21)0(=f ，μλ+最小值为2117. 已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足CA CB CP 2+=，则PB PA ⋅=________3解析：如图2+=2=⇒，⋅=18. 已知向量M={ ? =(1,2)+?(3,4) ??R}， N={?=(-2,2)+ ?(4,5) ??R }，则M?N=________{})62,46(解析：15'5242'4231=⇒⎩⎨⎧+=++-=+λλλλλ19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、12PM PN ⋅=-u u u u r u u u r 时，分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当AMMB=______3 解析：))((AN PA AM PA PN PM ++=⋅20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB＝1,则()()CA CD CA CE ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是 227解析：21. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足,则P 的轨迹一定通过的______________重心解析：设重心为G ，32)(3)2(3λλλ=+=⇒-+-= λ=，故P G C ,,三点共线22. 已知点O 为ABC ∆24==,则=•BC AO 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R PACADE B23. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记AC AB AD )1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又AC AB AD )1(λλ-+=CB CD λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ24. O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r2AB AB Sin ABCλ⎛ +∠⎝u u u r u u u r2ACAC Sin ACB ⎫⎪⎪⎪∠⎭u u u r u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的______心 内心解析：设高为AD，则ADAP 1+=λ显然成立25. 已知为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r，记PA u u u r 、PB u u u r 、PC u u u r 中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是_____)7⎡-+∞⎣≥x y ≥，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线的抛物线，其方程为)2(8)3(2-=-y x ,它交直线x y =于点P )627,627(--，显然此=，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627-法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢？实际上就是当P 为ABC ∆==M =的最小值，因为当P变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14225,14225(22----a a a a ,==最小，则圆与坐标轴相切，此时a a a =--142252627-=⇒a 26. 已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+u u r u u u r u u u r且，则x y +的值为 _________ .23, 解析：延长AI 交BC 于点'I ,则32313223+=+== 27. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解28. 平面内两个非零向量,1=，且α与-的夹角为0135的取值范围是_________]2,0(45sin 10=)43,0(πθ∈ 29. 在ABC ∆中，2,1==AC AB ，O 为ABC ∆外接圆的圆心，则=⋅____23解析：2(2)(2)(=⋅-⋅=-⋅30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且．则 ．135 解析：2222524169=⋅++⇒31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→→•CQ BP ,则T 的最大值为 ．22ABC ODE解析：设,的夹角为θ，注意到由余弦定理知060=∠CAB ，故→→•CQ BP32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，，1AD =u u u r，则AC AD ⋅u u u r u u u r =____________333. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1法一：延长OB,OC 至B ’,C ’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ∆重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，34.△ABC 的三个顶点，为_________________三角形. 直角三角形 解：注意到2=⋅+⋅,故0=⋅CA BC35.平面上的向量PB PA ,满足422=+，且0=⋅,若向量PB PA PC 3231+=的最大值为___________34916)34(912≤⇒≤+=，即A P ,重合时.36.已知在平面直角坐标系中，满足0的最大值为解析：即已知⎩⎨⎧≤≤≤+≤10120y y x 求y x 32+最大值问题，线性规划问题.37、在△中，已知，，，于，为的中点，若，则 .解析：μλ+=21，两边同数乘得μλ3=；两边同数乘得368=-μλ解方程组得3261,21=+⇒==μλμλ38. 如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EF u u u r 与BC u u u r 的夹角的余弦值等于 _．31解析：39632=⨯=，下面求(])()([7)(AC BE AB BF AB AB AC AE AF AB ⋅+++⋅-=⋅+⋅=A BCP Q=]2214[7+⋅--，解方程得2=⋅ 39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EFu u u r与BC u u u r的夹角等于 ； 解析：3π解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。