流体运动学基础(new)解析
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流体力学第二章 流体运动学基础
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5
2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
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1
第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
2021/6/29
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流体力学第二章
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
流体力学教案第3章流体运动学基础
第三章 流体运动学基础§3—1研究流体流动的方法一、基本概念场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函数的空间区域为场。
如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此场为定常场，反之称为不定常场。
场的分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧密度场压力场标量场力场速度场矢量场 流场―充满运动流体的场称为流场。
二、研究流体运动的欧拉法欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：（1）在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化。
（2）在相邻的空间点上这些物理量的变化 1、速度表示法欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物理参数随时间的变化。
显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可以是不同的，即V是（x, y, z ）的函数。
同一空间点上，不同时刻，流体质点的速度也是不同的。
即V又是t 的函数。
另一方面x , y , z 又可以看作是流体质点的坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数。
因此： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )),,,(),,,(),,,(t z y x w w t z y x t z y x u u ===υυ故：V =V(x , y , z, t )同理：),,,(t z y x p p =),,,(t z y x ρρ=2、流体质点的加速度流体质点的加速度为：tVa d d =则：z u w y u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==υd d z w y x u t t a y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υυυυυυd d zw w y w x w u t w t w a z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υd d 用矢量表示为： V V tVt V a)(d d ∇⋅+∂∂==其中yk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 为哈密顿算式。
流体力学第二讲流体运动学
如可果得是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在速度势
和流函数。u x
＝ y x
uy
＝ x y
联系流函数与速度势的一对重要的关系式，在数学分析中 称柯西－黎曼（Cauchy-Riemann）条件，满足这种关系的两个 函数称为共轭函数。
grad
注 : rotgrad 0
2024/6/5
21
把
u
代入连续性方程
u 0
,可以得到:
0 0
在直角坐标系中：
2 2 2
x 2
y 2
z 2
0
----拉普拉斯方程。
它是一个线性的二阶偏微分方程。
线性方程的一个突出特点就是解的可以叠加性,
即如果 1,2,......, n是上式的解,则这些解的任意线性 组合 c11 c22 ...... cnn 也是上式的解。
解：（1）流线的微分方程是
dx dy xt yt
上式中的 t 是参数变量，当作常数，对上式积分，得
上式可写为
ln(x+t)=-ln(-y+t)+lnc
（x+t）.（-y+t）=c
由上式可知，在流体中任一瞬时的流线是一双曲线族。
当 t=0，x=-1，y=-1，代入上式，得 c=-1。因此，通过点 A
x t 1
消去 t，得 x y 2
y t 1
2024/6/5
10
３、脉线：
是指运动流体中，用下述方法做成的一种“染色线” ，在流场中的一个固定点处，用某种装置（尽量小，而不 致于对所要考虑的流动发生明显干扰）连续不断的对流经 该点的流体质点染色，许多染色点形成一条纤细色线称为 脉线．
烟筒
2024/6/5
流体的运动学基础
流体的运动学基础流体的运动学是研究流体在没有外力作用下的运动规律和特性的学科。
它广泛应用于物理学、力学、航空航天工程、水利工程等领域。
本文将介绍流体运动学的基本概念和我们对流体运动的理解。
一、流体的运动学基本概念流体是一种特殊物质形态，它具有没有固定形状和可变容积的特点。
流体的运动学主要研究宏观量，比如流体的速度、加速度、流速等。
下面我们将介绍一些流体运动学的基本概念。
1. 流动性流动性是流体运动学的基本特性之一。
流体分为液体和气体两种，液体的分子间作用力较大，分子难以突破内聚力，因此具有较小的可压缩性；而气体的分子间距离较大，分子间作用力相对较小，因此具有较大的可压缩性。
流动性使得流体能够运动和在容器或管道中传输。
2. 流速与流量流速是指单位时间内通过某一截面的流体的体积。
在流动过程中，流体的流速可能是不均匀的，因此为了描述整个流体的流动情况，我们引入了流量的概念。
流量是指单位时间内通过某一截面的流体的质量或体积。
在实际应用中，我们通常更关注流量而不是流速。
3. 流线与流管流线是指在不同时刻，流体质点所通过的路径连成的曲线。
流线能够直观地表达出流体运动的路径和轨迹。
当流体运动具有稳定性和不可压缩性时，流线也是连续的。
流管是由流线围成的管道，它能够将流体流动的区域划分出来。
二、流体的运动学方程流体的运动学方程是描述流体在运动过程中物理量变化规律的方程。
常见的流体的运动学方程包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
1. 欧拉方程欧拉方程描述的是连续介质中的流体运动，它是基于质点的视角建立的。
欧拉方程可表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的流速，∇是偏微分运算符。
2. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程描述的是流体在宏观尺度上的运动规律，它是基于控制体的视角建立的。
纳维-斯托克斯方程可表达为：∂v/∂t + v·∇v = -∇p/ρ + ν∇^2v + f其中，∂v/∂t是流体的加速度，v是流体的流速，p是压强，ρ是密度，ν是运动黏度，f是外力项。
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
流体运动学基础(new)
二、一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
流体运动学-ppt运动医学优质课件PPT
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3-1
流 体 运 动 的 描 述
7级称疾风，13.9—17.1m/s，整个树摇动，大树枝弯下来，迎风 目录 步行感觉不便；
8级称为大风，17.2—20.7m/s，可折毁小树枝，人迎风前行感觉 阻力甚大；
9级称为烈风，20.8—24.4m/s，草房遭受破坏，屋瓦被揪 起，大树枝可折断；
10级称为狂风，24.5—28.4m/s，特征是树木可被吹倒，一般建
