焦点弦、焦点三角形
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
最新解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则2、过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
（1） 当焦点内分弦时，有（2） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角【椭圆】222122()S (a c )tanb tanαα=-=22()S b mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角212b ()S tanα=22()Sb mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【抛物线焦点弦与原点△ 面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】 分析：如上左图,11:22|F A ||F B |a b e;e;p =-c =|AM ||BN |c c==根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析：如上左图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN|e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角AF12a x c=F2MBNAF12a x c=-F2MBN121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-ABM N2b p c=2a x c=θM‘MBAAM’M分析：如上左图, 122|F A |a b e;p =c =|AM |c c=-:根据第二定义准线与对应焦点距离 11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析：如上右图,22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦θM‘MN’NBABθN‘N【焦半径——抛物线】2）x(yπθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论122211p p p;;|AB|cos cos sinρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|y y p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】21a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==+=+22a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==-+=-122:==a b a ba b a ba ex;a ex|AB|a ex a ex e(x x)|AB|a ex a ex a e(x x)ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右AB F2a x c=-2b p c=MN Fθ ABMN2b p c=2a x c=θ【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)
抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。
焦点弦是什么
焦点弦是什么
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。
焦点弦简述为数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的
线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记
q=a^2/c-c，是焦准距，e是离心率。
令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|=。
易知当且仅当时取|CD|最小值2a。
定理1（配极理论的原则）.若点P
的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.
定义
连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。
若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。
焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦.
焦点弦简述
数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦特点
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到
对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
这是一个很好的性质。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴!)。
圆锥曲线技巧一----焦点三角形
