传递函数的频域辨识
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
5.1 and 5.2 传递函数的时域辨识 [系统辨识理论及Matlab仿真]
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yt y
同理，可得与被控对象相对应的阶跃相应无量纲形式为
y* (t) 1 T1 et/T1 T2 et/T2
T1 T2
T2 T1
图5 根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定 T1 和 T2
确根定据参上数式T可1和利T用2 ，响一应般曲取线上y*的(t) 两为个0.4数和据0点.8，[t1再y从*(t1曲)] 和线[上t2 定y*(
第5章 传递函数的时域和频域辨识
图1 系统辨识的时域与频域方法
5.1 传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法、脉 冲响应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应 法最为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系 统传递函数进行辨识，阶跃响应曲线即为输入量 作为阶跃变化时，系统输出的变化曲线。
t 2 ln ln
1 y* t1 1 y* t1
t1 ln 1 y* t 2 ln 1 y* t 2
如果选择 y*(t1) 0.39 和 y*(t2) 0.63 这两个固定值，则
2t1 t2
t
)]
2
t
1
出 t 2 和 ，然后可得：
T1 e t1 / T1 T2 et1 / T2 0.4
T1 T2
T1 T2
T1 e t2 / T1 T2 et2 / T2 0.8
T1 T2
T1 T2
将 y*(t)所取两点对应的 t1 响应如图2所示。
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6
y
0.5
0.4
0.3
0.2
频域系统辨识与模型预测控制算法研究
频域系统辨识与模型预测控制算法研究频域系统辨识与模型预测控制（Frequency Domain System Identification and Model Predictive Control, FD-SI-MPC）是一种基于频域分析的系统辨识和控制方法。
其主要目的是通过建立系统的数学模型，来实现对系统的辨识和控制，以提高系统的稳定性和性能。
频域辨识算法是一种通过对系统的频率响应进行分析和建模来确定系统动态特性的方法。
利用频率域上的幅频特性和相频特性，可以得到系统的传递函数或状态空间模型，从而实现对系统的辨识。
常用的频域辨识方法包括频率响应函数法、脉冲响应法、频域广义倒数法等。
这些方法可根据系统模型的复杂程度和所需的精度来选择。
模型预测控制算法则是一种基于数学模型预测的控制方法。
通过对系统模型的预测，可以对未来的系统行为进行预测，并根据预测结果进行控制决策。
模型预测控制算法通常包括模型建立、预测、优化和控制等几个主要步骤。
其中，模型建立是基于频域系统辨识结果来构建系统的数学模型，预测是利用模型对未来系统的状态和输出进行预测，优化则是根据预测结果和控制目标来求解最优控制策略，控制是基于最优控制策略对系统进行实时调节。
频域系统辨识与模型预测控制算法在实际应用中具有广泛的适用性和优势。
首先，它能够对复杂非线性系统进行辨识和控制，适用于各种工程领域。
其次，通过频率域分析，可以对系统的振动、共振和相位特性进行准确描述，提高系统的稳定性和抗干扰能力。
此外，模型预测控制算法可以灵活地调整控制策略，适应系统动态特性的变化和控制目标的变化，具有较好的鲁棒性和适应性。
然而，频域系统辨识与模型预测控制算法也存在一些挑战和局限性。
首先，算法的设计和参数选择需要一定的专业知识和经验，对操作人员要求较高。
其次，频域辨识和模型预测算法在处理非线性、时变和多输入多输出系统时可能面临困难，需要进一步的研究和改进。
为了克服这些挑战，未来的研究方向可以包括以下几个方面：一是改进频域系统辨识算法，提高辨识结果的准确性和稳定性；二是研究高效的模型预测控制优化算法，提高控制效果和系统的性能；三是将频域辨识和模型预测控制算法结合起来，实现更加精确和鲁棒的系统辨识和控制。
频域响应系统辨识方法研究及其工程应用
频域响应系统辨识方法研究及其工程应用概述：频域响应系统辨识是一种用于确定系统输入和输出信号之间传递函数关系的方法。
该方法通过分析系统在频域上的特性，从而揭示系统的动态响应和特征。
本文将探讨频域响应系统辨识的基本原理和常用方法，并介绍其在工程实践中的应用。
一、频域响应系统辨识的原理频域响应系统辨识是基于信号在频域上的分析和特征提取原理。
该方法假设系统是线性时不变的，通过测量系统输入与输出信号的频谱，推导出系统的传递函数或频率响应。
1.1 频域分析频域分析是将信号从时域变换到频域的过程，通过傅里叶变换或快速傅里叶变换等方法，可以得到信号的频谱信息，包括频率、幅值、相位等。
1.2 线性时不变系统假设频域响应系统辨识方法假设系统是线性时不变的，即系统的性质随时间不变，且具有线性的响应特性。
这种假设在许多实际应用中是成立的，例如电路分析、控制系统设计等。
1.3 传递函数推导通过分析系统输入与输出信号的频谱，可以确定系统的传递函数。
