第一节 映射与函数课件

函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
1. 函数的概念 定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y = f (x) , x D ,
其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，
记作Df ，即 Df ＝D．函数值f (x) 的全体所构成的集合称
Y 的子集 R f f ( X ) f ( x ) x X 称为 f 的值域 .
注意 (1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. (2) 元素 x 的像 y 唯一, 但 y 的原像不一定唯一.
第一节 映射与函数
例1 设 f : RR，对每个 x R，f (x) = x2 .
f 定义域 Df = R， 值域 Rf = { y| y 0 }， 除y = 0外，它的原像不是唯一的．
4y
像
f (x) = x2
原像
-2
O
原像
2
x
第一节 映射与函数
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．
Xf Y
第满一射节 映射与函数
上面的例2 设 X是=满{(射x ．, y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x|
第一节 映射与函数
（2）若
有
则称 f 为单射.
Xf Y
第一节单射映射与函数
上面的例3
设
f是: 单 射π2 ,．π2
[1
,
1]
,
第一节 映射与函数 （3）若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
第一节 映射与函数
一、映射 二、函数
第一节 映射与函数
一、映射
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
第一节 映射与函数
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f ( x ) . 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映 射 f 的定义域 ;
解
-4 -3
定义域 D = (-，+)，
-2
-1 O 1
-1
2
3
4x
-2
值域 Rf = Z，
X
f 称为X 上的变换
X (实数集或子集 ) f R实数集
f 称为定义在 X 上的函数
第一节 映射与函数
2. 逆映射与复合映射
（1）定义 设 f 是 X 到 Y 的单射，
现在定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g，即
g :Rf X ,
对每个 y Rf , 规定 g(y) = x , 其中 x 满足 f(x) = y . 则称
例例55
求函数 求函数
y y2 2
y y2
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域第D一= 节(-映，射+与)，函数 例6 值求域函数 Rf = { 2 }，
O
y y
x
y图|形x |如y 图|xx所,x|,示xx．x0,x0,, x
0, x0
y2
y | x |
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域 D = (-，+)，
第一节 映射与函数 (2) 函数的表示法 函数表示法有三种：表格法、图形法和解析法．
用图形法表示函数， 即平面上的点集。
C = { P(x , y) | y = f (x) , x D }
y
称为函数y = f (x) , x D 的图形． y (x, y) y = f (x) Rf
x

x
D
第一节 映射与函数 第一节 映射与函数
Xf Y
第一双节射 映射与函数
上面的例3
设
f是: 双 射π2 ,．π2
[1
,
1]
,
定义域 D π , π ,
值域 R = [ -1 , 1 ] ．
第一节 映射与函数
说明
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
名称. 例如, X (≠ )
f Y (数集)
f 称为X 上的泛函
f
X (≠ )
O O
x x
值域
y
第一节 映射与函数
例7 求函数
1, x 0,
y
sgn
x
0,
x 0,
1, x 0 y
的定义域和值域并画图 ．
解 定义域 D = (-，+)，
值域 Rf = { -1, 0, 1 }， 1
yy ssggnn xx
图形如图所示．
O
x
-1
第一节 映射与函数
3
2
例8 求函数 y = [x] 的定义域和y 值[x域] 并1 画图 ．
的复合映射，记作 f g , 即
f g : X Z , ( f g ) (x ) f [g (x )] , x X .
X
Y1 Y2
Z
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的。 f g 有意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都 有意义，但不一定表示同一映射．