第2章 晶体投影汇总
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高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体投影
FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示 线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来 进行研究。 特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。 在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。 步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面 作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆 连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态 中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关 系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学 的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。 面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面 基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
晶体学基础(第二章)
晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。
的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。
晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。
物质的相应晶面间夹角不变。
2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。
2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。
种面网构成晶体外形上的同种晶面。
晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。
第二章 投影基础知识
第二章 投影的基本知识
•单中心投影
•中心投影
•双中心投影
二、 投影的分类 •平行投影
单中心投影
第二章 投影的基本知识
•单中心投影
•中心投影
•双中心投影
二、 投影的分类 •平行投影
第二章 投影的基本知识
•单中心投影
•中心投影
•双中心投影
二、 投影的分类
•正投影
s •平行投影 s
•斜投影
三 平行投影的基本性质：
长对正；高平齐；宽相等。 长对正；高平齐；宽相等。
第二章 投影的基本知识
§2-3 物体上几何元素的投影特性 一、 平面的投影特性
1、投影面平行面 平行于H面的平面，称为水平面； 平行于V面的平面，称为正平面； 平行于W面的平面，称为侧平面。
物体上几何元素的投影特性
一、平面的投影特性：
2、投影面垂直面 垂直于H面，与V面、W面斜交的平面，称为 铅垂面 垂直于V面，与H面、W面斜交的平面，称为 正垂面 垂直于W面，与V面、H面斜交的平面，称为 侧垂面。 3、一般位置面
第二章 投影的基本知识
投影的形成与分类 （1）投影的概念 （2）投影的分类 （3）在工程中常用的投影图 三面正投影 物体上几何元素的投影特性
第二章 投影的基本知识
§2-1 投影的形成及分类 一、 投影概念：
投影
第二章 投影的基本知识
一、投影的概念：
物体 投影中心 投射线
投影 投影面 投影法——由投影中心投射出来的投射线把物体投 投影法 射到投影面上，从而得到其投影的方法。
物体上几何元素的投影特性
三、点的投影特性
点的三面投影 Z
（X，Z）
a'
X Z
第2章 晶体投影
§2.1 面角守恒定律 §2.2 晶体的测量 §2.3 晶体的极射赤平投影
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
第二章晶体的投影
ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
晶体投影
投影平面，称为投影基圆。 取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。 为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。 或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
第2章 晶体的测量与投影
规定： 规定：凡是北半球上的点 以南极为视点， 以南极为视点，而南半 球上的点则以北极为视 点，以使所有的投影点 都落在基圆内。 都落在基圆内。 球面上位于赤道上的点， 球面上位于赤道上的点， 其极射赤平投影点均落 在基圆上； 在基圆上；北（南）极 的投影点即是基圆的中 心。
北半球的点标记： 北半球的点标记： 南半球的点标记：× 南半球的点标记： 北半球的某两个点的投影位置重合时， 南、北半球的某两个点的投影位置重合时， 标记： 标记： ×
⑴掌握极射赤平投影原理 ⑵用目估方法作晶体的极射赤平投影图
一、面角守恒定律 （law of constancy of angles） ）
同种矿物的晶体， 同种矿物的晶体，其对应晶面间 的角度守恒。 的角度守恒。
