大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

习 题 六

6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建

立坐标系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010

30602===

==⨯=-m k A k ω

设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos

0=t 时 1.0=x φc o s 1.01.0= 0=φ

故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x =

(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则

()()x x k x k F +=∆=0

其中 m 2.0200

400===k mg x 因而有 ()N 3005.02.0200=-⨯=F

(3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则

()107.7cos 1.00t = 07.75.01π=t

第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则

()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt

故所需最短时间为：

s 074.012=-=∆t t t

6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速

率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知42

1=T s 由于4/2s 8/1,s 81ππνων====-T t=0s t=2s

v A B v B t=4s ωφA x

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。

t =0时, φcos 5A x =-=

t =2s 时， φφωs i n )2c o s (

5A A x -=+== 由以上二式得 1tan =φ

因为在A 点质点的速度大于零，所以4

3πφ-= cm x A 25cos /==φ

所以，运动方程为：

)SI ()4/34/cos(10252ππ-⨯=-t x

(2)速度为： )4

34sin(41025d d 2πππ-⨯-==-t t x v 当t =2s 时 m/s 1093.3)4

34sin(41025d d 22--⨯=-⨯-==πππt t x v

6-3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。

[解] (1) 设振动方程为()cm cos ϕω+=t A x

以cm 12=A 、cm 6=x 、1s cm 24-⋅=v 代入，得：

()ϕω+=t cos 126

()ϕωω+-=t sin 1224

利用()()1cos sin 22=+++ϕωϕωt t 则

1122412622=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω 解得 334=ω s 72.22

32==

=πωπT (2) 以1s cm 24-⋅=v 代入，得： ()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212

解得： ()4

3sin -

=+ϕωt 所以 ()4

13cos ±=+ϕωt 故 ()cm 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⨯=+=ϕωt x

6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

[解] 设振动方程为： ()ϕω+=t A x cos

根据振动曲线可画出旋转矢量图

由图可得： 32πφ=

12

5223πππφω=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆∆=

t 故振动方程为 cm 3212

5cos 10⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππt x

6-5 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率s rad 10=ω，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移0x ＝7.5 cm ，初始速度s cm 0.750=v ；(2)其初始位移0x ＝7.5 -A/2-A φ

∆φx

cm ，初速度s cm 0.750-=v 。

[解] 设振动方程为 ()φ+=t A x 10cos

(1) 由题意得： φcos 5.7A =

φsin 1075A -=

解得：4πφ-= A =10.6cm

故振动方程为：

()cm 410cos 6.10π-=t x

(2) 同法可得： ()cm 410cos 6.10π+=t x

6-6 一轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30cm 。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg 待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后释放。问：

(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件?二者在何位置开始分离?

[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长0l ，则Mg kl =0

又 m N 2003

.060===l N k