第四章 级数(答案)教学内容
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
4.3泰勒级数
23
n
其收敛半径为1。
注:本题也可用逐项积分法求解. 思考:如何用逐项求导法求1/(1+z)2在z=0处的 泰勒展式.
例3、 求 (1 z)
的解析分支 e ln(z1) 在z=0的泰勒展式（其中a不
是整数）.
解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶
导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为
f (zk ) g(zk )(k 1,2,3,...)
那么在D内，f(z)=g(z)。
定理的证明
证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析 函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然
F(zk ) 0(k 1,2,...)
设z0是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在z0 连续，可见
证明：在U内任取一点z,以z0为心，在U内作一 个圆C，使z属于其内区域。我们有
f
(z)
1
2i
C
f
(
) z
d
,
由于当 C 时，z z0 q 1
又因为 1
z0
1 2 ... n ...(| |
n0
... n (z z0 )n ...
是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即
0
f (z0 ),n
f (n) (z0 ) (n 0,1,2,...). n!
解析函数幂级数展式的唯一性定理
因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性 定理：
定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数
解析函数的零点
设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且 f (z0 ) 0
那么称z0为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式 是：
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。
2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
第四章 级数(研究生)
收敛圆域为|z|<1.
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(e ( n1) en1 ) 2 (4) (cos in ) z 解: l lim e n n n (e e ) 2 n 0
n
1 R e
( z 1) (5) n2 n 1
n
1 收敛圆域为 | z | . e
当 z z0 时， cn ( z z0 )n cn n
n 0
n 0
故只需讨论形如 cn z 的幂级数.
n n 0
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n 0
2. 幂级数在一点z0 的收敛性
1 . 若 cn z0 n 收敛，则z0的称为 cn z0 n 的收敛点.
(3 4i)n (2) n! n 1
in (3) n 1 n
1 1 1 (1) 原式= i 2 因为 发散 , 所以原级数发散 . n 1 n n 1 n n 1 n
(2)
n 1
(3 4i ) n!
n
Байду номын сангаас
n 1
(3 4 ) n!
n 0
1 1 1 1 解: f ( z ) z b ( a b) ( z a ) a b 1 z a a b za 1 n a b 1 n za (1) a b a b n 0
z2
y
z1
0
x
R
当|z|>R时发散 . 则: (1)称 R为收敛半径; (2)称|z|<R为收敛圆域 . 注意：当|z|=R时, 情况复杂, 有时收敛 ( 绝对收敛 or 条件收敛) , 有时发散 .
第四章 第1节 级数的基本性质(下)
k 1
( 1)n i n n 2
发散
二.复变函数项级数和复变函数序列
定义 设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列 , 其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
1 1 1 2! n1 2
n -1
原级数收敛
结论
a
n 1
(实常数项级数)
1 则原级数收敛
an 若 lim 1 则原级数发散 n a n 1
an 若 lim 1 不能确定 n a n 1
1 1 例如 发散， 2 收敛 n n n 1 n 1
解:要证 lim sn不存在
n
1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n
1 1 1 1 2 3 n
故级数发散.
(实常数项级数)
注：
1 p级数 p n 1 n
0 p 1,
发散 收敛
p 1,
( 1) np n 1
n
p 0, 收敛
y
绝对收敛
o
z0
.
