函数及其图象相关定理

k＞0, b＞0图像过一、二、三象限。
限。
③y④y
x
x
k＞0, b＜0图像过一、三、四象限。
四象限。
⑤y
⑥y
k＞0, b=0图像过一、三象 k＜0, b＞0图像过一、二、
xx
k＜0, b=0图像过二、四象限。
k＜0, b＜0图像过二、三、
四象限。
13. 自变量的取值范围：
1 自变量所在的式子为整式时，自变量取全体实数。
⑤△=0, a＜0,b＞0,c＜0。y=ax+bx+c＞0无实数解;y=ax+bx+c＜0x≠ 的实数。
③△＜0，a＞0,b＜0,c＞0。y=ax+bx+c＞0全体实数; y=ax+bx+c＜0 无实数解。
⑥△＜0，a＜0,b＞0,c＜0。y=ax+bx+c＞0无实数解;y=ax+bx+c＜0 全体实数。
2 抛物线的顶点是（1,3）,且抛物线通过点（2,1）,求解析式。 3 抛物线通过（－2,0）与（3,0）两点，并且与y轴的交点的纵坐标为
－2，求解析式。 4 一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象相交于点A（1,2）,此
一次函数的图象还经过点B（3,2）。求这两个函数的解析式。 5 已知ｙ＋5与ｘ＋3成正比例，且当ｘ＝1时，y=3。（1）求ｙ与ｘ
的函数关系式；（2）作出此函数的图象。 6 已知抛物线y=ax+bx+c与ｙ轴交于点C，与ｘ轴交于点A（x，
0）,B（x,0）（x＜x,顶点M的纵坐标为－4，若x，x是方程x－2（m －1）x+m－7的两根，且x+x=10. （1）求A、B两点的坐标; （2） 求抛物线的解析式及点C的坐标;（3）在抛物线上是否存在点P，使 三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出 符合条件的点的坐标若不存在，说明理由。 7 已知抛物线y=－x+2x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C，顶点 为P。
减小。 2 k＜0图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而
增大。 3 反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称。 15. 二次函数y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的性质，设抛物线
与x轴的交点为A（x,0）、B（x,0）;与y轴的交点C（0,c）有： 1 a＞0抛物线的开口方向向上。 2 a＜0抛物线的开口方向向下。 3 ｜a｜越大抛物线的开口越小; ｜a｜越小抛物线的开口越大。 4 c＞0抛物线与y轴的交点在原点的上方。 5 c＜0抛物线与y轴的交点在原点的下方。 6 c=0抛物线过原点。 7 a、b共同确定对称轴的位置的情况：（1）a、b同号，对称轴
（1） 求经过P，C的直线与x轴交点Q的坐标； （2） 求tan∠PQB的值。 8 已知抛物线y= x+5x+k与x轴两个交点间的距离等于3，与y轴交点为 点C。直线y=kx+10与抛物线交A,B两点。求三角形ABC的面积。 9 已知二次函数y=（m+2）x－（2m－1）x+m－3. （1） 求证：无论m取任何实数，此二次函数的图象与x轴都有
2. 每一象限内点的坐标特征：设A（x,y）有 1 第一象限内的点x＞0,y＞0. 2 第二象限内的点x＜0,y＞0. 3 第三象限内的点x＜0, y＜0. 4 第四象限内的点x＞0, y＜0.
3. 设平面上点A（x,y）,点B（x,y）： 1 AB在x轴上或平行于x轴AB=｜x- x｜。 2 AB在y轴上或平行于y轴AB=｜y- y｜。 3 点A到原点的距离OA=。 4 平面上任意两点AB的距离AB=。
（2） 由（1）中若能得出抛物线与x轴有两个交点A,B且与y轴 交于点C,如果△ABC的面积=80，能否求出m的值？
（3） 抛物线顶点为点P，是否存在实数m使△APB为等腰直角 三角形？如果不存在，请说明理由。如果存在，请求 出。
AB x A(B) x x
④y ⑤⑥y y A(B)
ABx xx
①△＞0,a＞0,b＜0,c＜0。y=ax+bx+c＞0x＜x或x＞x; y=ax+bx+c＜0 x＜x＜x.
④△＞0,a＜0,b＞0,c＞0。y=ax+bx+c＞0x＜x＜x; y=ax+bx+c＜0 x＜ x或x＞x.
