随机过程例题课堂

[解] 因为: (1) E[Xn] = 0
wk.baidu.com
(2)
RX
(n,
n
?
?)
?
E[
Xn
Xn??
]
?
?? 2,
? ?0,
? ?
? ?
0 0
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与?有关， 因此它是平稳随机序列。
2020/4/26
6
3平稳过程
例3
? 设有随机相位过程 X (t) = a cos(? t+? )，a, ? 为常数， ? 为(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
2随机过程的基本概念
例1
? 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(? t + ? )，其 中 a >0，? 为常数，? 为在（0, 2?）内均匀分
布的随机变量。 求随机过程 { X (t), t ? (0, ? ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。
mX (t) ? 0
RX (t, t ? ? ) ?
a2 2
cos
??
? RX (? )
RY (t, t ? ? ) ?
b2 2
cos
??
? RY (? )
故 X (t)和 Y(t)均是平稳过程。
RXY (t, t ? ? ) ? E[ X (t )Y(t ? ? )] ? E{a cos( ? t ? ? )b sin[ ? (t ? ? ) ? ? ]}
(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t)
的平稳性。
2?
? [解] E[ X (t )] ? E[ a sin(? t ? ? )] ? a sin(? t ? ? ) f (? )d? 0
? ? a
2?
sin(? t ? ? )d? ? 0
2? 0
RX (t, t ? ? ) ? E[ X (t ) X (t ? ? )]
? ? 2? a 2 sin(? t ? ? ) sin[ ? (t ? ? ) ? ? ]d? ? a 2 cos ??
0 2?
2
2020/4/26 因此 X (t)是平稳随机过程。
5
3平稳过程
例2（白噪声序列）
? 设 { Xn , n = 0, ?1, ?2, ? } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = ? 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
?
ab sin ??
2
? RXY(? )
2020/4/26所以 X (t)和 Y(t) 是联合平稳的。
8
4谱分析
[例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(? 0t + ? )， 其中 a, ? 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率：
(1) ? 是在( 0, 2? ) 上服从均匀分布的随机变量；
? E[ X (t)] ? 2? a cos( ? t ? ? ) 1 d? ? 0
0
2?
? X (t) ? lim 1 T a cos(? t ? ? )dt ? 0
T ? ? 2T ? T
RX (? )
?
a2 2
cos( ??
)?
X (t) X (t ? ? )
2020/4/26 故 X (t) 是为各态历经过程。
(2) ? 是在( 0, ?/2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
[解] (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，
相关函数：
RX (? ) ?
a2 2
cos( ?
0? )
平均功率： P ? RX (0) ? a 2 2
2
2随机过程的基本概念
例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值
向量、自相关阵和协方差阵，设 N=3。
解：
Xi 的一维概率密度函数为：
f Xi ( x) ?
?1, ??0,
0? x?1 其它
? ? Xi 的均值：
mXi ? E[ Xi ] ?
?
-? x fXi ( x)dx ?
1
x dx ?
??1/ 4 1/ 4 1/ 3??
?1/12 0 0 ?
CX
?
? ?
0
1 / 12
0
? ?
?? 0 0 1/12??
3
2随机过程的基本概念
例3
n
? ? 设复随机过程 Zt ? Ak e j? kt , t ? 0 ，其中A1,
k?1
A2, … , An 是相互独立且服从
N(0?,
2 k
) 的随
机变量， ? 1, ? 2, … , ? n 为常数，求 { Zt , t
1
0
2
Xi 的自相关函数：
rij
?
E[Xi X j ] ?
?? ???
E[ E[
X
2 i
]
?
Xi ] ?E
1/ 3 [X j
, ]
?
1/ 4 ,
i? i?
j j
均值向量
自相关阵
协方差阵
?1/ 2? M X ? ??1/ 2??
??1/ 2??
2020/4/26
?1/ 3 1/ 4 1/ 4? R X ? ??1/ 4 1 / 3 1/ 4??
RW (s, t ) ? E[ W (s )W (t )] ? E{[ X (s) ? Y(s )][ X (t ) ? Y(t )]} ? E[ X (s) X (t )] ? E[ X (s)Y(t )]
? E[ Y(s) X (t )] ? E[ Y(s)Y(t )]
2020/4/26
? RX ( s, t ) ? RXY ( s, t ) ? RYX ( s, t ) ? RY ( s , t)
?0 } 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。
mZ (t) ? 0
n
? RZ ( s, t ) ?
? e 2 j? k ( s ? t ) k
k?1
2020/4/26
4
3平稳过程
例1
? 设有随机相位过程 X (t) = a sin(? t+? )，a, ? 为常数， ? 为
7
3平稳过程
[ 例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(? t+? ) 和Y(t) = b sin(? t+? )，其中a, b, ? 为常 数， ? 为(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量，分析 X (t)和Y(t)是否联合平稳。
[解] E[ X(t)] ? E[ Y(t)] ? 0
RX (s, t) ?
a2 2
cos[ ?
(t ?
s)] ?
a2 2
cos ??
,
2020/4/26
(? ? t ? s)
1
2随机过程的基本概念
例2
? 设 X (t) 为信号过程， Y (t) 为噪声过程，令 W (t) = X (t) + Y (t)，
则 W (t) 的均值函数为 其相关函数为
mW (t) ? mX (t) ? mY (t)