圆锥曲线结论1． 焦点三角形模型例 1. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33例2. 已知12F F ，是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若△21PF F 面积为1,，则12PF PF •等于例3. 已知12F F ，是双曲线221x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01260F PF ∠=，则12||||PF PF •等于【练习】1. 已知12F F ，是双曲线2214x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01290F PF ∠=，则21PF F ∆面积等于2. 已知12F F ，是双曲线221169x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01260F PF ∠=，则21PF F ∆面积等于3. 焦点为12,F F 的椭圆2214924x y +=上有一点M ，若120MF MF ⋅=，求12MF F ∆的面积 ．4.已知双曲线221x y -=，设12F F ，是其两个焦点，点P 是双曲线上一点，若 12F P PF ⊥，则12||+||F P PF 的值为2. 焦半径模型椭圆、双曲线焦半径：2||cos b AF a c θ=-，2||cos b BF a c θ=+适用范围（如果是双曲线，AB 必须在同一支上，且双曲线可能需要加绝对值）1. 其中θ表示直线AB 的倾斜角2.不区分椭圆双曲线，不区分左右焦点3.原则：长则除小，短则除大4. 焦点在y 轴上时，cos θ换成sin θ证明：例1. 过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，求||.||PF FQ 的值例2. 已知椭圆22:184x y C +=(1)已知过点1F （-2,0）倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求证：2||2cos AB θ=- （2）已知过点1F （-2,0）做两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A 、B 和D 、E ，求|AB|+|DE|的最小值例3. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，已知(1,),(,2e e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率 （1）求椭圆方程（2）设A 、B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与2BF 相交于P,若直线12||||AF BF -=，求直线AF 的斜率【练习】1. （2019年全国卷1，文、理）设12,F F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F ∆为等腰三角形，则M 的坐标为2.（2019年浙江）已知椭圆22195x y +=的焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是3.焦点弦比例模型已知 AF FB λ=，或(0)FB AF λλ=>则： 1|cos |||1e λθλ-=+或1|1e λλ-=+ 适用范围 1.其中θ表示直线AB 的倾斜角 2.不区分椭圆双曲线抛物线，不区分左右焦点3.注意：上述公式中圆锥曲线是双曲线，点A 和点B 必须是双曲线的同一支（如果是异支，1|cos |||1e λθλ+=-）；4. 焦点在y 轴上时，cos θ换成sin θ例1. 已知双曲线的右焦点为F ，过F 且斜率为的直线交C 于A 、B 两点，若，则C 的离心率为例2. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF FB =，则例3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F ，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，若2AF FB =（1） 求椭圆C 的离心率（2） 如果15||4AB =，求椭圆C 的方程【练习】1.（2019年全国卷1）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>, 12(1,0),(1,0)F F -，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若221||2||,||||AF F B AB BF ==，则C 的方程（ ）A. 2212x y +=B. 22132x y +=C.22143x y +=D. 22154x y +=2.（2014年安徽）设12F F ，为椭圆2221y x b +=上的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若11||3||AF BF =,2AF ⊥X 轴，则椭圆E3.（北京）直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线交于,A B 两点，若5AF FB =，则直线l ．4. （全国）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C5．（天津）抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 重合，且相交于A 、B 两点，直线AF 交抛物线于另一个点C ，且与双曲线一条渐近线平行，若1||||2AF FC =,。
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
盘点圆锥曲线中的焦点三角形圆锥曲线是数学中的一个重要分支，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线。
这些曲线具有很多的有趣性质，其中之一就是它们都有一个焦点。
在这篇文章中，我们将介绍焦点三角形这个有趣的概念，以及在圆锥曲线中的应用。
什么是焦点三角形？焦点三角形，也叫做拉姆尼三角形（Lamé triangle），是由圆锥曲线上的三个焦点形成的三角形。
对于圆，它的焦点就是圆心，而对于其他三种曲线，它们都有两个焦点。
三条直线分别连接曲线上一个点与两个焦点，这三条直线的交点就构成了焦点三角形。
例如，对于椭圆，它的焦点三角形如下所示：焦点三角形有很多有趣的性质和应用，下面我们将介绍其中的一些。
1. 勾股定理焦点三角形的外心就是曲线的中心。
这个性质很容易证明，我们在这里不再赘述。
由于外心是曲线的中心，因此焦点三角形的边长可以视为三个半轴长$a,b$和$c$构成的向量的长度。
设$f_1$和$f_2$分别是曲线的左右焦点，$P$是曲线上的一个点，则有：$|f_1P|^2 = a^2 - |f_1M|^2$$|f_2P|^2 = b^2 - |f_2N|^2$$|PM|^2 + |f_1M|^2 = |PN|^2 + |f_2N|^2 = c^2$其中$M$和$N$分别是$PF_2$和$PF_1$上的垂足。