z1
x
发散
（1）先证如果 cn z n在某点z0 ( 0)收敛, 则必在
圆K : z z0 内绝对收敛
设z是圆K内任一点,
要证 | cn z n|收敛,
称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
信号与线性系统分析 (第四版)第四章 级数
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n
f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
信号与线性系统分析
A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1
A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康
n 1
an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声 音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康 扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数 常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。
第四章 级数
第四章 级数 第一节 数项级数本节主要介绍数项级数的收敛性判定，至于求和问题放在下一节。
1． 正项级数的审敛（1）除了敛散性定义和性质外，主要方法有：（i ）比较法，（ii ）比值法和根值法，（iii ）积分判别法：设)(x f 在),1[+∞上非负连续且单调减少，则⎰+∞1)(dx x f 收敛∑∞=⇔1)(n n f 收敛（比如对于级数∑∞=2ln 1n n n ，由于⎰+∞2ln 1dx x x 发散，故∑∞=2ln 1n n n 发散）（iv ）正项级数∑∞=1n na 收敛⇔部分和数列}{n s 有界． （2）几个简单级数的收敛性：-p 级数： ∑∞=11n p n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
1=p 时得调和级数∑∞=11n n，其部分和)0( ln →++=n n n c n s εε。
等比级数∑∞=-11n n aq ，1||<q 时收敛，且为绝对收敛，其和为qa-1，1||≥q 时发散。
级数∑∞=2)(ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
（3）判定正项级数∑na的敛散性的一般步骤：（i ）先看n a lim ，若该极限存在但不等于零或不存在，则级数∑∞=1n na发散；（比如∑∞=++1121n n n ，由于，021121≠→++n n ，故级数发散） （ii ）若0lim =n a ，再用以下方法去判定： 01．判阶法和比较法，判阶法主要是看n a 是关于n 1的几阶无穷小．比如∑=++1311n n n n ，由于113++n n n 是关于n 1的23阶无穷小也即与231n 为同阶无穷小，故级数收敛，再比如∑=++1211n n n n ，由于112++n n n 是关于n 1的1阶无穷小即与n1为同阶无穷小，故级数发散．用比较法就要找一个比较对象∑∞=1n nb，若要说明∑∞=1n na收敛，则设法将n a 放大为n b （即n n b a ≤≤0）并且∑∞=1n nb收敛，那么∑∞=1n na收敛．若要说明∑∞=1n na发散，则设法将n a 缩小为n b （即n n a b ≤≤0）并且∑∞=1n nb发散，那么∑∞=1n n a 发散．或找一个已知其敛散性的正项级数∑∞=1n n b 并且极限nnb a lim能比较方便地求出来，那么就可以判定∑∞=1n na的敛散性．02．用比值法和根值法，特别n a 中出现na n n ,!!,!时．比如∑∞=--1)1(2n n nn，由于121)2(1)1(<→--nn nn，故级数收敛（注：该题不能用比值法，因为n n a a 1lim +不存在）3．通过说明部分和有界也是证明正项级数收敛的有效办法． 例１．判别下列级数的收敛性（1）∑∞=+-1)]11([n p n e （2）)0( )11(1>+-∑∞=a n a n n（3） +++-++-+-222222222 （4）πnn )53sin(1∑∞=+ （5）∑∞=1n pnx ，其中 )2,0(,,3,2,sin 11π∈==-x n x x n n 解（1）由于p n e )11(+-～n e 2，从而知∑∞=+-1)]11([n pn e 与∑∞=11n p n 具有相同的敛散性， 因此当1>p 时，原级数收敛；1≤p 时，原级数发散。
第4章 级数
z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有 理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个 为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别 是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛； 如果
复变函数(4.1.3)--复数项级数