传递函数描述了系统对输入信号的响应特性，在频域上表示为输入信号与输出信号的比值。
传递函数可以表示为有理多项式的形式，其中包含了系统的振荡频率、阻尼比、增益等参数。
二、频域响应系统辨识的方法频域响应系统辨识方法主要包括频域特征法、频域曲线法和频域递推法。
2.1 频域特征法频域特征法是通过提取系统频域上的特征参数来进行辨识的方法。
常用的特征参数有共振频率、阻尼比、谐振幅值等。
该方法适用于辨识具有已知结构和特性的系统，例如机械振动系统、电子滤波器等。
2.2 频域曲线法频域曲线法是通过测量输入与输出信号的振幅与相位频率特性曲线来进行辨识的方法。
常用的曲线有幅频特性曲线、相频特性曲线等。
该方法适用于辨识具有复杂结构和特性的系统，例如多输入多输出系统、非线性系统等。
2.3 频域递推法频域递推法是通过递推计算系统的传递函数来进行辨识的方法。
该方法使用信号处理技术和数学优化方法，以求得最优的传递函数模型。
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
系统辨识总结
一. 传递函数辨识的时域法:1.()1sKe G s Ts τ-=+ , 在S 型曲线的速率变化最快处做一切线, 分别与时间轴t 及阶跃响应渐近线()y ∞相交于(0,)τ和0(,())t y ∞ (1) ()()11y y y K u u e ∞∞-===- (2) 0T t τ=- 或: 2121121212ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)t t t y t y T y y y y τ----==------2. 1212(),()(1)(1)sKe G s T T T s T s τ-=>++()(0)y y K u∞-=τ可以根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段到开始变化的时刻来确定.12121221*()1ttT T T T y t e e T T T T --=---- 取两个点的数据[][]0.4,*(0.4),0.8,*(0.8)y y12212121212()/2.16/() 1.74/0.55T T t t TT T T t t +≈+⎧⎨+≈-⎩ 二. 线性系统的开环传递函数辨识设开环输入信号为:()sin()d m y t A t ω= 输出:[]cos ()sin()sin cos sin f f f A y t A t t t A ϕωϕωωϕ⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦在时间域上取: 0,,2,,t h h nh = [](0),(),,()T Y yy h y n h= sin(0)sin()sin()cos(0)cos()cos()T h nh h nh ωωωψωωω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12cos sin t t c A c A ϕϕ==根据最小二乘原理: 11221ˆˆarctan ˆˆT Tf c c Y A c c ψψψϕ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤===⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭开环系统相频和幅频为: 21ˆarctan 20lg ˆe m c M cϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭三. 1.根据脉冲响应()g t 求脉冲传递函数1()G z -1112111()(1)(2)()1nk n nn b z b z G z g z g z g k z a z a z--------++==++++++(1)(2)()(2)(3)(1)()(1)(21)g g g n g g g n H g n g n g n ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦ 12(1)(1)(2)(2)(2)()g n g g n g G G g n g n +⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111n n a a H G a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦112212110001001n n n b a b G a a ab --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 四. 