晶体投影
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高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体投影
FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示 线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来 进行研究。 特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。 在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。 步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面 作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆 连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态 中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关 系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学 的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。 面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面 基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
材料现代研究方法(晶体投影)
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s0 2 S sin 2sin s s0 1
d HKL
s
r* HKL
r * H a * Kb* Lc *
厄瓦尔德图解
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结 合，表示衍射条件与衍射方向。
反射球（衍射球，厄瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球心，以入射线波长 的倒数为半径的球。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 3、粉末法：试样有极多的小晶粒组成的多晶体
产生衍射的条件：若以入射线与反射球的交 点为原点，形成倒易点阵，只要倒易点落 在反射球面上，对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为反射球心射向球 面上其倒易结点的方向。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s0 2 S sin 2sin s s0 1
d HKL
s
r* HKL
r * H a * Kb* Lc *
厄瓦尔德图解
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结 合，表示衍射条件与衍射方向。
反射球（衍射球，厄瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球心，以入射线波长 的倒数为半径的球。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 3、粉末法：试样有极多的小晶粒组成的多晶体
产生衍射的条件：若以入射线与反射球的交 点为原点，形成倒易点阵，只要倒易点落 在反射球面上，对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为反射球心射向球 面上其倒易结点的方向。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
晶体投影含球面投影(特选内容)
若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
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2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
第二章晶体的投影
ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
晶体学中的极射赤面投影
ppt课件
15
• 3.转换投影面：将原投影面上的极射赤面投影转换到另一
个新的投影面上去。这是一种投影基圆圆心的移动过程。
如：要将原投影面O1上的极射赤面投影A1、B1、C1、D1转换到另一个新投 影面O2上去。 具体步骤：1）先转动新投影图透明纸，使新投影图极点O2落在吴氏网赤 道直径上，然后沿赤道将O2移到投影基圆中心O1； 2）同时将原投影面O1上投影A1、B1、C1、D1各 沿其所在纬线移动同样角度到相应新位置 A2、B2、C2、D2。
ppt课件
9
吴里夫网：将经纬线网投影到过NS轴平面上的投影方法。 实际应用的吴氏网投影基圆直径为20cm，大圆弧与小圆弧
互相均分的角度间隔为2°。
ppt课件
10
§7.3 极射赤面投影的性质及其应用
• 1.晶面间夹角的求法
在吴氏网中，最基本的应用是利 用它在极射赤面投影图上直接测量 晶面和晶向间的夹角。
ppt课件 13
（2）极点围绕位于投影面上的一个轴
转动（转动轴平行于投影面，轴的 投影为基圆直径，转动角沿纬线小 圆弧度量）
方法：转动投影图，使转动轴与吴氏
网NS轴重合，将极点沿所在纬线向
指定方向转动预定角度，即转动后 极点新位置。（如：A1 →A2）
若转到投影图背面，则用不同符号标明
（如：B1→B1′）； 或反向延长到基圆圆心另一侧的等半径 处（如：B1→B2）。
如图，晶面极点A与B,C与D，E与
F之间的夹角可沿其所在的大圆，数 出其相隔的度数即可求得。必须指 出，角C-D和角E-F相等，因为它们 的纬度差相等。假如A,B,C,D,E,F为 晶向的极射赤面投影时，则所求得 的角度即为晶向间的夹角。
ppt课件 11
结晶学及矿物学晶体测量及投影
第七页，共26页。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
X射线晶体学(第一章6)
四、乌里弗网 将过AB的倾斜大圆 和垂直于AB的小圆投 影到赤道平面上所得 到的投影图称为乌里 弗网，简称乌氏网。 如果将投影球上的 经线都经过AB，即保 持投影球不动，将其 上的经纬线网沿NA方 向转动90度，这时再 以ABCD面作投影面得 到的投影图即是。
五、极射赤面投影的基本作图 1、已知投影球面上点的坐标，求点的极射赤面投影。 设P、Q为投影球面上的两点，其球面坐标为： P：ρ=65°，φ=40 ° Q： ρ=150°，φ=240 ° 求P、Q的极射赤面投影P′、Q′ 。
二、二维投影方法 1、心射切面投影 以过投影球N极的切面 为投影平面，如果要求球 面上一点p的投影，则连 op，以op为投影线，交平 面于g点，这就把球面上 一点转换到一个平面上， 这种投影称为心射切面投 影。图中g点即为p的心射 切面投影。
2、极射赤面投影
1）极射赤面投影的绘制 a、以赤道平面为投影面，把 赤道大圆称为投影基圆； b、设晶体中某一晶面p 的球 面投影为p1（在上半球）， 由S极经过p1引直线（投影线） 交赤道平面于s1点，则s1点 即为p1点的极射赤面投影， 也就是晶面p的极射赤面投 影。
3）绕一个倾斜轴转动 要求将A1以顺时针方向围绕B1转动40°。 解：a、使透明纸上的投影基圆的中心与乌氏网的中心 重合，使两者作相对转动，将B1转到乌氏网的CD轴 上； b、 B1围绕乌氏网的AB轴转动48°，即将B1沿CD转 到位于网心的B2上，同时A1也沿其所在的纬度小圆向 同方向转动同样角度到达A2 ； c、将A2围绕投影图的中心转动40°，到达A3； d、将B2沿CD反向转48°到达B3（与B1重合）， A3 沿所在纬度小圆转动同样角度到达A4，则A4即为A1绕 B1转动40°后的新位置。
