典型混沌电路及其分析

零阶电路微分方程不存在电路运动问题，但是存在电路求解问 题，这些问题研究成熟，方法有叠加原理、代文宁定理、诺顿 定理、电压源电流源等效变换方法等。自治零阶电路不会产生 新的动态特性。 2、一阶微分电路—仅含有一个储能元件的电路
电路仅有零输入响应与零状态响应问题，是研究现代电子电路 的起步电路，一般电路分析教科书中都有详细的讨论。 3、二阶微分电路—含有二个储能元件的电路 对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡， 不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环， 属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生 混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符 号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混 沌。
一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交 换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引 起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响， 并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。
将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包 含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中 我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简 单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号 如混沌信号。 1、零阶电路—无储能元件电路，即纯电阻电路 纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件， 所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数 方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方 程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与 非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非 自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。
二、电路系统动态特性分类 根据分类目的的不同，电路系统分类的形式也很不同。现在 按照电路动态特性分类，它和电路状态方程的阶数有一定的关 系。电路系统的变量是电压、电流、电荷、电磁链，控制变量 是电路元件电阻、电容、电感等参数。从能量的角度看，电路 系统中有的元件（包括分布参数）从电路系统中吸收能量，变 成热能或辐射能等，有的元件从电路工作电源吸收能量，储存 或消耗在电路系统中，电路系统与外界进行着能量的交换。从 信息的角度看，电路系统与外界一般进行信息交换，输入信息 与输出信息。从物质的角度看，电路系统与外界一般不进行物 质交换。物理学中，与外界进行着物质、能量交换的系统叫做 开放系统; 与外界不进行物质、能量交换的系统叫做封闭系统; 与外界仅进行能量交换的系统叫做耗散系统，因此电路系统是 耗散系统。
1990年，混沌同步电路的研究再次把非线性电路研究推向 一个高潮，这是因为它的重要意义特别是它极有可能用于保密 通信与军事目的受到重视。神经网络电路、分形编码、混沌测 量电路等为非线性电路大家庭增加了许多新成员。到现在，人 们提出了许许多多的混沌电路，各种混沌电路文献浩如烟海， 几乎每年约数千篇的论文问世，技术上也不断出现新突破。非 线性电路目前处于稳定、健康、迅速发展的时期。
§1混沌电路综述
一、电路中混沌现象发现与研究的历史
电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经 提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混沌现象。实际上，范 德坡所处的时代正是建立电路理论基础的时代，当时的科学家 急需建立振幅稳定与频率稳定的振荡电路，从而产生稳定的电 磁波。稳定振荡的数学模型是极限环，当时的理论基础还不能 够完全满足工程技术的需要，必须由电子工程师一方面进行工 程技术设计，一方面完善数学基础理论。极限环的数学基础理 论是微分方程理论，而且还是非线性的微分方程理论，而非线 性的微分方程很容易产生混沌，范德坡、李纳德等科学家就是 在这样的情况进行研究的。
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混沌
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亚超混沌
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超混沌
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噪声
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由上表可以看出 1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态 相同。 2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的 n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线 性电路永远不能产生混沌。
零阶自治电路 线性 平衡点 周期极限环 √ 非线性 √ 一阶自治电路 零阶非自治电路 线性 √ 非线性 √ √ 二阶自治电路 一阶非自治电路 线性 √ √ 非线性 √ √ 三阶自治电路 二阶非自治电路 线性 √ √ 非线性 √ √ 三阶及三阶以上自治与非自 治电路 线性 √ √ 非线性 √ √
拟周期极限环
由于当时混沌问题的研究历史不成熟，就把电路中出现的混 沌现象认为是一种尚未认真研究的另一种现象，是一种需要消 除的坏现象，起码是要暂时回避的现象，这就是当时科学家的 态度。这个现象不仅在电子学领域中存在，而且在其它学科领 域中也存在，例如数学学科中的庞加莱。从这里可以看出，电 子学的发展历史与其它学科的发展历史是密切相关的，是互相 推动与互相制约的，这也正是20世纪上半叶电子科学技术的大 背景，是电子学从物理学的电磁学中独立出来并向信息科学发 展的大背景。从这里还可以看出，电子学中的混沌现象研究与 应用研究必定会蓬勃发展起来，这是历史的必然。 再回过头来看频率稳定性问题的研究。由于历史时代要求频 率的稳定，它与当时的其它技术的共同发展，处于主流地位，使 得线性电子技术以巨大的势头形成人类社会的重要产业，并将人 类文明推向信息化历史时代。相对说来，非线性电子学在相当长 的时期内处于缓慢发展的时期。“十年不鸣，一鸣惊人”，1983 年蔡少棠提出的蔡氏混沌电路震惊了电子学界，许多电子工作者 投入了精力予以研究。
4、三阶微分电路—含有三个储能元件的电路
三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电 路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电 路，还能产生超混沌与亚超混沌。 5、三阶以上微分电路 运动特性更复杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整 理于下表。
表4-1 电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态