相关分析法:一个具有脉冲响应函数为()g t 的系统,如果其输入量是信号()u t 的自相关函数()uu R τ,则其响应就等于输入信号()u t 与相应的输出信号()y t 之间的互相关函数()uy R τ当被辨识系统输入为白噪声(一种均值为0, 谱密度为非零常数的平稳随机过程)时, 只要确定输入与输出信号间的互相关函数, 即可求出被辨识系统的脉冲响应函数()g τ, 因为白噪声的自相关函数是一个δ函数, 即2()()uu R τσδτ= 又: 2()()uy R g τστ= 则:21()()uy g R ττσ=其中0()()()uy uu R g R d τλτλλ∞=-⎰要求: (1)持续激励 (2)最优输入信号M 序列的性质:(1) 一个n 级移位寄存器产生的M 序列周期为长度是: 21nN =-(2) 2211()/(1)xx N a N R a NN ττττ⎧⎛⎫++-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<≤-⎩周期的偶函数M 序列的周期要大于被辨识系统的过渡时间. M 序列辨识过程:()220101()ˆ()()/ˆ(0)2()/()()()Txy xy N xy i N a S a C g d N N g i R i C S g R i C S a R sign x i y i N∆σσ∆∆∆τ∆∆τ-=+==⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦≅+⎡⎤⎣⎦⎰∑五. 极大释然估计流程:1111ˆˆˆˆN N N N N N r K θθθε++++=+=+1(1)1(1)(1)N f N T f N fP h N K h N P h N ++=+++1(1)(1)1(1)(1)T N f f N N NT f N f P h N h N P P P h N P h N +++=-+++1ˆˆ(1)(1)T N N y N h N εθ+=+-+六. 最小二乘:11()()()()n ni i i i z k a y k i b u k i v k ===--+-+∑∑定义: []()(1),(2),,(),(1),(2),,()h k y k y k y k n u k u k u k n =---------[]1212,,,,,,,Tn n a a a b b b θ= 则: ()()()z k h k v k θ=+ 1. 一般最小二乘:令: (1)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)()()(1)()(1)()m m z h y y n u u n z h y y n u u n Z H z m h m y m y m n u m u m n ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦()1ˆT T m m m m H H H Z θ-= ˆθθθ=- ()0E θ= (无偏估计)均方误差: ()()()11T T T T m mm m m m E H H H RH H H θθ--=例:1210104z r Z H R z r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1121ˆ2T T H H H Z z z θ-==+ ()()()1154T T T T r E H H H RH H Hθθ--==2. 加权最小二乘:[](1),(2),,()m W w w w m = ()1ˆT T m m mm m m H W H H W Z θ-= ˆθθθ=- ()0E θ= (无偏估计)均方误差: ()()()11T T T Tm m mm m m m m m m E H W H H W RW H H W H θθ--=如果 1m W R -= 则: ()111ˆT T m m m m H R H H R Z θ---=例: 用两台仪器对位置标量各测量一次, 量测量分别为12,z z , 仪器的测量误差均值为0, 方差分别为,4r r 的随机量, 求其最小二乘估计, 并计算估计的均方误差.解: 采用加权最小二乘估计, 权阵1m W R -=, 并计算估计的均方误差. 由题意得量测方程: Z H V θ=+()11241ˆ55T T H W H H W Z z z θ-==+ ()()()1145T T T T E H W H H W RW H H W H r θθ--==3. 一般最小二乘参数辨识流程图:七. 模糊系统辨识1. 模糊系统的设计设二维模糊系统()g x 为集合21122[,][,]U R αβαβ=⨯⊂上的一个函数, 其解析形式未知. 假设对任意一个x U ∈, 都能得到()g x , 则可设计一个逼近的模糊系统.步骤: (1)在[,]i i αβ上定义(1,2)i N i =个标准的, 一致的, 完备的模糊集12,,,i Ni i i A A A (2)组建12M N N =⨯条模糊集if then -规则:12i iu R ,如果1x 为11i A 且2x 为22i A , 则y 为12i iB , 其中11221,2,,,1,2,,i N i N ==将模糊集12i iB 的中心12()i iy 选择为: ()121212,i ii iy g e e =(3) ()()12121212121212121212111211()()()()()N N i i i i A A i i N N i i A A i i yx x f x x x μμμμ=====∑∑∑∑2. 万能逼近定理:令()f x 为二维模糊系统, ()g x 为未知函数, 如果()g x 在1122[,][,]U αβαβ=⨯上是连续可微的, 则模糊系统的逼近精度为:1121112max (1,2)i j ji i i j N g g g fh h h e e i x x +∞≤≤-∞∞∂∂-≤+=-=∂∂无穷维范数∞∙定义为()sup ()x Ud x d x ∞∈= j i e 为第j 个模糊集中心点的坐标.3. 