2010高三数学高考《立体几何初步》专题学案：棱柱 棱锥

第10课时 棱柱 棱锥

一、棱柱

1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．

2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．

3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：

棱柱 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⎪

⎩⎪

⎨⎧

4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体． 5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ． 二、棱锥

1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ． 2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．

3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥． 4．正棱锥的性质：

① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；

② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．

例1．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2， 点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点. ⑴ 证明：EF 为BD 1与CC 1的公垂线；

A B

C

D

A 1 C 1

D 1

B 1

E F

⑵ 求点F 到面BDE 的距离. 答案(1)略； (2)

3

3 变式训练1：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，

BC 、AC 、AA 1长均为a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上． ⑴ 求AB 与侧面AC 1所成的角；

⑵ 若O 点恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积． 答案(1) 45°；(2)

2)732(2

1

a ++ 例2. 如图，正三棱锥P —ABC 中，侧棱PA 与底面ABC 成60°角． （1）求侧PAB 与底面ABC 成角大小； （2）若E 为PC 中点，求AE 与BC 所成的角； （3）设AB ＝32，求P 到面ABC 的距离． 解：(1)32arctan ；

(2)取PB 中点F ，连结EF ，则∠AEF 为所求的角，求得∠AEF ＝20

30

arccos ； (3)P 到平面ABC 的距离为32．

变式训练2： 四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC

CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成的角； （3）求点E 到平面ACD 的距离．

答案：(1)易证AO ⊥BD ，AO ⊥OC ，∴AO ⊥平面BCD ； (2)42arccos

；(3)用等体积法或向量法可求得点E 到平面ACD 的距离是7

21． 例3. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1，∠DAB ＝45°；侧面

PAD 是等腰直角三角形，AP ＝PD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ．

⑴ 求证：PA ⊥BD ； ⑵ 求PB 与底面ABCD 所成角的正切值； ⑶ 求直线PD 与BC 所成的角． 答案：(1)略；(2)

5

5

；(3)60°

变式训练3：在所有棱长均为a 的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 的中点．

⑴ 求证：AD ⊥BC 1； ⑵ 求二面角A －BC 1－D 的大小；

P

A

C

B

E

A

B

C P

D

A

A 1

C 1

B 1

C

O

A

C

D B C 1

B 1

A

⑶ 求点C 到平面ABC 1的距离．

提示：(1)证AD ⊥平面BB 1C 1C ；(2) arc tan 6；(3)

7

21

a ． 例4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CC 1＝1，M 为AB 的中点，A 1D ＝3DB 1．

（1）求证：平面CMD ⊥平面ABB 1A 1； （2）求点A 1到平面CMD 的距离； （3）求MD 与B 1C 1所成角的大小． 提示(1)转证CM ⊥平面A 1B ；

(2)过A 1作A 1E ⊥DM ，易知A 1E ⊥平面CMD ，∴求得A 1E ＝1； (3)异面直线MD 与B 1C 1所成的角为6

2arccos

变式训练4：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，AB ＝2，O 为对角线A 1C 的中点． ⑴ 求OD 与底面ABCD 所成的角的大小；

⑵ P 为AB 上一动点，当P 在何处时，平面POD ⊥平面A 1CD ？并证明你的结论．

当P 为AB 的中点时，平面POD ⊥平面A 1CD ．

柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点． 1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延． 2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．

3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．

A 1

B 1

C 1 C M

D

B