经过NS轴的平面（子午面）与投影球的相交大圆 称为经线（子午线、直立大圆）。
第三章 晶体的测量与投影
第一节
晶体测角 CRYSTAL GONIOMETRY
晶体测量的目的： 晶体测量的目的：
通过测角数据，恢复晶体晶面的空间位置， 揭示晶体几何规律。
注意： 注意：
为了测量方便， 为了测量方便，一般测定晶面的法线夹角 晶面夹角的补角），称面角。 ），称面角 （晶面夹角的补角），称面角。
面角:晶面法线之间的夹角。 面角:晶面法线之间的夹角。
1．晶体的球面坐标系
将晶体置于球面坐标系内。 将晶体置于球面坐标系内。 方位角（azimuthal angle,经度）：指包含晶面法线的 方位角 azimuthal angle 子午面与零度子午面之间的夹角，, 即φ值。 极距角（polar angle,纬度）：指北极与晶面法线之间 极距角 polar angle 的夹角，即ρ 值。 即晶面法线与球面交点的方位角Φ（经度）和极距角ρ （纬度）称为该晶面的球面坐标（spherical 球面坐标（ 球面坐标 coordinate） coordinate）。 晶面的球面坐标反映了该晶面在晶体上的空间的方位。
0°
° 30 3
30 °
0°
60
30
°
2 7 0°
21
0°
° 50 1
18 0°
12
0°
9 90°
0°
24
第五节
1
吴尔夫网简介
吴氏网成网原理
A
吴氏网极射赤平投影举例： 吴氏网极射赤平投影举例：
已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120° ρ=66° 已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120°， ρ=66°。 步骤： 步骤： 用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0 Φ=0° 1）用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0°点。 Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120 120° 2）以Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120°点。 将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120 的经线的投影， Φ=120° 3）将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120°的经线的投影，即晶 的投影点一定位于该半径上。 面M的投影点一定位于该半径上。 使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120 Φ=120° 4）使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120°点落在吴氏网的任意直径的 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66 66° 即得到ρ=66 ρ=66° 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66°，即得到ρ=66°同心 圆与Φ=120 半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。 Φ=120° 圆与Φ=120°半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。
晶体的投影和倒易点阵
a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b = 0 倒易点阵的基矢垂直于正点阵异名矢量构成的平面。
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单 位格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
19
2021/2/19
a b c, V
a *b cs V in a c o 1 s
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与c，
c与a，a与b之间的夹角。
15
二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立起 来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶面 在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射现 象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
10
极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶向 间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到限 制。
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若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单 位格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
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2021/2/19
a b c, V
a *b cs V in a c o 1 s
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与c，
c与a，a与b之间的夹角。
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二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立起 来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶面 在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射现 象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
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极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶向 间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到限 制。
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晶体投影优秀课件
3. 极式网与乌里夫网
极式网
γ
假如在投影球面上由每隔相等旳间隔作出经线族和纬线族交错成经纬线坐标网，就可拟 定出球面上某点P旳球座标ρ和φ，也可定出它旳经度ρ和纬度γ
经纬线坐标网在投影平面上旳极射赤面投影是由投影基圆内旳放射状直径族（经线旳投 影）和同心圆族（纬线旳投影）构成旳网，此网称为极式网。 由图能够看出，相应于经线 族旳放射状直径族仍将投影基圆等提成360°；相应于纬线族旳同心小圆族将投影基圆旳直 径等提成180°。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带旳极射赤面投影 5. 原则投影
晶体投影 将晶体多面体和晶体构造此类三维空间中旳对象表
