第5讲 数的整除性

第5讲数的整除性（一）

例1 在□里填上适当的数字，使

得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？

例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

练习5

1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

3.173□是个四位数。数学老师

说：“我在这个□中先后填入3个数

字，所得到的 3个四位数，依次可以

被9，11，6整除。”问：数学老师先

后填入的3个数字之和是多少？

班

有多少名学生？

6.能不能将从1到9的各数排成

一行，使得任意相邻的两个数之和都

能被3整除？

第6讲数的整除性（二）

我们先看一个特殊的数——

1001。因为1001=7×11×13，所以凡

是1001的整数倍的数都能被7，11

和13整除。

例2 判断306371能否被7整

除？能否被13整除？

例3已知10□8971能被13整

除，求□中的数。

知□中的数是8。

例6 判断下列各数能否被27或

37整除：

（1）2673135；（2）8990615496。

例7（1）判断18937能否被29

整除；

（2）判断296416与37289能否

被59整除。

练习6

1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？

88205， 167128， 250894，396500，

675696， 796842， 805532，75778885。

2.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？

7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026， 1884924， 2175683，2560437，

11159126，131313555，266117778。

9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119， 55537， 62899， 71258，

186637，872231，5381717。

第7讲奇偶性（一）

整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例

如

0， 2， 4， 6， 8， 10， 12，

14， 16，…

（2）不能被2整除的自然数叫奇数，

例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

整数由小到大排列，奇、偶数是交替

出现的。相邻两个整数大小相差1，

所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被

2整除，所以偶数可以表示为2n的形

式，其中n为整数；因为奇数不能被

2整除，所以奇数可以表示为2n+1的

形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个

属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有

如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或

差）一定是偶数；两个奇偶性不同的

数的和（或差）一定是奇数。反过来，

两个数的和（或差）是偶数，这两个

数奇偶性相同；两个数的和（或差）

是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇

数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个

奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

（4）若干个数相乘，如果其中有

一个因数是偶数，那么积必是偶数；

如果所有因数都是奇数，那么积就是

奇数。反过来，如果若干个数的积是

偶数，那么因数中至少有一个是偶数；

如果若干个数的积是奇数，那么所有

的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除

以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得

偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能

被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇

数的平方除以4的余数是1。

因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）

2能被4整除；

因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×

（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余

1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是

偶数，其和必是奇数。

（8）如果一个整数有奇数个约数

（包括1和这个数本身），那么这个

数一定是平方数；如果一个整数有偶

数个约数，那么这个数一定不是平方

数。

整数的奇偶性能解决许多与奇偶

性有关的问题。有些问题表面看来似

乎与奇偶性一点关系也没有，例如染

色问题、覆盖问题、棋类问题等，但

只要想办法编上号码，成为整数问题，

便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数？

1+2+3+4+…+1997+1998。

例2 能否在下式的□中填上“+”

或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

例3任意给出一个五位数，将组

成这个五位数的5个数码的顺序任意

改变，得到一个新的五位数。那么，

这两个五位数的和能不能等于

99999？

例4在一次校友聚会上，久别重

逢的老同学互相频频握手。请问：握

过奇数次手的人数是奇数还是偶数？

请说明理由。