新人教A版必修5高中数学第二章2.2等差数列(一)导学案

§2.2 等差数列(一)

课时目标

1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中

项，并且A ＝a ＋b

2

.

3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d . 4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．

一、选择题

1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．－3 答案 C

2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B

3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 101的值为( )

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52 答案 D

4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a

b

等于( )

A.14

B.12

C.13

D.23 答案C

解析 ⎩⎪⎨

⎪⎧

2x ＝a ＋b ，

2b ＝x ＋2x ，

∴a ＝x

2，b ＝3

2

x .

∴a b ＝1

3

. 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，

则它的首项是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．6 答案 B

解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.

6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2²a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )

A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)

B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)

C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)

D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 答案 D

解析

由⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2²a 4＝12，a 2

＋a 4

＝8，d <0，

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝6，

a 4＝2，

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝8，

d ＝－2，

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)³(－2)，

得a n ＝－2n ＋10. 二、填空题

7．已知a ＝13＋2，b ＝1

3－2

，则a 、b 的等差中项是

________________________________________________________________________．

答案 3

8．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．

答案 a n ＝1

4

n ＋1

解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝5

4

.

∴这个等差数列的前三项依次为54，32，7

4

.

∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)³14＝n

4

＋1.

9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的

公差为d 1和d 2，则d 1

d 2

的值为________．

答案 4

3

解析 n －m ＝3d 1，d 1＝1

3(n －m )．

又n －m ＝4d 2，d 2＝1

4

(n －m )．

∴d 1d 2＝1

3n －

m 14

n －

m ＝43

. 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．

答案 8

3

解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：8

3

三、解答题

11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得

⎩

⎪⎨⎪⎧

a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d

a ＋d ＝40，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

4a ＝26，a 2－d 2

＝40.

解得⎩⎪⎨⎪

⎧ a ＝132

，

d ＝3

2

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝132

，

d ＝－32.

所

以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4

a n －1 (n ≥2)，令

b n ＝1

a n －2

.

(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 ∵a n ＝4－4

a n －1

(n ≥2)，

∴a n ＋1＝4－4

a n

(n ∈N *)．

∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－

4a n

－1

a n －2

＝

a n a n －－

1a n －2

＝a n －2a n －

＝1

2.

∴b n ＋1－b n ＝1

2

，n ∈N *.

∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为1

2

.

(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝1

2

.

∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n

2

.

∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 能力提升

13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．不确定 答案 B

解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，

d ＝40n －1

为整数，且n ≥3.