由于$|PM|^2 + |PN|^2 = |MN|^2$，因此有：$a^2 - |f_1M|^2 + b^2 - |f_2N|^2 = c^2$化简后即得勾股定理：这说明，对于任意圆锥曲线，它的焦点三角形满足勾股定理。
这个结论在研究圆锥曲线的性质时非常有用。
2. 费马点焦点三角形的费马点也是圆锥曲线的一个重要性质。
费马点是指曲线上到焦点的距离之和最小的点。
在椭圆和双曲线上，费马点与曲线的中心重合；在抛物线上，费马点就是抛物线的焦点；在圆上，费马点与圆心重合。
3. 已知焦点三角形求曲线焦点三角形还可用于求解曲线方程。
焦点弦公式及其应用
焦点弦公式及其应用焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．图1下面对焦点弦公式进行证明．证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线 L:上．由直线L和椭圆C的方程可得．设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为∵焦准距为,∴．当时，公式也成立．对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．∴．即．当时，同理可以推得．利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．一、在椭圆中的应用例1 （2008年高考安徽卷文科22题）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．故所求椭圆C的方程为．（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为，，，，。
由焦点弦，可得=得证．（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。
因而，，。
? 当且仅当即时取“＝”．所以的最小值是．二、在双曲线中的应用例2(2006年高考安徽卷22题)如图5，F为双曲线C：的右焦点、P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点,已知四边形为平行四边形，．（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．解:（Ⅰ）∵，，图4设右准线交PM于H，则，又,∴．（Ⅱ）当时，由得，即．由得，由此得双曲线为．∵时,, ,．在中,．P点的坐标为,则,．即．令AB与的夹角为,由AB∥OP得,．∵,∴,解得,即．由，可以解得．故所求双曲线的方程为．三、在抛物线中的应用例3 (2006年高考全国Ⅱ卷第21题）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．解：（Ⅰ）可设,,AB的倾斜角为,则AB的斜率．由知AB过焦点．所以AB的方程为．将此式代入得．则．∵,∴过A、B两点的切线方程分为，．由此解得:,．即点M为．所以,．∴为定值．(Ⅱ)∵抛物线的焦准距,过焦点F的弦AB与对称轴夹角为．∴．又,由知．∴△ABM的面积为．当,即AB与轴平行时,F点是AB的中点,,△ABM的面积S有最小值4．求的表达式的方法如下:∵,∴．设,则可以解得．又，．∴．四、综合应用(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积
抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积要计算抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积，需要先找到抛物线的焦点坐标。
抛物线的方程可以表示为：y=ax^2，其中a为常数。
焦距的定义为p=2a，焦点的坐标为(F,0)。
根据焦点的性质，可以得到焦点的横坐标F=p/2a=1/(4a)。
现在，我们需要找到焦点弦的方程。
由于焦点弦与原点围成的三角形，我们可以将焦点弦表示为y=kx，其中k为斜率。
将弦的方程y=kx和抛物线的方程y=ax^2联立，得到方程ax^2kx=0。
为了找到焦点弦的两个交点，需要将方程ax^2kx=0转化成二次方程，并求解其根。
对方程ax^2kx=0使用求根公式，可以得到两个解x1和x2：x1=0，x2=k/a。
因此，焦点弦与抛物线的交点坐标为(0,0)和(k/a,k)，其中k 为任意非零实数。
现在，我们可以计算焦点弦与原点围成的三角形的面积。
三角形的底边长为原点到焦点弦的距离，即x轴上的坐标差值：D=|F0|=F=1/(4a)。
三角形的高为点到直线的距离，即点(0,0)到焦点弦的距离，使用点到直线的公式：d=|ax+by|/√(a^2+b^2)，其中直线的一般式方程为ax+by=0。
将焦点弦的方程y=kx代入直线的一般式方程，可以得到bkx=0，即b=kx。
将坐标点(0,0)代入点到直线的公式，可以得到d=|by|/√(a^2+b^2)=|kxy|/√(a^2+k^2)。
此时，我们可以计算出三角形的面积S为底边乘以高的一半：S=1/2*D*d=1/2*(1/(4a))*(|kxy|/√(a^2+k^2))。
最后，我们得到了抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积公式：S=1/(8a√(a^2+k^2))*|kxy|。
注意：这个公式对于所有非零实数k和常数a都成立，其中k为焦点弦的斜率。
焦点弦与焦点所成三角形面积
焦点弦与焦点所成三角形面积
首先，我们需要了解一下什么是焦点弦和焦点所成三角形。
焦点弦是指一个圆的直径上的任意一条线段，该线段的两个端点分别为圆的两个焦点；而焦点所成三角形则指以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点的三角形。
接下来，我们来探讨一下如何计算焦点弦与焦点所成三角形的面积。
对于焦点弦，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点弦的面积 = (焦点弦长度×圆的半径) ÷ 2
其中，焦点弦长度指的是焦点弦两个端点之间的距离。
对于焦点所成三角形，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点所成三角形的面积 = (圆的半径×正弦值(焦点所成角度)) ÷ 2