1. 设幂函数()f z a 取ln ()e f z a 的分支，则极限i lim(1)n n nﾮﾮ+=（ ）.（A ）不存在 （B ）1 （C ）cos1sin1i + （D ）e2. 极限2i lim 1n n n n iﾮﾮ+=-（ ）.（A ）12i -+ （B ）12i + （C ）2i + （D ）ﾮ3. 级数i 211e n n n pﾮ=ﾮ的收敛性为（ ）.（A ）通项不趋于0 （B ）通项趋于0，发散 （C ）绝对收敛 （D ）条件收敛4. 级数1i sinn n n ﾮ=ﾮ为（ ）.（A ）通项不趋于0 （B ）条件收敛 （C ）通项趋于0但发散 （D ）绝对收敛5. 级数12sin(i )nn n ﾮ=ﾮ收敛性为（ ）. （A ）绝对收敛 （B ）通项不趋于0 （C ）通项趋于0但发散 （D ）条件收敛参考解答：1. 解 选（C ）. lim ln(1)i lim(1)e n i n n n n nﾮﾮ+ﾮﾮ+=而 2i 11ln(1)ln(1)arctan 2i n n n1+=++故 2i 11lim ln(1)lim ln(1)lim i arctan i 2n n n n n n n n nﾮﾮﾮﾮﾮﾮ+=++=故 i lim(1)e cos1sin1.n i n i nﾮﾮ+==+ lim 0n n z ﾮﾮ=的的的的的的的lim ||0n n z ﾮﾮ=.2. 解 选（A）. 2i 2i limlim 12i.11i i n n n n n n ﾮﾮﾮﾮ++==-+-- 3. 解 选（D ）. 由i2e (i)n n p =，当41n k =+为(0,1,2,),43i k n k ==+L 为i -；42n k =+为1,4(1)n k -=+为1，故此级数可分为两个交错级数：实部为1(1)2k k k ﾮ=-ﾮ；虚部为0(1)21kk k ﾮ=-+ﾮ，均条件收敛.故此级数条件收敛. 的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的. sin ~,n na a a 的的的0的的的的. 4. 解 选（D ）. 由i 111sinish sh ~n n n n ==，故级数绝对收敛. sin n 的的的的sin(i)n 的的的sin(i)n 的e n 的的的的的的的的().n ﾮﾮ5. 解 选（A ）.e e sin()ish i 2n nin n --==，故此级数绝对收敛.。
第四章 泰勒级数
圆周上的性质（是否有定义？解析？）并
不清楚，只知道在大圆内解析。
第二步：将 f 形式展开
f ( z ) cn ( z z0 )
n 0
n
☺ 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆 周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r，
再令 rR，逼近区域K的边界
第二步：将 f 形式展开
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛
第一步：证明幂级数 an ( z z0 ) n 在区域
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛 ☺ 这里用小圆逼近的原因是对于 f 在大
某个邻域展开成 Taylor 级数。
推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的
某个邻域展开成 Taylor 级数。
☺ 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的 范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开 圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点
推论：函数 f 在的Taylor展开式 1 f ( z ) g ( z ) ln(1 z ) 2 （2） （1） (1 z ) 解：用 –z 代替例2中的 z 即得|z|<1时，
f ( z ) (1)
n 1
n 1
nz
n 1
(1) n 1 g ( z) z n 0 n 1
1 2
2
0
f ( z0 re ) d n in re
第四章级数(答案)
.. . .. . ..复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数§ 2 幂级数一些重要的级数1z 1z z 2 z n( z1)1z3z51)nz2n1sin zz()3! 5!(2n 1)!( zcos z1z 2z 4( 1)n z 2n( z )2! 4!2n!z1z 2z n( z)ezn!2!一、选择题 ：1 ． 下列级数中绝对收敛的是[ ]（Ａ）1(1 i )（Ｂ）[ (1)n i ] (Ｃ )i n（Ｄ）( 1)n i nn 1 nnn 1 n2nn 2 ln nn 12n 2 ． 若幂级数c n z n 在 z 12i 处收敛 ，那么该级数在 z2 处的敛散性为[]n 0（ A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（ D ）不能确定1 2i5 2，由 Abel 定理易得3．幂级数( 1)n z n 1 在 | z | 1 内的和函数为[ ]n0 n 1（Ａ） ln(1z)（B ） ln(1z)（ C ） ln1（ D ）ln11 z1 z( 1)n '1z n 1 ( 1)n z n zn 0n 1n 01( 1)nz ( 1)n'z1n 1= z n 1 dzdz ln(1 z)z.. . .. . ..二、填空题 ：1 ． 设 n (1i ) n ，则 lim n 0。
2 n2 ．设幂级数c n z n 的收敛半径为 R ，那么幂级数(2 n 1)c n z n 的收敛半径为 Rn 0n 02 3 ．幂级数n! z n 的收敛半径是e。
n 0 n n4 ．幂级数z n（ p 为正整数 ）的收敛半径是1。
pn 1 n三、解答题 ：1 ．判断下列数列是否收敛 ？如果有极限 ，求出它们的极限 。
（ 1 ） n1 e nn i 2in 1当 n2k 时，( 1) kin,( 1)k2k2k 1由 limlim1 0 知，k2k k2k 1lim n 0n当 n 2k时， ni ( 1)k 11,2k1由 lim ( 1)k 1 1 0 知，k 2k 1lim n 0n（ 2 ）31 2 2n1nn1 2ni (1 n)1 2 n1 ) n 1可得，由 lim32n 3， lim(1n1 2nnelimi n 3n e........2 ．判断下列级数的敛散性。
级数
发散点的集合称为
f
n 0
n
( z)
的发散域.
如果级数
f
n 0
n
( z ) 在 D 内处处收敛，则其和一定是 z 的函
数，记为 S ( z ) ，称为
f
n 0
n
( z ) 在 D 内的和函数. 即对任意的
z D ，有 lim Sn ( z ) S ( z ) f n ( z ) .