歪晶——理想状态下成长的同种晶体，理论上 理想状态下成长的同种晶体， 歪晶 理想状态下成长的同种晶体 应具有完全相同的外形。但在自然界中， 应具有完全相同的外形。但在自然界中，没 有完全相同的外部条件同时存在， 有完全相同的外部条件同时存在，因此同种 晶体，由于生长条件的差异， 晶体，由于生长条件的差异，会使相同晶面 发育的形状和大小有很大差异，形成歪晶。 发育的形状和大小有很大差异，形成歪晶。
--晶体中水平晶面投影于基圆中心； 晶体中水平晶面投影于基圆中心； 晶体中水平晶面投影于基圆中心 --直立晶面投影于基圆上； 直立晶面投影于基圆上； 直立晶面投影于基圆上 --倾斜晶面投影于基圆内； 倾斜晶面投影于基圆内； 倾斜晶面投影于基圆内 --近于直立的晶面的投影靠近基圆， 近于直立的晶面的投影靠近基圆， 近于直立的晶面的投影靠近基圆 近于水平的晶面的投影靠近圆心。 近于水平的晶面的投影靠近圆心。
(3)平面的极射赤平投影 平面的极射赤平投影
《结晶学与矿物学》-第二章-五-晶体的极射赤平投影
五、晶体的极射赤平投影极射赤平投影原理：投影所借助的几何要素：投影球、投影面（赤平面）、投影轴, 北极点与南极点（目测点）。
具体投影过程为：球面上任一点A与南极点S连线，即为投影点。
此连线与投影面（赤道平面）的交点A’（示模型）这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。
如果A点在下半球，就与北极点N连线。
晶体的极射赤平投影：将晶面的空间分布转化为平面上的点的分布。
1、晶体的球面投影：将各晶面转化为球面上的点：此点称晶面的球面投影点。
具体做法：从球心做每个晶面的法线，该法线与球面的交点。
晶面的方位就可用球面投影点的球面坐标方位角与极距角来表征。
（相当于纬度与经度）方位角ϕ：包含该点的子午面与0︒子午面的夹角；极距角ρ：该点与北极点的夹角。
重点要掌握方位角ϕ与极距角ρ的含义!（示模型）2、晶体的极射赤平投影：将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：即：将球面上的点与南极点（或北极点）连线，该连线与赤平面的交点就是极射赤平投影点。
（示模型）这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对应点的分布规律。
下面各点代表怎么样的晶面？在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距圆心的距离（h = r tan ρ/2）。
ϕ= 0ρϕA’1. 请判断下图中各点的方位角与极距角。
2. 请判断模型上的各晶面的方位角与极距角（模型示范）。
晶体投影
P
E
S A N F
如图：平面A的面痕 为EFNS，极点为P。 可 以 看 出 P 与EFNS 成90º
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表示 。图 中P1 和P2 分别为两平面的极点。大 圆ABCD和BEDF为面痕， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和P2 两极点之间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点P1 和 P2 ，如图中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶系的标准投影对所有立方晶系晶体都是相同的。
但在其他晶系中、必须考虑点阵常数对点阵面夹角的影 响，所以对某一具体晶体都具有它自己特有的极射赤面标准
投影，它们彼此之间是不能通用的。
因此，极射赤面投影多用于研究立方晶系晶体，而在其 他晶系中用的比较少。
乌式网绘图计算（投影基圆半径R=9） 角度 大圆弧半径 R/(COS(C4*PI()/180)) 5 10 15 9.034 9.139 9.317 小圆弧半径 =R/(COS(C4*PI()/180))R*tan((45-C4/2)*PI()/180) 0.787 1.587 2.412
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上 两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点P1与P2之间的夹角为30°。
如果球面投影上原有P1、
P2 两个极点，要确定晶 体 绕AB轴转动某个角度后极 点P1、P2的位置。
1. 球面投影
晶体的测量与投影
晶体的测量与投影
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
晶体的投影和倒易点阵
4
一、晶体的球面投影和极射赤面投影
1. 晶体的球面投影：各晶面法线之投影。设想以晶体的中心为球心， 任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。
大园: 过球心的平面 小园: 平面半径小于球的半径
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
16
2021/2/7
2. 倒易点阵坐标系的建立：
从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该法 线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
倒易点阵中的基本参数a*、b*、c*、 α*、β*、γ*，其中分别α*、β*、γ*为 b *与c * 、c *与a * 、a *与b *之间 的夹角，a * 、b * 、c *为倒易点阵 的基矢量，任一倒易矢量R*可表示为 R*= h a * +k b * +l c *
四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢 量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*kb*lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