仿真实例:(1) 针对一维函数()g x , 设计一个模糊系统()f x , 使之一致的逼近定义在[3,3]U =-上的连续函数()sin g x x =所需精度为0.2ε=, 即sup ()()x Ug x f x ε∈-<由于cos()1g x x∞∞∂==∂,g g fh h x∞∞∂-≤=∂,故取0.2h ≤满足精度要求, 取0.2h =则模糊集的个数为: 131LN n=+= 在[3,3]U =-上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集j A .所设计的模糊系统为: 311311sin()()()()jj Aj j Aj e x f x x μμ===∑∑(2) 针对二维函数()g x , 设计一个模糊系统()f x , 使之一致的逼近定义在[1,1][1,1]U =-⨯-上的连续函数1212()0.520.10.280.06g x x x x x =++- 所需精度为 0.1ε=由于21sup 0.10.060.16x Ug x x ∈∞∂=-=∂,12sup 0.280.060.34x Ug x x ∈∞∂=-=∂取 120.2h h ==有: 0.160.20.340.20.1g f∞-≤⨯+⨯=满足精度要求由于2L =, 此时模糊集的个数为: 111LN n=+=, 即12,x x 分别在[1,1]U =-上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集jA所设计的模糊系统为: ()12121212121111121111111211()()()()()i i i i A A i i i i AA i i g e e x x f x x x μμμμ=====∑∑∑∑八.遗传算法步骤: (1) 确定决策变量, 及各种约束条件,即确定个体的表现型x和问题的解空间(2) 建立优化模型, 即确定出目标函数的类型及数学描述形式或量化方法(3) 确定表示可行解的染色体编码方法, 即确定出个体的基因型x及遗传算法的搜索空间.(4) 确定解码方法, 即确定出由个体基因型x到个体表现型X的对应关系或转换方法.(5) 确定个体适应度的量化评价方法, 即确定出由目标函数值到个体适应度的转换规则(6) 设计遗传算子, 即确定选择运算, 交叉运算, 变异运算等遗传算子的具体操作方法.M G P P(7) 确定遗传算法的有关运行参数, ,,,c m流程图:九. 神经网络:1. BP 神经网络(1) 前向传播:输入: j ij ii x w x =∑ 输出: 2kj j jx wx =∑取()n k y k x =, 则网络输出与理想输出的误差为: ()()()n e k y k y k =- 误差性能指标函数为: 21()2E e k =(2) 反向传播:输出层及隐层的连接权值学习算法为:222()()k j j j j x Ew e k e k x w w ∆ηηη∂∂'=-==∂∂ 1k +时刻的网络权值为: 222(1)()j j j w t w t w ∆+=+ 隐层及输入层连接权值学习算法为: ()n ij ij ijy Ew e k w w ∆ηη∂∂=-=∂∂ 1k +时刻的网络权值为: (1)()ij ij ij w k w k w ∆+=+如果考虑上次权值, 对本次权值变化的影响, 需要加入动量因子α, 此时的权值为:(1)()()(1)ij ij ij ij ij w k w k w w k w k ∆α⎡⎤+=++--⎣⎦, 其中η为学习速率,α为动量因子, ,[0,1]ηα∈2. RBF 神经网络输入向量: 12[,,,]Tn X x x x = 径向基向量: 12[,,,,,]Tj m H h h h h =其中22exp ,1,2,,2jj j X Ch j m b ⎛⎫- ⎪=-= ⎪⎝⎭网络的第j 个节点的中心矢量为: 12[,,,,,]Tj j j ij nj C c c c c = 网络的基宽向量为: 12[,,,]Tm B b b b = 网络的权向量为: 12[,,,,,]j m W w w w w =k 时刻网络的输出为: 1()mm i i i y k wh w h ===∑设理想输出为()y k , 则性能指标函数为: []21()()()2m E k y k y k =- 根据梯度下降法, 输出权,节点中心及节点基宽参数的迭代算法如下:[]()()j m j w y k y k h ∆η=-()(1)(1)(2)j j j j j w k w k w w k w k ∆α⎡⎤=-++---⎣⎦ 其中η为学习速率,α为动量因子.。
3.1传递函数的时域辨识
3.2 线性系统开环传递函数的辨识
1 基本原理 可通过Bode图拟合来辨识开环传递函数，开环传递函数测试框图如图1 所示。
图1 电机开环传递函数测试框图
1
14
设开环系统输入指令信号为：
其中 、 分别为输入信号的幅度和角速度。 d m 假设开环系统是线性的，则其位置输出可表示为：
Am
y t A sin(t )
10
图2 实际测试与拟合传递函数的Bode图比较
1
23
0.3
Mag.(dB.)
0.2 0.1 0 -0.1 1.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
Phase(Deg.)