其中，焦点所成角度指的是以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点所成的角度。
需要注意的是，以上公式中的焦点弦长度和焦点所成角度都需要通过测量或计算来获取。
综上所述，焦点弦与焦点所成三角形的面积计算方法相对简单，只需要根据公式输入相关参数即可得出结果。
- 1 -。
焦点弦定理
焦点弦定理
焦点弦定理，是平面几何中一个重要的定理，它是指在一个圆内，连接两点的弦所构成的角度相等，如果这些弦是相交的，则相交点处所产生的四个角对应的弧所构成的角度也相等。
这个定理可以用来解决各种各样的几何问题，包括计算弦长、角度等等。
下面我们来看看焦点弦定理的一些具体应用。
我们可以用焦点弦定理来计算弦长。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦的交点到圆心的距离分别为d1和d2，那么这两个弦的长度分别为2*sqrt(r^2-d1^2)和2*sqrt(r^2-d2^2)。
这个公式的证明可以使用焦点弦定理，由于两个弦的交点到圆心的距离相等，因此可以得出这个公式。
焦点弦定理还可以用来计算角度。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦分别为AB和CD，它们的交点为E，那么可以证明角AEB=角CED。
这个定理的证明可以使用初中数学中学过的相关角、交角的定义和性质来证明。
在实际应用中，这个定理可以用来计算各种各样的角度，例如外切角、内切角等等。
焦点弦定理还可以用来解决一些几何问题。
例如，我们可以使用这个定理来证明圆的切线与半径所构成的角度为90度。
证明的过程比较简单，只需要使用焦点弦定理以及圆的切线与半径垂直的性质即可。
焦点弦定理是平面几何中非常重要的一个定理，它可以用来解决各种各样的几何问题。
在实际应用中，我们需要灵活运用这个定理，并结合其他几何知识来解决各种问题。
同时，我们也需要注意证明过程中的细节和思路，以免出现错误或者漏洞。
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算（一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。
1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1） （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径椭圆的焦半径：左加右减。
长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。
左边下边都为负，不足都要加。
双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。
在一支上时，称之为焦半径，通常也叫焦半径。
在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。
设焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--同理，右支2211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。
联想特征：左边下边都为负，要减一起减。
可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。
以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=-+⋅=-双曲线外焦半径，与椭圆相同。
焦点三角形问题(解析版)
1第一篇 圆锥曲线专题 01 焦点三角形问题焦点三角形的边角关系 如下：三条边： F 1F 2 = 2c e = caPF 1 + PF 2 = 2a a 2 = b 2 + c 2三角形周长=2a + 2c三个角：随着动点 P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角∠P ， 利用余弦定理， ∠P 又和三边 a, b,c 的大小有关系1三角形的面积： S= ah 2 1底为定值，面积最大时高最大S = ab sin c 2面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及 a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围， 前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足 a - c ≤ PF 1 ≤ a + cx 2 + y 2 =例 1 椭圆 a 2 b 21 的右焦点为 F ，其右准线与 x 轴的交点为 A ，在椭圆上存在一点 P ，满足线段 AP 的垂直平分线 过点 F ，则椭圆的离心率的取值范围是.x2 y2例2.已知F1, F2是椭圆a2+b2点F2，= 1的左右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PF1的中垂线过则椭圆的离心率的取值范围是.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：PF2=F1F2= 2c因为点P 在右准线上下移动，PF2虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
a2本题的定值为F2H =c-c2在RT PHF2中，PF2>F2H , 2c ≥a-cc解得：3≤e < 1x22 ︒例3.设F1, F2是双曲线4-y = 1的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F1PF2= 90 ，则∆PF1F2 的面积是.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设PF1=x, PF2=y 则有：x -y = 4，又因为x2 +y2 = 20 解得：xy = 2，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
焦点弦、焦点三角形
2 m 0 , m 1时双曲线焦点在 x 轴上. m 1 0
⑵表示焦点在x轴上的椭圆 ，求m的范围.
2 m 0 3 m 1时椭圆焦点在 分析： x 轴上. m 1 0 , 2 2 m m 1 判断焦点位置
.