duy dt
ay (a,b,c,t)
az
d2z dt2
duz dt
az (a,b,c,t)
拉格兰日法不仅适用于观察起始坐标（a,b,c），不变的某一个 质点，也适用于观察（a,b,c）连续变化的整个质点系。
2021/02/01
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目录
3-1
流 体 运 动 的 描 述
欧拉法与控制体
空间场或控制体法——分析某一区域内流体的总体特征 不关心个别流体质点的运动，只观察经过空间每个位置的 运动情况，所以不需关心质点系的变形问题。
u p r t 0
t t t t
均匀场 如果流场中的速度 、压强、密度、温度等等物理 量均与空间坐标无关，即满足 下式，则称为均匀场，或均匀 流动，此时物理量具有对空间 的不变性
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第 2-1 流体运动的描述 三
章
2-2 流动的几个基本概念
流 体
2-3 流动的分类
运
动
2-4 流体运动的质量守恒方程
学
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目录
子
在
川
上
曰
：
逝
者
如
斯
夫
！
流体运动学基础
第三章 流体运动学基础
3.1描述流体运动的两种方法
3.2物质导数
3.3迹线、流线和染色线，流管
3.4流体微团的运动和变形
在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下 的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁 的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，运 动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的流动性， 因此，进一步研究流体的运动规律便更为重要。
注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。
欧拉法
欧拉法中，任一空间点处速度场可表示为：
u u (x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w (x, y, z,t)
(1)
其中变量x,y,z,t称为欧拉变量，其中 x，y，z有双重意 义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质 点在空间的位移。当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示 空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改 变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
D u u u u u a u v w x D t t x y z D v v v v v a u v w y D t t x y z D w w w w w a u v w z D t t x y z
2 f1 ( a , b , c , t ) 2x ax 2 2 t t 2 f2 (a ,b, c,t) 2y ay 2 2 t t 2 f3 (a , b , c , t) 2z az 2 2 t t
(3)
用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。
欧拉法
D V D t
=
3.1描述流体运动的两种方法
3.2物质导数
3.3迹线、流线和染色线，流管
3.4流体微团的运动和变形
在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下 的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁 的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，运 动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的流动性， 因此，进一步研究流体的运动规律便更为重要。
注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。
欧拉法
欧拉法中，任一空间点处速度场可表示为：
u u (x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w (x, y, z,t)
(1)
其中变量x,y,z,t称为欧拉变量，其中 x，y，z有双重意 义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质 点在空间的位移。当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示 空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改 变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
D u u u u u a u v w x D t t x y z D v v v v v a u v w y D t t x y z D w w w w w a u v w z D t t x y z
2 f1 ( a , b , c , t ) 2x ax 2 2 t t 2 f2 (a ,b, c,t) 2y ay 2 2 t t 2 f3 (a , b , c , t) 2z az 2 2 t t
(3)
用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。
欧拉法
D V D t
=
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
第3章流体运动学ppt课件
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
fluid1-13流体性质new
流体力学（一）
<流体力学基本理论>
流体力学的基本概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 流体的定义 研究流体的连续介质模型 流体的基本物理性质 流体的受力分析方法 流体运动的描述 流体运动分解 流动中力与运动的关系
流体定义
流体是气体和液体的总称。 大气和水是最常见的两种流体 。 流体力学中研究得最多的流体也是水和空气。
对于研究对象的宏观尺度和物质结构的微观尺 度量级相当的情况，连续介质假设不适用。 如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作 用时，飞行器尺度与空气分子平均程尺度相当。
流体宏观物理性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 易流动性 惯性（质量、密度） 可压缩性 粘性 热传导 扩散性 表面张力特性
事实合理性
空间 dx 冰点温度和一个大气压下，10-9厘米3的体积中 含有气体分子数为:2.71010个（分子） 水: 31013个分子
时间 dt 而在10-9厘米3体积内，10-6秒时间内，分子碰撞 1014次，而驰豫时间为10-9秒左右。 (驰豫时间为流体质点在失衡后达到新平衡的时间) 连续介质假设对一般气体和液体，均成立。
比容(比体积)v：密度的倒数v=1/ 单位体积流体的重量：重度 =g (N/m3) 相对密度: d=/4度水
流体的压缩性
流体质点的密度随压力p或温度T而改变的性质
热力学系统（流体质点）的平衡态，可用两个 独立的状态参数来描述。 其它状态参数由状态方程来确定
(p, T)
压缩程度 用密度或比容v的相对变化量d/或 dv/v来确定
有粘和无粘
du dy
粘性力不占主导时， (粘性小，或速度梯度不大时)， 如远离物面的外流区域。 做无粘性的假设：理想流体。
<流体力学基本理论>
流体力学的基本概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 流体的定义 研究流体的连续介质模型 流体的基本物理性质 流体的受力分析方法 流体运动的描述 流体运动分解 流动中力与运动的关系
