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第四章 级数

本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。

§4.1 复数项级数

1.复数序列

给定一列无穷多个有序的复数

111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，…

称为复数序列，记为}{n z 。

定义 4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有

ε<-||0z z n ，

则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为

0lim z z n

=。

定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式

ΛΛ++++=∑∞=n n n z z z z 211

(4.1.1)

称为复数项级数。

定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列

}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n

以有限复数ib a s +=为极限，即若

s s n n =∞

→lim ，

则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为

s z

n n

=∑∞

=1

；

若部分和

}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n

由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑=1

n n a 和虚部级数∑=1

n n b

都

定义4.1.4：若级数∑=1

n n z 收敛，则称级数∑=1

n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，

称为条件收敛级数。

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定义 4.1.5：设复函数序列{}Λ,2,1),(=n z f n 的各项均在点集C ⊂E 上有定义。若存在一个在E 有定义的函数)(z f ，对E 中每一点z ，复函数项级数

ΛΛ++++=∑∞=)()()()(211

z f z f z f z f n n n

(4.1.2)

均收敛于)(z f ，则称级数(4.1.2)在E 上收敛，其和函数为)(z f ，记为

)()(1

z f z f

n n

=∑∞

=。

此定义用精确的语言叙述就是：任给0>ε，以及给定的E z ∈，存在正整数),(z N N ε=，使当),(z N n ε>时，有

ε<-)()(z S z f n ， 其中∑==n

k k n z f z S 1)()(。

上述的正整数),(z N N ε=，一般地说，不仅依赖于ε，而且依赖于E z ∈。重要的一种情形是N 不依赖于E z ∈，即)(εN N =，这就是一致收敛的概念：

定义4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集E 上有函数)(z f ，使对任意给定的0>ε，存在正整数)(εN N =，当N n >时，对所有的E z ∈，均有

ε<-)()(z S z f n ， 则称级数(4.1.2)在E 上一致收敛于)(z f 。

这样的正项级数∑=1

n n M ，称为复函数项级数∑=1

)(n n z f 的优级数。

例：级数∑∞

=0

n n z ΛΛ++++++=n z z z z 321在闭圆r z ≤)1(

证：事实上，所述级数有收敛的优级数∑∞

=0

n n r 。

定义4.1.7：设),2,1)((Λ=n z f n 在区域D 内有定义，若∑∞

=1

)(n n z f 在含于D 内的任意一

个有界闭区域d 上都一致收敛，则称级数∑∞

=1

)(n n z f 在D 内闭一致收敛。

1 幂级数的概念

幂级数定义：当n n n a z c z f )()(-=或n n n z c z f =)(时，就得到复函数项级数的特殊情况：

∑∞

=-0)(n n n a z c ΛΛ+-++-+-+=n n a z c a z c a z c c )()()(2210

(4.2.1)

或

∑∞

=0n n n z c ΛΛ+++++=n n z c z c z c c 2210

(4.2.2)

这种级数称为幂级数，其中n c 及a 都是复常数。

如果在(4.2.1)中令0=a ，就得到(4.2.2)。一般地，如果在(4.2.1)中作变换ζ=-a z （变换后把ζ仍改写为z ）就可变成那么(4.2.2)；反之还是用这个变换也能把(4.2.2)变回到(4.2.1)的形式。因此，为了方便，今后就以(4.2.2)形式的复函数项级数来进行讨论而不失一般性。

幂级数是最简单的解析函数项函数。为了搞清楚它的收敛情况，先建立下述的阿

基于上述阿贝尔定理及其推论，我们也能对复幂级数引出象实幂级数那样的收敛半径的概念及相关定理。为此，我们去考虑与幂级数∑∞

=0

n n n z c 相对应的实的幂级数

∑∞

=0

n n n r c )0(≥r 。

(A)

由实分析知，对此实的幂级数，存在一非负实数R ，是该实的幂级数(A)的收敛半径，并且具体地有

（1）若0=R ，则(A)仅在0=r 处收敛；

（2）若+∞=R ，则(A)对任意正数r 都收敛；

（3）若+∞<时发散，在R r =时可能收敛或发散。

借助实幂级(A)的这些特性，同时再根据上述阿贝尔定理及其推论，就容易得出下面的