1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
图3 频率特性拟合误差曲线
仿真结果如图2至4。可见，该算法能非常精确地求出开环传递函数的幅频
和相频,从而可以精确地实现开环传递函数的辨识。
1
22
0
Mag.(dB.)
-10 -20 -30 -40 0 10 -100
1 2
10 rad./s
10
Phase(Deg.)
-120 -140 -160 -180 0 10
1 2
10 rad./s
这两个固定值，那
2
么 T 和 可化为
2t1 t2
T ， 2(t
t1 )
。显然这时
的计算非常简单。
对于所计算的 T 和 ，还可在
t3 y (t3 ) 0
t4 0.8T
t5 2T
y(t4 ) 0.55
y (t5 ) 0.87
系统辨识原理及其应用(第二章)
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
传递函数与频域分析
第一章 传递函数与频域分析2.1 传递函数的概念我们将系统输出量对于系统输入量的微分方程在零初始条件下取拉普拉斯变换，变换后的输出量的象函数与输入量的象函数之比定义为传递函数。
这里的零初始条件是指输入量和输出量的初始值及其高阶以下（含次高阶）各阶导数的初始值都为零（任彦硕，2007）。
拉普拉斯变换是指对定义在时域区间[0，∞）上的时间函数)(t f 完成如下的积分变换：⎰∞-=0)()(dt e t f s F st （2.1）式（2.1）中，st e -是拉普拉斯变换因子，又称收敛因子；s 是复数，ωσi s +=。
式（2.1）完成了将时域函数)(t f 转化成复频域函数)(s F 的积分变换，为下文的频域分析奠定了基础。
为了方便应用，将拉普拉斯变换的基本性质和常用拉普拉斯变换用表格的形式列了出来。
表2.1 拉普拉斯变换的基本性质表2.2 常用拉普拉斯变换2.2 系统频域分析2.2.1 系统的稳定性系统在工作过程中，不可避免的受到来自外界或内部的干扰，使得系统偏离平衡位置。
如果干扰消除后，系统能够逐渐的恢复到原来的平衡位置，则系统是稳定的；反之，系统在扰动消除后随着时间的增加而越来越偏离平衡位置，则系统是不稳定的；若系统在扰动消除后以平衡位置为中心点做震荡运动，则系统为临界稳定。
系统的输入信号也可以看做是某种扰动，则有系统在输入信号撤销后，系统能够逐渐的恢复到原来的平衡位置，则系统是稳定的；反之，系统在输入信号撤销后随着时间的增加而越来越偏离平衡位置，则系统是不稳定的。
线性系统是否稳定，取决于系统的内部构成与参数，与外部条件无关。
造成系统不稳定的原因主要有三方面：系统中存在相位滞后环节，如惯性、延迟环节等；系统存在反馈作用；系统的参数选择不合适。
由于传递函数完全代表了系统的微分方程，因此可以从它的零极点来分析系统响应。
特别是系统的极点直接影响了系统响应。
设系统有n 个极点)3,2,1(n i p s i i == （2.2）由表2.2 可知每一个极点都在时域范围内对应着一个形式如下的分量t p i i i e C t y =)( （2.3）i C 是由系统所决定的常数。
传递函数的频域辨识.ppt
,n
再求平均值得 ，
1 n
1
2
L
n
即可作为系统的纯延迟。
图1 对数频率特性曲线
例 设一个系统的实验频率响应曲线如图2所示，试确定系统 的传递函数。
• 图2 被测试系统的对数相频特性曲线
（1）根据近似对数幅频曲线低频下的斜率
为 20dB/dec. ，则由表1可知被测对象包含一
个积分环节 sn n 1 。
0.010.1
j
1
0.01 10
j
2
0.01 10
j
1
则被测系统的比例环节可近似为 K=10。通过
以上分析，可得实际模型的传递函数为
Gs
10s 1
s
10s
1
s 10
2
s 10
1
上式只是根据幅频特性得出的传递函数，因此
只是试探性的，根据该传递函数，可得到相应的 相频特性曲线，如图2所示，由该图可见， 渐进曲 线与实验所得的实际相频曲线不符，在 ω=1时， 实验曲线与 G 之差约-5度 ，而在ω=10 时，实验 曲线与 G 之差约-60度 ，这说明实际传递函数包
T3is 1
l i 1
T42i s2 2T4i2is 1
其中 T1i 和 T3i是一阶微分环节和惯性环节的时间常数， 1i 和 2i 是二阶微分环节和振荡环节的阻尼比， T2i 和T4i 是二阶微分环节和振荡环节的时间常数。
