空间的平行关系

空间的平行关系综合问题

空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。

一、线线平行。判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平

行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、线面平行。判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点；2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面；

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

基础训练题

1.下列命题中，正确命题的个数是 .

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.

①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n

③若m⊂α，n∥α，则m∥n ④若m、n与α所成的角相等，则m∥n

4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：

①若a∥b,b⊂α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 .

5、设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）.

①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β

③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β④若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α

6、下列关于互不相同的直线m,l,n 和平面α，β的四个命题：

①若m ⊂α,l ∩α=A,点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m,l 是异面直线，l ∥α,m ∥α,且n ⊥l,n ⊥m,则n ⊥α;③若l ∥α,m ∥β,α∥β,则l ∥m;④若l ⊂α,m ⊂α,l ∩m=A,l ∥β,m ∥β,则α∥β.其中假命题的序号是 .

三、面面平行。判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行 基础训练

1、已知m 、n 是不重合的直线，α和β是不重合的平面，有下列命题：

（1）若α⊂m ，n ∥α，则m ∥n ；（2）若m ∥α，m ∥β，则α∥β；

（3）若n =⋂βα，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；（4）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，其中真命题的个数是（ ）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

2、在下列关于直线l 、m 与平面α和β的命题中，真命题的是（ ）

Ａ．若β⊂l 且α⊥β，，则l ⊥α； Ｂ．若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α； Ｃ．若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α； Ｄ．若m =⋂βα且l ∥m ，则l ∥α

3、已知,m n 是因为两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 典型例题

例1、如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1

上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD.

练习：（1）正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、

BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ ∥平面BCE.

（2）、如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.

练习（2） 例2

例2、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ， PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ；（2）求证：PD ∥平面EAC ；

例3、如图在直三棱柱ADE-BCF 中,面ABFE 和面ABCD 都为正方形,且互相垂直, M 为AB 的中点, O 为DF 中点.（1）求证：OM ∥平面BCF ; （2）求证：平面MDF ⊥平面EFCD ; （3）求二面角F-DM-C 的正切值。

例3

例4、在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面A B C D ，E 为PD 的中点，

22PA AB ==．

（1）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（3）求证CE ∥平面PAB ．

A B C G F O D E

M