一、晶体的球面投影和极射赤面投影
1. 晶体的球面投影：各晶面法线之投影。设想以晶体的中心为球心， 任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。
大园: 过球心的平面 小园: 平面半径小于球的半径
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
16
2021/2/7
2. 倒易点阵坐标系的建立：
从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该法 线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
倒易点阵中的基本参数a*、b*、c*、 α*、β*、γ*，其中分别α*、β*、γ*为 b *与c * 、c *与a * 、a *与b *之间 的夹角，a * 、b * 、c *为倒易点阵 的基矢量，任一倒易矢量R*可表示为 R*= h a * +k b * +l c *
四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢 量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*kb*lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
06-投影网
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：晶体转动
晶体转动时极点投影的变化
N
0º
S
晶体转动时极点投影的变化
N
10º
S
晶体转动时极点投影的变化
N20ºBiblioteka S晶体转动时极点投影的变化
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
吴式网（Wulff Net）：倾斜大圆和直立小圆的投影。 视点在极式网的赤道上，
2º间隔Wulff Net
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
难以直接测量 可直接测量
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
作业
《结晶学》 p.23: 1，3-7
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
随堂测验：晶带的投影 1. 晶带在投影球上构成大圆还是小圆？ 2. 晶带在吴式网上有几种可能？分别画出。
晶体转动晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化0?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化10?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化20?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化30?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化40?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化50?sn晶体转动时极点投影的变化晶体转动时极点投影的变化60?sn第二章
N
30º
S
晶体转动时极点投影的变化
N
40º
S
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32
33
投影球
吴氏网
34
①和赤道面平行的晶面，它的极射投影点必在基圆中心。
16
②垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在基圆 的圆周上。
17
③倾斜晶面的极点 •倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内; •晶面法线与投影轴的夹角越小，则投影点距基圆中心 越近；反之，就越趋向于基圆圆周。
18
•举 例
立方体
三 方 柱
19
投影图的解读
面角：晶面法线间的夹角，其数值等于相应晶面夹角的补角。
注意：晶面夹角与面角的区别！
6
接触测角仪
单圈反射测角仪
7
球面坐标（， ） --极距角 ， --方位角
双圈反射测角仪
投影
8
子午线
9
§2.3 晶体的球面投影及坐标
投影方法： 取一点O为投影中心，以一定的半径做一个球； 将晶体置于投影球中心，使晶体中心与投影球中心重合。 由球心引每一晶面法线，并使之延伸与球面相交，交点称为相 应晶面的极点，即晶面的球面投影点。
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law of Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
5
§2.2 晶体测量
晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角的数据，通 过投影，可以绘制出晶体的理想形态图. 晶体测量是研究晶体形态的一种最重要的基本方法。
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体， 网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角。
•基圆上的刻度可用来度量方位角() •直径上的刻度可以用来度量极距角() •大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的面角
