3.2 简单的三角恒等变换(教、教案)

3． 2 简单的三角恒等变换

【教学目标】

会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、

和差化积公式<公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】

教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。ICq7WURgYY 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。ICq7WURgYY

【教学过程】

复习引入：复习倍角公式、、

先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角

表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？

半角公式的推导及理解：

例1、试以表示．

解读：我们可以通过二倍角和来做

此题．<二倍角公式中以α代2α，代α）

解：因为，可以得到；

因为，可以得到．

两式相除可以得到．

点评：⑴以上结果还可以表示为：

并称之为半角公式<不要求记忆），符号由角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。ICq7WURgYY

变式训练1：求证

积化和差、和差化积公式的推导<公式不要求记忆）：

例2：求证：

<１）；

<２）．

解读：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明：<１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

；．

两式相加得；

即；

<２）由<１）得①；设，

那么．

把的值代入①式中得．

点评：在例２证明中用到了换元思想，<１）式是积化和差的形式，<２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．ICq7WURgYY

变式训练2：课本p142 2<2）、3<3）

例３、求函数的周期，最大值和最小值．

解读：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。

解：，

所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中

对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．ICq7WURgYY

变式训练3：课本p142 4、<1）<2）<3）

探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．

小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、<1）<5） 3 、5

3．2 简单的三角恒等变换<导学案）

课前预习学案

一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：

1、回顾复习以下公式并填空：

Cos(α+β>= Cos(α-β>=

sin(α+β>= sin(α-β>=

tan(α+β>= tan(α-β>=

sin2α= tan2α=

cos2α=

2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式<公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。ICq7WURgYY

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。ICq7WURgYY 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。ICq7WURgYY

二、学习过程：

探究一：半角公式的推导<例1）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？

3、二倍角公式和半角公式有什么联系？

4、代数变换与三角变换有什么不同？

探究二：半角公式的推导<例2）

请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？

2、在例2证明过程中，如果不用<1）的结果，如何证明<2）？

3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？

探究三：三角函数式的变换<例3）

请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？

2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如

y=Asin(ωx+φ>的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最

小值．ICq7WURgYY

三、反思、总结、归纳：

sinα/2= cosα/2= tanα/2=ICq7WURgYY

sinαcosβ= cosαsinβ=

cosαcosβ= sinαsinβ=

sinθ+sinφ= sinθ-sinφ=

cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=

四、当堂检测：

课本p143 习题3.2 A组1、<3）<7）2、<1）B组2

课后练习与提高

一、选择题：

1．已知cos<α+β）cos<α－β）=，则cos2α－sin2β的

值为< ）

A．－B．－

C．D．

2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是< ）