构造法求通项公式

一．累加法（适用于：）
例：已知数列满足，求数列的通项公式。

练习：1.数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n. 2.数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n
, 求通项a n.
3.已知数列满足，求数列的通项公式。

4.设数列满足，，求数列的通项公式
二．累乘法（适用于
） 例：数列{ a n }中，若a 1=1，，求a n. 解：由得： ∴
， ， ，… 用累乘法把以上各式相乘得：
∴。

练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，，求
a n.
三．倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

练习：1.中，若求a n
2.数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求
a n
3.数列{ a n }中，求a n 通项公式。

)(1n f a a n n +
=+{}n a 11211n n a a n a +=++=，{}n a {}n a 112313n n n a a a +=+⨯+=，{}n a }{n a 21=a 12123-+⋅=-n n n a a }{n a )(1
n f a a n
n =+n n na a n =++1)1(n n na a n =++1)1(1
1+=+n n
a a n n 2112=a a 3223=a a 4334=a a n
n a a n n 1
1-=-n
a a n 1
1=n
a n
1
=n n n a a 2=+{}n a 112,12
n
n n a a a a +==+{}n a }{n a 数列),(41
1,
21
1N n a a a n
n ∈+=
=+),(,311,2
111N n a a a n
n ∈+==
+,2
2,111+=
=+n n
n a a a a
4.数列{ a n }中,求a n .
四．构造如的数列（适用于 方法：a n+1＝c a n +d, 设可化成a n+1+x=c(a n +x), a n+1=c a n +(c-1)x
用待定系数法得： (c-1)x ＝d ∴ x=
. 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。

解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1）
设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7,
，
练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n 2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n
五．构造形如的数列
例：已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 六．构造形如的数列。

例：已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设
练习1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设
2.已知数列中，,，求
),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且常数+=+n n a a 1为常数d c d a c a n n ,c )1(,1≠+⋅=+1
-c d
11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即1271-⋅=∴-n n a )(N n ∈一次或二次函数+=+n n ka a 1{}n a 21123451n n a a n n a +=+++=，{}n a 221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++指数+=+n n ka a 1{}n a 112356n n n a a a +=+⨯=，{}n a 1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯{}n a 1135241n n n a a a +=+⨯+=，{}n a 1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+{}n a 6
51=a 11)2
1(31+++=n n n a a n a
七．构造形如的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n 。

解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，
则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2, ∴a n ＋１ －a n =2•(-5)
n-1
即a ２ －a １=2•(-5) a ３ －a ２=2•(-5)２
a ４ －a ３=2•(-5)
３
┄
a n －a n －１=2•(-5)
n-2
各式相加得：a n －a １=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1
］ 即：a n －a １=2•
，即，（n
八．构造形如的数列。

例：正数数列{ a n }中，若 解：设
九．构造形如的数列
n n n a a b -=+1∈)
5(1511
-----n ）（3
)5(111---+
=∴n n a 3
)5(41
---=
n n a )N ∈2n n a b =n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则)
,71(,429429429)4()1(2525
4}{2
2
11N n n n a n
a n n
b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列n n a b lg =
例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且求a n .
解：由题意得：
，即
.
即
练习：数列{ a n }中，若a 1=3,,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。

对无穷递推数列 消项得到第与项的关系 例：已知数列满足，求的通项
公式。

练习.设数列满足，．求数列的通项；
裂项相消法
2）当递推公式中形如: a n+1=a n +
；a n+1=a n +
；a n+1=a n +等情形
可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =；b n =；b n =
即b n =；b n =；b n = 从而求出求出数列前n-1项的和T n-1, T n-1=；T n-1=；T n-1= ),,2(,lg 2
1lg 1N n n a a n n ∈≥=-n n n n a b a a lg 21lg lg 1=∴=-可设，,2
1
1=-n n b b 110lg 2
1
1==∴b b n ，是等比数列，公比为)(,)2
1
()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--1)21
(1
10,)2
1(lg -=∴=-n n n n a a 21n n a a =+1+n n {}n a 11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，{}n a {}n a 211233333
n n n a a a a -++++=…a ∈*N {}n a )
1(1+n n )12(121+-n n ）（1
1
++n n )1(1+n n )12(121+-n n ）（1
1
++n n 11
1+-
n n
)1
21121(21+--n n n n -+1n
11-)1
21
1(2
1--
n 1-n
即： a n －a １=;
a n －a １=; a n －a １=
从而求出 a n =a １+;
a n = a １+; a n =a １+
3) 数列{ a n }中，若a 1=2，，求通项a n.
数学归纳法
练习：已知正数数列{ a n }中，,
求数列{ a n }的通项公式。

n
11-)1
21
1(21--
n 1-n n
11-)1
21
1(21--
n 1-n n a a n n n -+=+21),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-。