通过实验测定系统的频率响应之后，就 可以利用表1 中各种基本环节频率特性的渐 进特性，获得相应的基本环节特性，从而 得到传递函数。具体方法是用一些斜率为 0， 20dB/dec，. 40dB/de…c. …的直线来逼 近幅频特性，并设法找到频率拐点，就可 以求式 的传递函数。
常用的频域稳定判据
常用的频域稳定判据
频域稳定判据是用来判断线性时不变系统在频域中是否稳定的方法。
常用的频域稳定判据有以下几种：
1. Nyquist判据：对于开环传递函数G(s)，判断闭环系统是否稳定的方法是通过绘制Nyquist曲线。
当Nyquist曲线不经过点(-1,0)时，系统稳定；当Nyquist曲线经过点(-1,0)时，系统不稳定。
2. Bode判据：对于开环传递函数G(s)，通过绘制Bode图来判断系统稳定性。
Bode图是将传递函数G(s)的振幅与相位分别绘制在对数频率和对数振幅的坐标系上。
在Bode图中，当相位曲线超过-180°时，系统不稳定。
3. Nyquist稳定判据：对于开环传递函数G(s)，通过计算开环传递函数G(s)的极点和零点，可以使用Nyquist稳定判据来判断系统稳定性。
Nyquist稳定判据是通过计算开环传递函数的闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数来判断系统稳定性。
若闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数等于开环传递函数G(s)的极点个数减去零点个数，则系统稳定。
4. Routh-Hurwitz判据：对于开环传递函数G(s)，通过构造Routh-Hurwitz矩阵来判断系统稳定性。
Routh-Hurwitz矩阵是由开环传递函数的特征多项式构成的矩阵，通过判断所有主元的符号是否为正来确定系统的稳定性。
若所有主元的符号都为正，则系统稳定。
这些是常用的频域稳定判据，可以根据具体情况选择适合的方法来判断系统稳定性。
传递函数与频域描述
b1
d n1 dt n1
u(t)
定义
bn
1
d dt
u(t
)
bnu
(t
)
(2.6)
x1(t) y(t) 0u(t)
x2 (t)
d dt
y(t)
0
d dt
(t)
1u(t)
d dt
x1(t)
1u(t)
x3 (t )
d2 dt 2
y(t) 0
d2 dt 2
u(t)
1
d dt
u(t)
2u(t)
d dt
因此
d dt
x1(t) x2 (t) x3 (t )
0 0 4
1 0 8
0 x1(t) 0
1 6
x2 x3
(t) (t )
2
5
u(t
)
x1(t)
y(t) [1
0
0]
x2
(t
)
[0]u(t
)
x3(t)
❖
例2.3 将下面的系统转换成标准
状态空间形式。(注意到该系统方程右边
1
沿矩阵的第一行展开
a3 a2 a1
det( A I ) (2 a1 a2 ) a3 3 a12 a2 a3 0
❖
这 里 的 det(A-λI) 称 为 特 征 方 程 。
可以看出,状态矩阵的特征值与特征方程
的根相同。
❖
方程（2.4）的每一个方程中只含
有一个导数项,称之为标准形式。然而对
2.1
❖ 2.1.1
❖ 连续动态系统状态空间的一般形式可
以写成 d X (t) AX (t) F ( X ,t) G(t)
频域方法在系统辨识与参数估计中的应用研究
频域方法在系统辨识与参数估计中的应用研究频域方法是系统辨识与参数估计中的一种重要技术，它通过分析系统的频率响应以及信号的频谱特征来进行系统模型的辨识与参数估计。
频域方法在许多领域都得到了广泛的应用，包括通信系统、控制系统、信号处理等。
在系统辨识中，频域方法可以用来确定系统的传递函数、频率响应以及系统的稳定性等。
通过对输入和输出信号的频谱进行分析，可以获取系统的频率特性信息，从而建立系统的数学模型。
其中一个经典的频域方法是频率响应辨识方法，通过输入输出的频谱数据，可以利用傅里叶变换等数学工具来计算得到系统的传递函数。
这种方法具有计算简单、较少受噪声等优点，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
频域方法在参数估计中也起到了重要的作用。
参数估计是对系统中的未知参数进行估计的过程，对于系统辨识和自适应控制等应用有着重要的意义。
频域方法可以通过对输入输出信号的频谱进行分析，从而通过最小二乘法等数学工具来估计系统的参数。
