运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解 第(13-14)章【圣才出品】

dFT dt
et ， t 0
（3）爱尔朗分布（Erlang）
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设1, 2 , , k 是 k 个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么，
T 1 2 k 的概率密度是：
fk
(t)
图 13-1 这种系统状态（n）随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）， 它可以描述细菌的生灭过程。
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6．几个重要的参数
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：单位时间平均到达的顾客数；
e ：系统的有效达到率； ：单位时间能被服务完成的顾客数；
那么一顾客走完 k 个服务台总共所需要服务时间就服从上述的 k 阶 Erlang 分布。
5．生灭过程（稳态）
稳态时， Pn (t) 与时间无关，可以写成 Pn ，它对时间的导数为 0，所以
PnP01
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
上式即为关于 Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图如图 13-1 所示：
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①服务机构分为单服务台和多服务台。不同的输入形式与排队规则和服务机构联合后形
成不同的排队服务机构。
②服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
③服务时间分为确定型（定常时间）和随机型。
④服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
1
)
,
1 N
, 1
1
1 ，
e (1 PN ) (1 P0)
： / 。
7．排队论公式整理
（1）无敌的 Little 公式
Ls
；
Lq
Ws
1
； Wq
它们之间的关系：
Ls Ws ； Lq Wq
Ws
Wq
1
； Ls
Lq
以上四个关系式即称为 Little 公式。
注意： 有时要换成 e ，
在用 P-K 公式时要换为
。
（2）M/M/1/∞/∞
2．排队模型的分类 X/Y/Z/A/B/C 的含义： X、Y：分别表示相继到达时间和服务时间的分布。各种分布的符号如下： M — —负 指 数分 布 （ 负指 数 分 布 具有 无 记 忆性 ， 即 Markov 性 ）； D — — 确 定 型
（Deterministic）分布；Ek—— K 阶爱尔朗分布（Erlang）；GI——一般相互独立随机分
P1(t，t t) t (t)
③普通性：对充分小的 t ，在时间区间 t t 内有 2 个或 2 个以上顾客到达的概率
是 t 的高阶无穷小。
（2）负指数分布
当输入过程为泊松流时，两顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布。
分布函数： 密度函数：
FT (t) 1 et ， t 0
fT (t)
4．到达间隔的分布和服务时间的分布（理论分布）
（1）泊松分布
设随机变量为 n
，则有
Pn{t}
(t)n n!
et
(t
0, n
0,1, 2...)
。其中
（
0
）为常
数， t 为时间参数。
泊松流的三个特性：
①无后效性（独立性）：各区间内的顾客到达数相互独立，即 Markov 性。
②平稳性：即对于足够小的 t ，在时间区间 t t 内有 1 个顾客到达的概率为
布（General Independent）；G——一般随机分布。 Z：并列的服务台的数目。
A：排队系统的最大容量 N ； B：顾客源数量 m ；
C：服务规则（FCFS、LCFS 等）。
3．数量指标
队长（ Ls ）：系统中的顾客数； 排队长（ Lq ）：系统中排队等待服务的顾客数； 逗留时间（Ws ）：一个顾客在系统中的停留时间的期望值；
k ( kt)k1 (k 1)!
e kt
t0
则称 T 服从 k 阶爱尔朗分布。
当 k=1 时，Erlang 分布即为负指数分布；
当 k 增加时，Erlang 分布逐渐变为对称的；
当 k 30 时，Erlang 分布近似于正态分布。
注意：串列的 k 个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数 k），
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第 13 章 排队论
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13.1 复习笔记
1．排队系统的组成与特征 排队系统一般有三个基本组成部分：输入过程、排队规则、服务机构。 （1）输入过程，即顾客到达排队系统的过程，有下列情况： ①顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 ②顾客是成批到达或是单个到达。 ③顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。 ④顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到 达无影响。 ⑤输入过程可以是平稳的，也可以是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达的 间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理 比较困难。 （2）排队规则 ①顾客到达后接受服务，服务分为即时制（损失制）和等待制。即时制不允许排队，不 形成队列；而对于等待制将会形成队列，顾客可以按下规则接收服务：先到先服务 FCFS； 后到先服务 LCFS；随机服务 RAND；有优先权服务 PS。 ②从队列的空间可分为有容量限制和无容量限制，也可分为有形的和抽象的。 ③从队列数可分为单列和多列（多列包括各列间可以相互转移、不能相互转移；中途可 退出、中途不能退出等）。
/ ， P0 1 ， Pn (1 ) n
Ls
， Lq
， Ws
1
， Wq
（3）M/M/1/N/∞
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/
， P0
1 1 N 1
,
1 ， Pn
N
1
1
,
1
n (1 1 N
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等待时间（Wq ）：一个顾客在系统中排队等待的时间的期望值；
忙期：指从顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次为空闲这段时间的长度。
状态概率：用 pn t 表示，即在 t 时刻系统中有 n 个顾客的概率，也称瞬态概率。