达在球面或二维空间平面上旳措施。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体构造表达在球面或平面上，晶体构造中旳晶向
和晶面旳对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较轻易测量。
点P1、P2旳位置。
′
将球面经纬网与投影球
套在一起，并使晶体旳转轴
AB与经纬网旳NS轴重叠，
找到P1、P2两极点各自所 在旳纬线，晶体绕AB轴转
动多少度，它们旳极点也沿
各自旳纬线往同方向转动相
同旳度数。到达新旳极点位
置P1‘、P2 ‘。
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。 取半径极大旳球为参照球，把晶体放在球心上，作某晶面旳极点P1（此晶面 法线与参照球旳交点），或某晶向旳迹点P1（此晶向与参照球旳交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）旳极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道旳交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不以便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）旳S2称为此晶面（或晶向）旳极射赤面投影。 为区别起见，将北半球旳极点P1相应旳极射赤面投影点S1用“o”表达；将 南半球旳极点P2相应旳极射赤面投影点S2用“”表达。 或：北半球旳极点P1相应旳极射赤面投影点S1用“”表达；将南半球旳极点 P2相应旳极射赤面投影点S2用“×”表达。
晶体投影
P
E
S A N F
如图：平面A的面痕 为EFNS，极点为P。 可 以 看 出 P 与EFNS 成90º
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表示 。图 中P1 和P2 分别为两平面的极点。大 圆ABCD和BEDF为面痕， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和P2 两极点之间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点P1 和 P2 ，如图中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶系的标准投影对所有立方晶系晶体都是相同的。
但在其他晶系中、必须考虑点阵常数对点阵面夹角的影 响，所以对某一具体晶体都具有它自己特有的极射赤面标准
投影，它们彼此之间是不能通用的。
因此，极射赤面投影多用于研究立方晶系晶体，而在其 他晶系中用的比较少。
乌式网绘图计算（投影基圆半径R=9） 角度 大圆弧半径 R/(COS(C4*PI()/180)) 5 10 15 9.034 9.139 9.317 小圆弧半径 =R/(COS(C4*PI()/180))R*tan((45-C4/2)*PI()/180) 0.787 1.587 2.412
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上 两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点P1与P2之间的夹角为30°。
如果球面投影上原有P1、
P2 两个极点，要确定晶 体 绕AB轴转动某个角度后极 点P1、P2的位置。
1. 球面投影
晶体投影
方法 ： (一) 晶体定向 一 晶体定向即是在晶体中确定坐标系统。晶体定向的具 体步骤： 1. 找出晶体的全部对称要素，确定对称型； 2. 根据对称型确定晶族、晶系（晶体对称分类）； 3.按各晶系选择晶轴的原则进行晶体定向，即将根据选 择晶轴原则选出的对称要素按结晶轴位置放置晶体模 型。由于晶体对称特征有以下二种定向： 三轴定向：X（前后）、Y（左右）及Z（上下） 三轴定向 轴，用于除三、六方晶系以外的其它晶系。 四轴定向：水平等角度分布的X、Y、U和与之垂 四轴定向 直的Z轴，用于三、六方晶系。
实习七、八 晶体定向及 晶面符号
内容： 内容：
第一次实习： 第一次实习 三轴定向（三斜、单斜、斜方、四方、
等轴晶系）晶体的晶面符号的确定。 第二次实习： 第二次实习 四轴定向（三方、六方晶系）晶体的 晶面符号的确定。 第三次实习： 第三次实习 三轴、四轴定向（七个晶系）晶体的 晶面符号及晶带符号的确定。
实习九
单形认识
对照教材47种单形图逐一观察模型，记忆单形名称，尤其对其 中的20种常见单形要熟练地掌握。 分析单形时一定要注意：单形的晶面数目、晶面间的相对位置、 晶面的形状以及晶面和对称要素之间的关系(与对称要素是 平行、垂直、等角度相交，还是任意斜交)，同时还要注意 单形的横切面形状等。 例如菱面体：由六个两两平行的菱形晶面组成，晶面三个在上， 三个在下，上下各交于Z轴，并上下晶面相互等角度错开 （区别于偏方面体）。
在确定晶面符号时，应注意下列几点： 在确定晶面符号时，应注意下列几点： 1．晶面指数首先考虑用确定数值，如(321)、(1011)等。当晶面指数难以确 定时，以(hkl)、(hhl)、(hkk)、(hh2h0)、(0kkl)等一般形式表示。晶面与 晶轴负端相截时，对应的晶面指数为负，如与Z轴负端相截与其它两晶轴 平行的晶面，其晶面符号为（001）。 2．晶面指数的一般规律：当晶面与晶轴平行时，其对应的晶面指数为0，如 (100)、(010)、和(1010)等；当晶面与晶轴相截时，截距系数越大晶面指 数越小，如一晶面在X、Y、Z轴上的截距系数分别为1、2、0，晶面符号 为（210）；四轴定向晶体的晶面指数前三位代数和为0,如（1010）、 （hh2hl）。 3．当晶面与三个晶轴等距相截时，因其晶体常数不同其对应的晶面指数不 一定全部相等。如与三结晶轴（正端）等距相截的晶面符号：等轴晶系 中为(111)、四方晶系中为(hhl)、低级晶族中则为(hkl)。三方、六方晶系 中为(hh2hl)(与U轴负端相截，截距是其它水平轴的1/2)。 4．所有晶面符号中的晶面指数均为较小的整数(很少超过6)，不会出现小数 等非整数。 5．在一个晶体上同一晶面符号决不会在不同晶面上重复出现。 6 ． 晶面符号中数字(0除外)与字母不能共存，但不包括系数,如 (hh2hl)。
材料科学研究：晶体的投影与标准极图
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
标准极射赤面投影图（简称标准极图）：是以晶体的某一简单 晶面为投影面，将各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的 投影图。
立方晶系中主要晶面的球面投影
立方晶系中（001）、（011）、（111）标准极图
举例
任意晶面赤面投影坐标 ：立方系（111）晶面
极点P的投影几何示意图
二 、球面投影
1.定义： 球面投影是指晶体位于投影球的球心，将其晶面和晶向以一定
的方式投影到球面上的一种方法。 注意： 1）晶体的尺寸相比于投影球可以忽略；
2）晶体的所有晶面均可认为通过球心。
2.分类：迹式和极式两种
球面投影
1）迹式球面投影
迹式球面投影是指晶体的几何要素（晶面、晶向）通过直接延
伸或扩展与投影球相交，在球面上留下的痕迹。
材料研究方法
晶体的投影与标准极图
课程内容
一
背景
二
球面投影
三 三 极射赤面投影
四 标准极射赤面投影（标准投影图或标准极图）
五
举例
一、背景
晶体中的晶面、晶向之间的三维空间关系研究困难，如通过某 种方法转变为二维面上的关系，研究就会容易得多，该法就是晶体 投影。 1、定义：
晶体投影是指将构成晶体的晶面和晶向等几何元素以一定的规 则投影到投影面上，使晶面、晶向等几何元素的空间关系转换成其 在投影面上的关系，该过程称晶体投影。（三维关系-二维关系） 2、投影面分类：有球面和赤平面两种 3、投影分类：为球面投影和极射赤面投影
P
（1）晶面迹式球面投影
M