26
应用吴氏网进行投影的工具：透明纸、大头针、铅笔
投影步骤： 1. 将透明纸覆于网面上，用大头针在网心将两者固定在一
P 晶面法线
P，`
P
赤 平 面
由于把目测点置于南、北极上，投影点落于赤平面上， 所以把这种投影称为极射赤平投影，或简称赤平投影。
14
•晶面的球面投影点在北半球，以南极为视点进行投影，投影点 用“•”表示； •晶面的球面投影点在南半球，以北极为视点进行投影，投影点 用“”表示。
15
晶面极射赤平投影的一些特点：
四方单锥 四方柱斜方柱三方单锥201.做立方体6个晶面的极射赤平投影 2.做八面体8个晶面的极射赤平投影 3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴 21
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0
A’
方位角在基圆上度量， 极距角则体现为投影点距圆心的距离（h = r tan /2） 。
1、已知晶面的球面坐标（方位角与极距角），作晶面的投影。
28
操作. 已知一晶面M的球面坐标，极距角＝30º和 方位角＝40º，作出该晶面M的极射赤平投影。
29
2、已知两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
30
操作.两极点（或迹点）之间角度测量
31
本节重点掌握：
1、面角守恒定律及其意义 2、晶体的投影过程 3、吴氏网的构成与应用 4、方位角与极距角的概念 5、投影图的解读（晶面、对称面、对称轴）
10
坐标：可用球面投影点的球面坐标方位角与极距角来表征晶面 方位
•极距角()：投影轴与晶面法线或直线间的夹角，也就是北极N与 球面上投影点之间的弧度，故称极距角，(= 0°~180°)。 •方位角()：是包含晶面法线或直线要素的子午面与投影球零子 午面之间的夹角。 ( = 0°~ 360 °)
例子 11
§2.1 面角守恒定律 §2.2 晶体的测量 §2.3 晶体的球面投影及坐标 §2.4 极射赤平投影 §2.5 吴氏网
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”。
3
Z
Z
•同种晶体具有完全相同的格子构造， •格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。 •晶体生长过程中，晶面平行向外推移， 故不论晶面大小形态如何，同种矿物的晶体对应晶面间的夹角恒定不变。
例：
(a)
(b)
交棱相互平行的一组晶面，其极点分布在同一大圆弧上。
极射
12
§2.4 晶体的极射赤平投影
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
• 取一点O为投影中心，以一定的半径 做一个球
• 通过球心作一个水平面，与投影球 相交为一大圆，它相当于球的赤道， 称为基圆；基圆面称为赤道平面；
例子 22
投影球
吴氏网
23
§2.5 吴氏网
将基园拿出来，依据倾斜大园和直立小园投影的结果，并标示 出适当的角度间隔，就是著名的吴氏网。
直立大圆的投影形成直径 倾斜大圆的投影形成大圆弧 各种圆切面的投影
直立小圆的投影形成小圆弧
24
25
吴氏网是极射投影的量度工具。 吴氏网的组成：基圆、直径、大圆弧、小圆弧
Crystallography
第一章 晶体及晶体学 第二章 晶体的面角恒等与投影 第三章 晶体的宏观对称 第四章 晶体定向与结晶符号 第五章 晶体的理想形态--单形和聚形 第六章 晶体的实际形态和规则连生 第七章 晶体内部结构的微观对称 第八章 晶体生长简介
1
第二章 晶体的测量与投影
• 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；
投影轴与投影球的两个交点N和S， 即投影球的北极和南极，也分别称
为上目测点和下目测点。
• 包含投影轴的直立平面为子午面。
13
方法： 以赤道平面为投影平面，以南极S(或北极N)作为目测点，由S(或N) 向球面上的点作直线，连线与赤道平面的交点即为相应点的极射赤平 投影点。
起，使透明纸能够相对于吴氏网旋转。 2. 用铅笔在透明纸上描出基圆，并用“×”表出网心。 3. 在基圆上选一点(一般在直径右侧端点)作为=0的标志。
注意：进行晶体的投影图解和计算时，都是用转动透明 纸完成的。转动时注意保持吴氏网不动，并使吴氏网的 基圆与透明纸的基圆始终重合。
27
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说明。
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投影球
吴氏网
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①和赤道面平行的晶面，它的极射投影点必在基圆中心。
16
②垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在基圆 的圆周上。
17
③倾斜晶面的极点 •倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内; •晶面法线与投影轴的夹角越小，则投影点距基圆中心 越近；反之，就越趋向于基圆圆周。
18
•举 例
立方体
三 方 柱
19
投影图的解读
面角：晶面法线间的夹角，其数值等于相应晶面夹角的补角。
注意：晶面夹角与面角的区别！
6
接触测角仪
单圈反射测角仪
7
球面坐标（， ） --极距角 ， --方位角
双圈反射测角仪
投影
8
子午线
9
§2.3 晶体的球面投影及坐标
投影方法： 取一点O为投影中心，以一定的半径做一个球； 将晶体置于投影球中心，使晶体中心与投影球中心重合。 由球心引每一晶面法线，并使之延伸与球面相交，交点称为相 应晶面的极点，即晶面的球面投影点。