.
共同点： 都是在PF1F 2中利用余弦定理求解. 差异：椭圆 PF1 PF2 2a ；
双曲线 PF1 PF2 2a .
x
焦点弦
2 x 已 知斜 率为 1 的 直线 l 过 椭圆 y 2 1的 右焦 点， 材料三： 2 交 椭圆 于 A、B两 点， 求 弦 AB的 长. 分析： 右焦点 F 1 ， 0 ， l 方程为 y x 1 ， y 设A、B坐标分别为 A x1 ,Βιβλιοθήκη y1 , B x 2 , y2 .
y x 1 2 由 2 ， 得 3 x 4x 0. 2 x 2 y 2 x1 x 2 4 , x1 x 2 0 . 3
.
0 B
. P.
F
A x
AB 1 k 2 x 1 x 2
1 k 2
x1 x 2 2 4 x1 x 2
焦点访谈
焦点位置
材料一： 找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
x2 y2 分析：将原方程变为标 准方程 1 25 9 a 2 25 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b2 16
1 9 x 2 25y 2 225 0
4 ， 4 ， 焦点坐标为 0 ， 0.
2
2
等于______，虚轴长等于____， 焦点坐标是______，离心率是 ______，渐近线方程是______ .
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范围是( D ) (A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
x2 y2 2．若椭圆 2 2 1a b 0 的离心率为 2 则双曲线 a b 3 2 2 x y 1 的离心率是( Ｂ ) 2 2 a b 5 (A) (B) 5 (C) 3 (D) 5 4 2 2 4
y
y
. F
1
0
. F
2
x
. F
1
o
. F
2
x
椭圆、双曲线的方程(各取一种情况）、性质的对比. 椭圆
几何条件 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 与两个定点的距离的和 等于常数.
双曲线
与两个定点的距离的差 的绝对值等于常数.
a , 0 , 0 , b
x轴， 长轴长2a y轴， 短轴长2b
y2 x2 分析：将原方程变为标 准方程 1 4 9 a 2 4 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b 2 13
2 4 x 2 9 y 2 36 0
焦点坐标为0 ， 13 ， 0， 13 .
x2 y2 已知方程 1 探索： 2 m m 1
共同点： 化为标准方程，观察x 2 , y 2的系数. 差异： 椭圆看大小，双曲线看符号.
焦点三角形
长轴或实轴端点除外 ， 则 称PF1F2 双曲线上一点
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .
设F1 , F2为 椭 圆 或 双 曲 线 的 两 焦 个点， P是 椭 圆 或
焦点三角形
长轴或实轴端点除外 ， 则 称PF1F2 双曲线上一点
y x 1 2 由 2 ， 得 3 x 4x 0. 2 x 2 y 2 x1 x 2 4 , x1 x 2 0 . 3
.
0 B
. P.
F
A x
AB 1 k 2 x 1 x 2
1 k 2
x1 x 2 2 4 x1 x 2
2
2
等于______，虚轴长等于____， 焦点坐标是______，离心率是 ______，渐近线方程是______ .
课前热身
2、已知双曲线的离心率为 2 ，焦点 是（-4，0），（4，0），则双曲线 方程为_________ 2 2 3、双曲线 mx y 1 的虚轴长 是实轴长的2倍，则 m ____
4、已知两定点A、B，且|AB|=4，动 点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最 小值是 _______ 5、已知双曲线的焦点F1（-4，0）， F2（4，0），且经过点M（2，2） 的双曲线标准方程是______
课前热身
x2 y2 1 表示双曲线，则实数m的取值 1．如果方程 m -1 2 - m
.
.