1 也收敛, n n 1 2
故原级数收敛.
(1) n 但 为条件收敛, n n 1
所以原级数非绝对收敛.
练习、判别下列级数是绝对收敛,条件收敛,发散
1 i (1 ) n n1 n
发散
(6 5i ) n 8 n 1
n
1
收 敛
1
发 散
例1. 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
1 iπ (1) n (1 )e n ; (2) n n cos in . n π 1 i 1 n 解: (1) 因为 n (1 )e (1 )(cos i sin ), n n n n
第四章 级数
【教学目的与要求】 通过学习，了解序列与级数收敛的定义与判断； 掌握幂级数的概念、收敛半径的求法； 会求解析函数的幂级数展开； 熟练掌握解析函数的罗朗展式求法 【教学重点】
级数敛散性的判断；幂级数收敛半径的求法；
解析函数的幂级数展式；解析函数的罗朗级数展式。 【教学难点】
2
§1 复数项级数
所以 lim n .
n
[证毕]
注: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列 的敛散性.
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求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到
1．把下列各函数展开成 的幂级数，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.）
（2）
收敛半径为
2．求下列各函数在指定点 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
（1）
收敛半径R=2
（Ａ） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设 ，则 0。
2．设幂级数 的收敛半径为 ，那么幂级数 的收敛半径为
3．幂级数 的收敛半径是e。
4．幂级数 （ 为正整数）的收敛半径是1。
三、解答题：
1．判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。
（1）
（2）
2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
（1）
（2）
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
综合练习题
一、选择题
1．若 在 发散，则它必在[ ]
（A） 收敛（B） 发散（C） 收敛（D）以上全不正确
（由Abel定理）
2．设幂级数 和 的收敛半径分别为 ，则 之间的关系是[ ]
（A） （B） （C） （D）
3．级数 的收敛域是[ ]
（A） （B） （C） （D）不存在的
第四章 级数(答案)
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§1复数项级数§2幂级数
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是[ ]
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ) （Ｄ）
2．若幂级数 在 处收敛，那么该级数在 处的敛散性为[ ]
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定
3．幂级数 在 内的和函数为[ ]
二、填空题
1．
2．洛朗级数 的收敛圆环域是
3．设 ，在 收敛而在 发散，则其收敛半径 2，该幂级数在 绝对收敛。
三、解答题
1.求函数 在 的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。
2.求洛朗级数 的收敛圆环，其中
解：由于
级数 ;
另一方面，由于
级数 ，
从而洛朗级数 的收敛圆环为
3．把下列各函数在圆环域 内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的 ：
判断绝对收敛的两种方法：
（1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）
（级数收敛的必要条件）
（2）
（3）
（4）
3．求幂级数 的收敛半径，收敛域及和函数，并计算 之值。。
解：由
4．求幂级数 的和函数，并计算 之值。
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§3泰勒级数
一、选择题
1．设函数 的泰勒展开式为 ，那么幂级数 的收敛半径 [C]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．幂级数 的收敛域为
2．函数 在 的洛朗展开式为
3．函数 在 的洛朗展式为
三、解答题：
1．用洛朗级数展开式将 在 处展开为洛朗级数。
2．把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数：
（1）
（2）
3．若 为正向圆周 ，求积分 的值，设 为
在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开
（1）
R=∞
（2）
R=1
4．把函数 在下面圆环域内展开成洛朗级数：
（1） （2） （3）（1） Nhomakorabea（2）
（3）
（2）
由 知，
收敛半径
（3）
（4）
由
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
§4洛朗级数
一、选择题：
1．若 ，则幂级数 的收敛域为[A]
（A） （B） （C） （D）
2．洛朗级数 的收敛域是[B]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （D）
3．洛朗级数 的收敛域是[C]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
4．设 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 个，则 [C]
(A) (B) (C) (D)
2．函数 在 处的泰勒展开式为[D]
(A) (B)
(C) (D)
3.函数 在 处的泰勒展开式为[B]
（A） （B）
（C） （D）
4．级数 [A]
(A) (B) (C) (D)
5． [B]
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1．函数 在 处的泰勒展开式为
2． 的幂级数展开式为 ，收敛域为