2020年顺义二模高三数学试题(数学)

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顺义区2020届高三第二次统练

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}32A x x =-<<，{}3,2,0=--B ，那么A B =

（A ）{}2-

（B ）{}0

（C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2-

（2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限

（B ）第二象限

（C ）第三象限

（D ）第四象限

（3）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是

（A ）2y x =- （B ）2y x =- （C ）cos y x =

（D ）12

x

y =（）

（4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为

（A ）4 （B ）2 （C ）1

（D ）

12

（5）若角α的终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为

（A （B （C ） （D ）

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（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （A ）6

（B ）8

（C ）12

（D ）24

（7）若α为任意角，则满足cos()cos 4

π

+⋅=k αα的一个k 值为

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）8

（8）已知,,a b c ∈R ，在下列条件中，使得a b <成立的一个充分而不必要条件是

（A ）33a b < （B ）22ac bc <

（C ）

11a b

> （D ）22a b <

（9）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=, 314S =,若存

在0n 使得012,n a a a ⋅⋅⋅，，的乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4

（B ）5

（C ）6

（D ）7

（10）已知()f x ＝2

1|1|,0

2,0

x x x x x -+<⎧⎨

-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间[],2m m +上的最大值的取值范围是

（A ）[]1,4

（B ）[]2,4

（C ）[]1,3

（D ）[]1,2

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第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知向量(1,2)a =-，(,1)=b m ，若αb ⊥，则实数m =__________. （12）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________.

（13）若将函数sin 2y x =的图象向左平移

6

π

个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________.

（14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的

所有可能取值是____________.

（15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2

l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给

出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；

②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________.

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选

得0分，其他得3分。

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

已知∆ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，5a b +=，3c =， _________.是否存在以,,a b c 为边的三角形？如果存在，求出∆ABC 的面积；若不存在，说明理由.

从①1

cos 3C =；②1cos 3

C =-；③22sin 3C =这三个条件中任选一个，补充在上面问

题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）

如图一所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，沿BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点. （I ）求证：1BD AC ⊥；

（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.

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在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5) ，[5,6) ，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：

（I ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学

习时间达到5小时以上的学生人数；

（II ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生

中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （III ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为1D ，2D ，试比较1D 与2D 的大

小.（只需写出结论）

（19）（本小题14分）

已知函数2

()e x f x ax =-,a ∈R .

（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；

（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）