是将晶面扩展与投影球面相交所得的交线
大圆，该大圆又称为晶面的迹线。 （2）晶向迹式球面投影
是将晶向朝某方向延长并与投影球面相交
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投影平面，称为投影基圆。 取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。 为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。 或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
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图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
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球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
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晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画 出—个圆，这个圆称为小圆。通常--不-精过品-球-- 心。
为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
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1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
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两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测圆P1 和 P2 两 极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
线均分成180份。
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假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点--P-精1与品--P- 2之间的夹角为30°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径--Q-精1Q品2-和-- 小圆S‘SS’‘上的分度测量出。 但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
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3. 极式网与乌里夫网
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极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确 定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投 影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线 族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直 径等分成180°。
′
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如果球面投影上原有P1、 P2两个极点，要确定晶体绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点 P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1 、 P2两 极 点 各 自所 在 的 纬 线 ， 晶 体 绕 AB 轴 转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用
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图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
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球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
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晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画 出—个圆，这个圆称为小圆。通常--不-精过品-球-- 心。
为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
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1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
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两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测圆P1 和 P2 两 极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
线均分成180份。
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假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点--P-精1与品--P- 2之间的夹角为30°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径--Q-精1Q品2-和-- 小圆S‘SS’‘上的分度测量出。 但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
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3. 极式网与乌里夫网
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极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确 定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投 影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线 族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直 径等分成180°。
′
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如果球面投影上原有P1、 P2两个极点，要确定晶体绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点 P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1 、 P2两 极 点 各 自所 在 的 纬 线 ， 晶 体 绕 AB 轴 转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用