流体定义
流体是气体和液体的总称。 大气和水是最常见的两种流体 。 流体力学中研究得最多的流体也是水和空气。
对于研究对象的宏观尺度和物质结构的微观尺 度量级相当的情况，连续介质假设不适用。 如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作 用时，飞行器尺度与空气分子平均程尺度相当。
流体宏观物理性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 易流动性 惯性（质量、密度） 可压缩性 粘性 热传导 扩散性 表面张力特性
事实合理性
空间 dx 冰点温度和一个大气压下，10-9厘米3的体积中 含有气体分子数为:2.71010个（分子） 水: 31013个分子
时间 dt 而在10-9厘米3体积内，10-6秒时间内，分子碰撞 1014次，而驰豫时间为10-9秒左右。 (驰豫时间为流体质点在失衡后达到新平衡的时间) 连续介质假设对一般气体和液体，均成立。
比容(比体积)v：密度的倒数v=1/ 单位体积流体的重量：重度 =g (N/m3) 相对密度: d=/4度水
流体的压缩性
流体质点的密度随压力p或温度T而改变的性质
热力学系统（流体质点）的平衡态，可用两个 独立的状态参数来描述。 其它状态参数由状态方程来确定
(p, T)
压缩程度 用密度或比容v的相对变化量d/或 dv/v来确定
有粘和无粘
du dy
粘性力不占主导时， (粘性小，或速度梯度不大时)， 如远离物面的外流区域。 做无粘性的假设：理想流体。
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质点加速度：
a
dV
V
(V
)V
dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生 的，称为当地加速度
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的， 称为迁移加速度
3.1 研究流体运动的方法
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
场的描述方法：Largrange法和Euler法
场的分类： 矢量场 标量场
稳定场 时变场
3.1 研究流体运动的方法
二、拉格朗日法（随体法或跟踪法）
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各 物理量及其变化规律。
基本参数： 位移 流体质点的位置坐标：
3.2 基本概念
一、定常流动和非定常流动
1. 定常流动
流动参量不随时间变化的流动。
v v(x, y, z) p p(x, y, z)
(x, y, z)
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而 与时间无关。
即： （）＝0 t
3.2 基本概念
一、定常流动和非定常流动（续）
3.1 研究流体运动的方法
四、两种描述的关系
两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
流体力学最常用的解析方法
2. 非定常流动
流动参量随时间变化的流动。
v v(x, y, z,t) p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函 数，而且与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义
流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
一维流动
v v(x)
二维流动
v v(x, y)
三维流动
v v(x, y, z)
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
3.2 基本概念
内流与外流
按流场是否被固体边界包围分类 管道流（不可压缩流体）
内流
喷管流（可压缩流体） 明渠流
流体机械
外流
粘性边界层 外部势流
三、迹线与流线
1、流线
3.2 基本概念
在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该 点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。
drv 0
i jk dr v dx dy dz
vx vy vz
u1 2
1
u6
u2
u3
6 u5
5
3
4
u4
流线
dx dy dz vx vy vz
流线 表达
式
流线的性质
一、基本概念 3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律
① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。
场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场
ax
du dt
u t
u x
dx dt
u y
dy dt
u z
dz dt
u dx , v dy , w dz
dt
dt
dt
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v
ay
t
u x
v
y
w
z
w w w w
az
t
u x
v
y
w
z
矢量形式
a
dV
V
(V
)V
dt t
3.1 研究流体运动的方法
w(a，b，c，t ) t
2z(a，b，c，t )
t 2
3.1 研究流体运动的方法
优缺点： √ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 × 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
3.1 研究流体运动的方法
三、 Euler法（欧拉法）
流体质点运动的加速度
u u( x, y, z, t)
3.2 基本概念
（1）流线彼此不能相交。 （2）流线是一条光滑的曲线，
不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变，
非定常流动时流线形状发生变化。
（4）流线簇的疏密反映了速度的大小；
强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线
w
w(a，b，c，t )
z(a，b，c，t )
t
3. 流体质点的加速度：
ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
u(a，b，c，t t
)
2 x(a，b，c，t )
t 2
ay
a y (a，b，c，t )
vb，c，t )
t 2
ay
a y (a，b，c，t )
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，t为变量——轨迹
2、t为常数，（a，b，c）为变量——某一时刻不同流体质点的位置分布
3、a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶 导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分 方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。
3. 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原 因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。
电话号码
3.1 研究流体运动的方法
质点物理量： x x(a，b，c，t)
1. 流体质点的位置坐标：y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
流体质点的运动方程
2. 速度：
u u(a，b，c，t )＝ x(a，b，c，t ) t
v v(a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) t
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念 • 第3节 连续方程 • 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。