共同点： 都是在PF1F 2中利用余弦定理求解. 差异：椭圆 PF1 PF2 2a ；
双曲线 PF1 PF2 2a .
x
焦点弦
2 x 已 知斜 率为 1 的 直线 l 过 椭圆 y 2 1的 右焦 点， 材料三： 2 交 椭圆 于 A、B两 点， 求 弦 AB的 长. 分析： 右焦点 F 1 ， 0 ， l 方程为 y x 1 ， y 设A、B坐标分别为 A x1 , y1 , B x 2 , y2 .
a , 0
x轴， 实轴长2a y轴， 虚轴长2b
c , 0 ,
2 a x c
c a 2 b2
c , 0 ,
e 1
c a 2 b2
离心率
准线方程 渐近线方程
0 e 1
2 a x c yb x a
x y 1、双曲线 1 的实轴长 5 4
2 y 已 知 F1，F2是 双 曲 线x 2 y 2 1 a 0 , b 0 类比： P a b 的两个焦点， P 是双曲线上一点 ( 实轴 端 点 除 外 ), 2
.
2b 2 设F1PF2 ，则PF _________ 1 cos . 1 PF F2 F 0 1 2
则SPF1F2
16 3 ______ . 3
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .
设F1 , F2为 椭 圆 或 双 曲 线 的 两 焦 个点， P是 椭 圆 或
2 y 已 知F1，F2是 椭 圆x 1的 两 个 焦 点 ， P在 材料二： 49 24 椭圆上且满足 PF1 PF2 48， 则F1 PF2 ____ . 90 2 2 y 类比： 已 知F1，F2是 双 曲 线x 1的 两 个 焦 点 ， P在 9 16 双曲线上且满足 F1 PF2 60， 则 PF1 PF2 ____ 64 . 2
焦点访谈
焦点位置
材料一： 找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
x2 y2 分析：将原方程变为标 准方程 1 25 9 a 2 25 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b2 16
1 9 x 2 25y 2 225 0
4 ， 4 ， 焦点坐标为 0 ， 0.
y
.
P
.
2
P
y
. F
1
0
. F
x
F1
.
o
. F
2
x
2 y 已 知 F1，F2是 椭 圆x 2 2 1 a b 0的 两 个 探索： a b 焦点， P是 椭 圆 上 一 点 (长 轴 端 点 除 外 ) ， 设F1 PF2 ， 2
2b 2 则 PF1 PF2 __________ 1 cos __ .
差异： 椭圆 0 e 1 ,
双曲线 e 1.
三、小结提高
椭圆、双 曲线的方 程、性质
焦点位置
焦点
访谈核心
焦点三角形
焦点弦
知识•方法•思想
探索： 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该焦
点相应准线是何位置关系？
类比： 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和该
焦点相应准线是何位置关系？
2 y x 已知 F ， F 是椭圆 1的两个焦点，P是 探索2： 1 2 100 64 椭圆上任一点，且F1 PF2 600，求F1 PF2的面积 . 2
相离
思考： 以Байду номын сангаас段AB为直径的圆，与椭圆相应准线是何位置关系？
4 2 3
探索： 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该
焦点相应准线是何位置关系？ 相离 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和 类比： 该焦点相应准线是何位置关系？ 相交 y y
.
0
B
P
.
F
.
A m
A
P
d n
x
..
F
B
o
.
x
共同点： 利用第二定义解题.
2 2 64 256 2 b PF PF 分析： 由探索1可知 1 2 1 cos 1 cos60 3
S F1PF2
3 64 3 256 1 1 . PF1 PF2 sinF1 PF2 3 2 3 2 2
2
2 y 已知F1，F2是双曲线 x 1的两个焦点， 类比： 9 16 P是双曲线上任意一点，若 PF1 PF2 64 ，则 3
⑴表示焦点在x轴上的双曲线，求m的范围. 分析：
2 m 0 , m 1时双曲线焦点在 x 轴上. m 1 0
⑵表示焦点在x轴上的椭圆 ，求m的范围.
2 m 0 3 m 1时椭圆焦点在 分析： x 轴上. m 1 0 , 2 2 m m 1 判断焦点位置