②△=0, a＞0,b＜0,c＞0。y=ax+bx+c＞0x≠的实数;y=ax+bx+c＜0无 实数解。
2 自变量所在的式子含有分式时，则要求分母不为零。
3 自变量所在的式子含有二根式（偶次方根）时，则要求二次根
式（偶次方根）的被开方数为非负数。
4 自变量所在的式子含有奇次方根时，则奇次方根的被开方数自
变量取全体实数。
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14. 反比例函数的性质：
1 k＞0图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而
△≥0，＞0, f（0）＜0。 7 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值小于负根的绝对值
△≥0，＜0, f（0）＜0。 8 两根都大于ｍ△≥0，＞m, f（ｍ）＞0。 9 两根都小于ｍ△≥0，＜m, f（ｍ）＞0。 10 一根在a、b之间，另一根在c、d之间（a<b<c<d）f (a) ＞0,f (b)
函数及其图象相关定理
1. 一一对应： 1 数轴上的点与实数一一对应。 2 坐标平面上的与有序实数对一一对应。
2．特殊位置的点的坐标特征： 1 横坐标上的点纵坐标为零。 2 纵坐标上的点横坐标为零。 3 平行于x轴的直线上的点纵坐标相等。 4 平行于y轴的直线上的点横坐标相等。 5 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等[设A点的坐标为 （x,y）有x=y]. 6 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数[设A点的 坐标为（x,y）有x= - y].
两个交点。 （2） 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点之间的距
离等于2。 （3） 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点分布在y
轴两侧。 10 已知抛物线y= x－（m+8）x+2 m+12,
（1） 这个抛物线与x轴有几个交点？如果没有交点，请说明理 由；如果有交点，能否判断交点的位置。
在y轴的左边；（2）a、b异号，对称轴在y轴的右边。简记： 同号左，异号右。 8 △＞0抛物线与x轴有两个交点。 9 △=0抛物线与x轴有一个交点。 10 △＜0抛物线与x轴没有交点。 11 二次函数y=ax+bx+c=a（x++的顶点坐标为（,）,对称轴为x=。 12 a＞0有：x＞y随x的增大而增大; x＜y随x的增大而减小。y≥有 最小值。 13 a＜0有：x＞y随x的增大而减小; x＜y随x的增大而增大。Y≤有 最大值。 14 AB=｜x－x｜=。 15 对称轴过最低点或最高点的直线过顶点的直线（平行于y 轴）。 16 顶点横坐标对称轴所在的直线最值顶点纵坐标。 16. 二次函数的三种表示方法： 1 y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)。 2 y=a(x－h)+k(a、h、k是常数，且a≠0)。 3 y=a(x — x)(x －x)(a是常数，且a≠0)。 17. 二次函数y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的图象,设抛物线与x 轴的交点为A（x,0）、B（x,0）,并设x＜x有： ①y②y ③y
4. 对称的点的坐标特征： 1 点P（a,b）关于x轴的对称点的坐标P（a,-b）。即：点P、P关于 x轴对称横坐标相同、纵坐标互为相反数。 2 点P（a,b）关于y轴的对称点的坐标P（-a,b）。即：点P、P关于 x轴对称纵坐标相同、横坐标互为相反数。 3 点P（a,b）关于原点对称的点的坐标P（-a,-b）。即：点P、P关 于原点对称横、纵坐标均互为相反数。
18. 设f（x）= ax+bx+c,一元二次方程ax+bx+c=0.的根的分布（a＞ 0）：
1 一根为零过原点c=0。 2 有一个正根和一个负根f（0）＜0。 3 有一根大于a,一根小于af（a）＜0。 4 有两个正根△≥0，＞0, f（0）＞0。 5 有两个负根△≥0，＜0, f（0）＞0。 6 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值大于负根的绝对值
＜0,f (c) ＜0,f (d) ＞0. 11 两根互为相反数对称轴为x=0b=0。 19. 绝对值不等式的解法： ①｜x｜＞a（a>0）x<－a或x > a，若a<0则x取全体实数。 ②｜x｜< a（a>0）－a<x<a,若a<0则x无解。 20.练习： 1 抛物线通过（1,1）,（－1,3）,（2,）三点，求解析式。
5. 函数：设在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x 的每一个 值，y都有唯一的值与它相对应，则y叫做x的函数。其中x是自变 量。
6. 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。 7. 一次函数一条直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)。 8. 正比例函数直线过原点y=kx(k是常数，k≠0)。
9. 反比例函数双曲线y=(k是常数，k≠0) y=kx(k是常数，k≠0) xy=k(k 是常数，k≠0)
10. 二次函数抛物线y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)。 11. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的性质：
1 一次函数与y轴的交点为（0，b）,与x轴的交点为（-,0）。 2 k＞0时y随x的增大而增大，减小而减小。从左到右在上坡。 3 k＜0时y随x的增大而减小，减小而增大。从左到右在下坡。 4 b＞0时直线与y轴的交点在原点的上方。 5 b＜0时直线与y轴的交点在原点的下方。 6 b=0时直线经过原点。 7 直线m∥nk=k 8 直线m、n交于x轴上同一点（,0） 12. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图像： ①y②y xx