例如，最小二乘法可以通过最小化实际输出信号和模型输出信号之间的误差来估计系统的参数。
频域方法的一个优点是能够在小样本情况下进行参数估计，对于系统参数的精确估计有着很好的效果。
此外，在控制系统中，频域方法也有着重要的应用。
例如，基于频域方法的系统辨识可以用于建立准确的系统模型，从而设计出更加稳定、高性能的控制系统。
频域方法还可以用于判断控制系统的稳定性和鲁棒性等性能指标。
通过对系统频率响应的分析，可以判断系统是否满足稳定性要求，从而调整控制器的参数，提高系统的控制性能。
此外，频域方法还可以用于对系统故障进行诊断与监测。
总的来说，频域方法在系统辨识与参数估计中具有重要的应用价值。
通过对系统频率响应和信号频谱特征的分析，可以建立系统的数学模型，并对系统参数进行估计。
频域方法具有计算简单、鲁棒性强的优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
然而，频域方法也存在一些局限性，例如在非线性系统辨识和参数估计中的应用相对困难。
传递函数的时域辨识.ppt
在控制系统研究中经常会遇到这样的问题，即用户没有办 法从物理上得出所研究系统的数学模型，但可以通过适当的实 验手段测试出系统的某种响应信息，如可以通过频率响应测试 仪来测试出系统的频率响应数据，或通过数据采集系统来测试 出系统时间响应的输入与输出数据，有了系统的某种响应数据 ，就可以根据它来获得系统的数学模型，这种获得系统模型的 过程称为系统辨识。
第5章 传递函数的时域和频域辨识
时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信 号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。频域是描述信号 在频率方面特性时用到的一种坐标系。频域法和时域法在线性 系统理论和控制理论许多重要问题上是互相补充的。上世纪六 十年代以前，频域法在系统辨识理论和实践中占据统治地位。 从上世纪六十年代末以来，时域法地位逐渐提高。如图5-1所示 为系统辨识的时域与频域方法比较。
T1 T2
T1 T2
T1 e t2 / T1 T2 et2 / T2 0.8
T1 T2
T1 T2
将 y*(t)所取两点对应的 t1 、t 2 代入上式可得所需的T1 、T2 。
为求解方便，上式可以近似表示为：
TT11T2
T2 (T1
(t2 t1) T2 )2
2.16 1.74t1
T1 T2
T2 T1
图5 根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定 T1 和 T2
确根定据参上数式T可1和利T用2 ，响一应般曲取线上y*的(t) 两为个0.4数和据0点.8，[t1再y从*(t1曲)] 和线[上t2 定y*(
t
)]
2
t
1
出 t 2 和 ，然后可得：
T1 e t1 / T1 T2 et1 / T2 0.4
频域分析法--传递函数
F ( s)
0
f (t ) e st dt
F ( s ) ℒ f (t ) 函数 f (t ) 的拉普拉斯变换 F ( s)
f (t ) = ℒ1 F (s)
f (t ) 为 F ( s ) 的拉氏逆变换
性质和实例：
(n) n n 1 n 2 ( n 1) f ( t ) s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) 1. ℒ
y(t )
2y 2 y e it / m y
it
复频反应函数， 简称频响函数
2 k 0 m
n n 0 n n
c
n
H ( n ) e
int
1 H ( n ) (0 2 ) 20ni
n
y (t )
n n
傅氏展开的指数形式
int int e e cos nt e i cos i sin 2 int int e e e i cos i sin sin nt 2i a0 P (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 a0 an int bn int int P (t ) [ (e e )i (e e int )] 2 2 2 n 1 a0 1 1 int [ ( an ibn )e ( an ibn )e int ] 2 2 n 1 2 1 1 TP cn ( an ibn ) P (t )(cos nt i sin nt ) dt 0 2 TP 1 TP int P ( t ) e dt TP 0 1 1 TP int cn ( an ibn ) P ( t ) e dt 0 2 TP
