第二章Petri网的基本概念及性质

Step3： If tT:M[t> Then
把M的标注改为“端点”，返回Step1
Step4： For 每个满足M[t> 的tT Do
4.1：
计算M[t>M’中的M’；
4.2： 4.3：
If 从M0 到M的有向路上存在M’’使M’’<M’ Then 找出使M’’(pj)< M’(pj)的分量j，把M’的第j个分量改为；
定义3.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网。PN的可达标识图定义为一个三元组 RG(PN)=(R(M0),E, L)，其中 E={(Mi,Mj)| Mi, Mj R(M0),tk T: Mi [ tk> Mj } L:E→T，L(Mi,Mj)= tk 当且仅当Mi [ tk> Mj 称R(M0)为顶点集，E为弧（边）集， 若L(Mi,Mj) = tk，则称tk为弧(Mi,Mj)的旁标。
p4
t2
t4
(0,1, ,0) 新
t1
t4
(1,0, ,0) 新旧 (0,0, ,1) 新
t3 (1,0, ,0) 旧新
可达标识图与可覆盖性树
定理3.1. PN是有界Petri网当且仅当 （按算法3.1构造的）CT(PN)中，每个 结点的标识向量都不含有分量。
对有界Petri网PN，按照算法3.1构造 出来的树结构称为PN的可达性树 （reachability tree），记为 RT(PN)。
t1
t3
M0 : (0,1,0)
p1
p2
p3
பைடு நூலகம்t1 t2
t3
t4
t2
t4
M1 : (1,0,0)
M2: (0,0,1)
可达标识图与可覆盖性树
通过可达标识图RG(PN)可以分析有界Petri网PN的各种性质。 定理3.1. 对任意Mi,Mj R(M0)，Mj是从 Mi可达的当且仅当在
RG(PN)中，从Mi到Mj存在一条有向路。 推论3.1. 在RG(PN)中，从M0到每个结点都有一条有向路。 推论3.2. M R(M0)是PN的一个死标识当且仅当在RG(PN)中，
算法3.1. Petri网可覆盖性树的构造算法
输入： PN=(P,T;F, M0) 输出：CT(PN)
算法步骤：
Step0：以M0作为CT(PN)的根结点，并标之以“新”； Step1：While 存在标注为“新”的结点 Do
任选一个标注为“新”的结点，设为M；
Step2：
If 从M0 到M的有向路上有一个结点的标识等于M Then 把M的标注改为“旧”，返回Step1；
(0,0, ,1)
t3 (1,0, ,0)
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
关联矩阵与状态方程
网的结构可以用一个矩阵来表示，从而可以引入线性代数的方法对Petri网进行分析。
定义3.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。 P={p1, p2,,pm } ，T={t1, t2,,tn }，则网N =(P,T;F)可以用一个n行m列矩阵
M是一个终端标识。 定理3.2. 设pj P，在Petri网PN中pj的界 B(pj )等于RG(PN)中
各个顶点向量的第j个分量的最大值。 推论3.3. PN是安全的当且仅当RG(PN)中每个顶点的向量都是0-1
向量。
可达标识图与可覆盖性树
定理3.3. 有界Petri网PN是活的当且仅当在RG(PN)中，从顶点 M0出发的每条有向路都走入一个强连通子图，而且在每个这样的强 连通子图中，每个t T至少是一条有向弧的旁标。
定义3.2. 设CT(PN)为Petri网的可覆 盖性树。若将CT(PN)中标识向量相同 的结点合并在一起，便得到PN的可覆盖 性图，记为CG(PN)。
M0 : (1,0,0,0) t2
(0,1,1,0)
t1
t4
(1,0, ,0)
t2 t1
(0,1, ,0)
t1
t4
(0,0,0,1) t3
(1,0, ,0)
定理3.4. 有界Petri网PN的两个变迁t1和t2处于公平关系的充分必 要条件是在RG(PN)的每条有向回路C中， t1是其中的一条弧的旁标 当且仅当t2也是其中一条弧的旁标。
定理3.5. PN是公平Petri网的充分必要条件是在RG(PN)的每条有 向回路C中，每个 t T 都至少是C中一条弧的旁标。
当库所pj中的标识数在Petri网的运行过程中趋向于无限增长时，就把标识向 量中的第j个分量改为 ，以此覆盖所有这类标识。
通过引入 ，就可以用有限树来反映无界Petri网的运行情况，称该有限树 为Petri网PN的可覆盖性树（coverability tree），记为CT(PN)。
可达标识图与可覆盖性树
第三部分 Petri网的分析方法
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
可达标识图与可覆盖性树
对于有界Petri网，其可达标识集R(M0)是一个有限集合，因此可以以R(M0)作为顶点集，以标识 之间的直接可达关系为弧集构成一个有向图，称为Petri网的可达标识图（reachable marking graph）。
A=[aij]nm
（3.1）
来表示，称A为PN（N）的关联矩阵（incidence matrix）。其中
{ } { } aij = ai+j - ai-j , i Î 1,2, ,n , j Î 1,2, ,m
( ) ai+j
=
ìï í
1,
if
ti , sj Î F
？ 定理3.3、3.4和3.5在无界 Petri网中还成立吗？
可达标识图与可覆盖性树
若PN不是有界网，则R(M0)是一个无限集合，无法画出PN的可达标识图。 为了用有限形式表达一个有无限个状态的系统的运行情况，引入一个表示无
界量的符号。 具有下述性质： （1）对任意正整数n： > n， n= （2）
在CT(PN)中引入一个“新”结点M’，从M到M’画一条有向弧，并把此弧旁标以t；
Step5： 擦去结点M的“新”标注，返回Step1。
可达标识图与可覆盖性树
p1
t1
t2
t3
M0 : (1,0,0,0) 新 t2
(0,1,1,0) 新
t1
t4
(1,0, 1,0) 新 (0,0,0,1)新端点
p2
p3