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law of Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
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§2.2 晶体测量
晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角的数据，通 过投影，可以绘制出晶体的理想形态图. 晶体测量是研究晶体形态的一种最重要的基本方法。
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体， 网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角。
•基圆上的刻度可用来度量方位角() •直径上的刻度可以用来度量极距角() •大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的面角
26
应用吴氏网进行投影的工具：透明纸、大头针、铅笔
投影步骤： 1. 将透明纸覆于网面上，用大头针在网心将两者固定在一
P 晶面法线
P，`
P
赤 平 面
由于把目测点置于南、北极上，投影点落于赤平面上， 所以把这种投影称为极射赤平投影，或简称赤平投影。
14
•晶面的球面投影点在北半球，以南极为视点进行投影，投影点 用“•”表示； •晶面的球面投影点在南半球，以北极为视点进行投影，投影点 用“”表示。
15
晶面极射赤平投影的一些特点：
四方单锥 四方柱斜方柱三方单锥201.做立方体6个晶面的极射赤平投影 2.做八面体8个晶面的极射赤平投影 3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴 21
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0
A’
方位角在基圆上度量， 极距角则体现为投影点距圆心的距离（h = r tan /2） 。
1、已知晶面的球面坐标（方位角与极距角），作晶面的投影。
28
操作. 已知一晶面M的球面坐标，极距角＝30º和 方位角＝40º，作出该晶面M的极射赤平投影。
29
2、已知两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
30
操作.两极点（或迹点）之间角度测量
31
本节重点掌握：
1、面角守恒定律及其意义 2、晶体的投影过程 3、吴氏网的构成与应用 4、方位角与极距角的概念 5、投影图的解读（晶面、对称面、对称轴）
10
坐标：可用球面投影点的球面坐标方位角与极距角来表征晶面 方位
•极距角()：投影轴与晶面法线或直线间的夹角，也就是北极N与 球面上投影点之间的弧度，故称极距角，(= 0°~180°)。 •方位角()：是包含晶面法线或直线要素的子午面与投影球零子 午面之间的夹角。 ( = 0°~ 360 °)
例子 11
§2.1 面角守恒定律 §2.2 晶体的测量 §2.3 晶体的球面投影及坐标 §2.4 极射赤平投影 §2.5 吴氏网
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”。
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Z
Z
•同种晶体具有完全相同的格子构造， •格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。 •晶体生长过程中，晶面平行向外推移， 故不论晶面大小形态如何，同种矿物的晶体对应晶面间的夹角恒定不变。
例：
(a)
(b)
交棱相互平行的一组晶面，其极点分布在同一大圆弧上。
极射
12
§2.4 晶体的极射赤平投影
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
• 取一点O为投影中心，以一定的半径 做一个球
• 通过球心作一个水平面，与投影球 相交为一大圆，它相当于球的赤道， 称为基圆；基圆面称为赤道平面；
例子 22
投影球
吴氏网
23
§2.5 吴氏网
将基园拿出来，依据倾斜大园和直立小园投影的结果，并标示 出适当的角度间隔，就是著名的吴氏网。
直立大圆的投影形成直径 倾斜大圆的投影形成大圆弧 各种圆切面的投影
直立小圆的投影形成小圆弧
24
25
吴氏网是极射投影的量度工具。 吴氏网的组成：基圆、直径、大圆弧、小圆弧
Crystallography
第一章 晶体及晶体学 第二章 晶体的面角恒等与投影 第三章 晶体的宏观对称 第四章 晶体定向与结晶符号 第五章 晶体的理想形态--单形和聚形 第六章 晶体的实际形态和规则连生 第七章 晶体内部结构的微观对称 第八章 晶体生长简介
1
第二章 晶体的测量与投影
• 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；
投影轴与投影球的两个交点N和S， 即投影球的北极和南极，也分别称
为上目测点和下目测点。
• 包含投影轴的直立平面为子午面。
13
方法： 以赤道平面为投影平面，以南极S(或北极N)作为目测点，由S(或N) 向球面上的点作直线，连线与赤道平面的交点即为相应点的极射赤平 投影点。
起，使透明纸能够相对于吴氏网旋转。 2. 用铅笔在透明纸上描出基圆，并用“×”表出网心。 3. 在基圆上选一点(一般在直径右侧端点)作为=0的标志。
注意：进行晶体的投影图解和计算时，都是用转动透明 纸完成的。转动时注意保持吴氏网不动，并使吴氏网的 基圆与透明纸的基圆始终重合。
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晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说明。