基于偏置继电反馈的一种新的频域辨识方法
Ｎ ｑ ｉｔ ｕｖ ａ ｅ ｉｅ ｔ ｅ ｙａ ｓｎ ｌ ｅａ ｅ ｔ ｈ ｎｔ ａａ ｔｒｖ ｕ ｓｏ ｄ ｌａｅ ｅｔ ｔｄ ｔｒｕ ｈ ｙ ｕｓ ｒｅＣ ｂ ｄ ｎ ｆ ｄ ｂ ｉｇｅ ｒｌｙ ｔｓ．Ｔ ｅｉｉ ａ ｐ ｍｅｅ ａ ｅ ｆｍｏ ｅ ｙ ｓ ｍａｅ ｏ ｇ Ｃ ｎ ｉ ｉ ｉ ｌ ｒ ｌ ｉ ｈ
ｔｄ ａｇ ｒ ｍ． ｅ ｏ ｔ ｌ ｉ ｈ
ＫＥ Ｗ ＯＲ Ｓ：ｒｑｅｃ ｏ ａ ｅｔ ｃｔ ｎ Ｒ ｌ ｄａｋ ｅｓ ｓｕｒ ｔｏ ； ｏｊｇｔ ｇａｉｎ ｍ ｔｏ Ｙ Ｄ Ｆｅｕｎｙｄｍ ｉ ｉ ｎｉ ａｏ ； ｅ ｙｆ ｂｃ ；Ｌａｔｑ ａｅｍｅ ｄ Ｃ ｎｕａ ｒｄｅｔ ｅ ｄ ｎｄ ｆ ｉ ｉ ａ ｅ ｈ ｅ ｈ
ｌ 引言
许多控制方法都是基 于模 型的 ， 如预测 控制 、 Ｓ ｔ 预 ｉｈ ｍ 估控制 、内模控制等 。因此准确 的辨识模 型是十分重 要的 。 模 型辨识 的方 法大致可 以分 为两类 ： 时域辨 识 与频域 辨识 。
与时域辨识方法相 比， 频域辨识有 不易 受噪声影 响 、易于实 现数据压缩等优点 Ｊ 。 现有的一些频域辨识方法 ， 文献 ［ ］一［ ］ 普遍 存在 如 ２ ６，
ｂａ ｅ ｅａ ｅ ｄ ａ ｋ Ｆ ｑ ｅ ｃ ｓ ｏ ｓ ａａ ｉ ｆ ｔｉｅ ｔ ｅ ｈ ｏ ｇ ｉｓ ｄ ｒｌ ｙ ｆｅ ｂ ｃ ． Ｍｕ ｔ ｌ ｏｎ ｓ ｏ ｉｓ ｄ ｒｌｙ ｆｅ ｂ ｃ ． ｒ ｕ ｎ ｙ ｒ ｐ ｎ ｅ ｄ ｔ ｓ ｉ ｄ ｎ ｉ ｄ ｔｒ ｕ ｈ ｂ ａ ｅ ｅ ａ ｅ ｄ ａ ｋ ｅ ｅ ｒ ｓ ｉ ｆ ｌ ｐ ｅ ｐ ｉｔ ｎ ｉ
以下 缺 点 ：
后， 许多改进 的方法相 继提 出 ｌ¨ ＿ 。这 些 法只能 辨识 固 定结构 的低阶模型 ； 用多次继 电反馈测 试 ， 采 ． 辨识时 问过长 ；
5.2 传递函数的频域辨识
• 其中logspace函数为: LOGSPACE Logarithmically spaced vector. • LOGSPACE(X1, X2) generates a row vector of 50 logarithmically equally spaced points between decades 10^X1 and 10^X2.
1 再求平均值得 ， 1 2 n
k 'k k k , k 1, 2, k k
,nБайду номын сангаас
n
即可作为系统的纯延迟。
图1 对数频率特性曲线
例 设一个系统的实验频率响应曲线如图2所示，试确定系统 的传递函数。
• 图2 被测试系统的对数相频特性曲线
（1）根据近似对数幅频曲线低频下的斜率
20dB/dec. ，则由表1可知被测对象包含一 个积分环节 sn n 1 。
为 （2）近似对数幅频曲线有3个转折频率，即
0.1rad/sec,1 rad/sec和10 rad/sec，按转折频率
处的斜率变化和转折频率10rad/sec附近的谐振 峰值来确定传递函数的阻尼比和时间常数。
数的分子和分母的系数向量。
通过A和B可得到传递函数。
• 函数invfreqs()的Matlab解释：
• >> help invfreqs • • INVFREQS Analog filter least squares fit to frequency response
data.
[B,A] = INVFREQS(H,W,nb,na) gives real numerator and denominator coefficients B and A of orders nb and na respectively, where H is the desired complex frequency response of the system at frequency points W, and W contains the frequency values in radians/s. • INVFREQS yields a filter with real coefficients. This means that it