4第四章级数共12页
第4章 级数
n→∞
∑α
n =1
∞
n
称为
收敛， 称为级数的和 收敛，并且极限 lim S n = S 称为级数的和. 若序列 {Sn }不收
复数项级数的收敛与发散问题可转化为实数项级数的收 敛与发散的问题. 敛与发散的问题
定理1 定理 级数∑α n收敛 ⇔ ∑ an ,
n =1 n =1
∞
∞
∑b
n =1
lim α n = α
收敛于 此时也称复数列{α n }收敛于α . 由第一章关于极限的定理有 复数列 {α n } (n = 1,2,L) 收敛于α ⇔ lim an = a 和 limbn = b .
n→∞
n→∞
n→∞
2．复数项级数 ． 给定一个复数序列{α n }，称无穷和 α1 + α 2 + L + α n + L 为复数项级数. 简称级数 复数项级数. 简称级数. 级数 其最前 n 项的和 Sn = α1 + α 2 + L + α n 称为级数的部分和 称为级数的部分和. 部分和 部分和是序列. 部分和是序列 若部分和序列 {Sn } 收敛则级数 称为发散 敛，则级数 ∑α n 称为发散. 发散
∞
收敛， 收敛. 收敛，可得 ∑ | an | 及 ∑ | bn | 收敛 因而
n=1
∞
∞
再由定理1， 收敛. 敛. 再由定理 ，得 ∑ α n 收敛
∞ n =1 n=1
∞
n =1
∑a
n=1 ∞
∞
n =1
n
和 ∑ bn 也都收
n=1
∞
n =1
定义1： 收敛， 绝对收敛. 定义 ：若级数 ∑ | α n |收敛，则称级数 ∑ α n 为绝对收敛
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
第4章级数1-文档资料26页
an
n 1
a
bn
n 1
b
（3）定理3： n 收敛的必要条件为： n 1
nli mn 0 (通项收敛于0)
ln im sn abi 下一页 ╬
绝对收敛与收敛的关系
（4）定理4：若 n 绝对收敛，则 n
收敛，反之不一定n成1 立。
n1
n1
n1
n1
从而： n (anibn) 收敛。
n1
n1
上一页 返回 ╬
[例2] 判断下列级数的敛散性：
（1）
1 1 n1 n
i n
（2）
n1
(3 4i)n n!
（3）
n 1
in n
解（：1）原级数
因为
1,2,n,称为复数项数列。
2、定理：
lim
n
n
存在的充分必要条件为 ln iman,ln imbn
都存在。即
ln im n aib
lim
n
lim
n
an bn
a b
返回 ╬
[例1] 下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限 。
（1）n
1 0
所以：n
(1
1)
i
en
n
收敛，且 lni mn 1
（2）因为
n
ncoisn
n
en en 2
,
显然 ln im n ,
所以： n ncoisn发散。
返回 ╬
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
第4章级数
(2)定理 定理: 定理 收敛,则 若 ∑ | z | 收敛 则 ∑ z 也收敛
∞
∞
k =1
n
k =1
n
绝对收敛的级数,本身一定是收敛的 注:绝对收敛的级数 本身一定是收敛的 绝对收敛的级数
4.判级数收敛方法 判级数收敛方法: 判级数收敛方法 1)用必要条件 或充要条件 用必要条件,或充要条件 用必要条件 或充要条件; 2)判绝对收敛 判绝对收敛. 判绝对收敛 判别下列级数的收敛性: 例:判别下列级数的收敛性 判别下列级数的收敛性
收敛半径: 三.收敛半径 收敛半径
1.定义 定义: 定义 ∞ Cn (z1 z0 )n 若存在一个正数R,使得幂级数 若存在一个正数 使得幂级数 ∑
n=1
在|Z-Z0|<R内处处收敛 而|Z-Z0|>R时处处发散 内处处收敛,而 时处处发散, 内处处收敛 时处处发散
Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为 的收敛半径为R. 则称 ∑
内复变函数项级数. 为D内复变函数项级数 内复变函数项级数 2.前n项和 S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ) 项和: 前 项和 3.级数收敛 若lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) 存在 则称级数在 z0 处收 级数收敛:若n→∞ 存在,则称级数在 级数收敛 ∞ 就是其和,即 敛. S ( z0 )就是其和 即 ∑ f n ( z0 ) = S ( z0 ) n =1 若级数在D内处处收敛 级数的和是D内一个函数 内处处收敛,级数的和是 内一个函数, 若级数在 内处处收敛 级数的和是 内一个函数 ∞ 即 ∑ fn ( z) = S ( z)
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
第四章 级数
zn
(a1 a2 an ) i (b1 b2 bn ) sn itn ,
根据部分和序列 { n} 极限存在的充要条件得
{sn} 和 { t} , n 的极限都存在
于是 an 和 bn 都收敛.
n 1 n 1
1 i 练习 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
n 1 n 1
zn 0. 如果复数项级数 zn收敛, 那么 lim n
n 1
zn 0 级数 zn发散. 重要结论 lim n
n 1
12
例如, 级数 e in : 因为 lim zn lim ein 0,
n1
n n
不满足必要条件, 所以原级数发散.
n 1 n 1
n 1
结论：(1) zn绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n 1
2 n
n 1
n 1
2 k
事实上,由 a b an bn 知 a b ak bk ,
2 n
n
k 1
2 k
n
n
k 1
k 1
所以 an与 bn绝对收敛时, zn也绝对收敛.
有界数列
定义
设{zn } 是一个复数序列 , z0是一个复常数 . 如果任取 0, 存在
N 0, 使得当 n N 时，zn z0 , 那么称{zn } 收敛或有极限 z0 ,
或者说{zn }是收敛数列,并且收敛于 z0 ,记作 lim zn z0 .
n
如果序列zn 不收敛, 则称zn 发散, 或者说它是发散序列.
zh4
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 复数项级数 幂级数 泰勒级数 罗朗级数 孤立奇点
级数
第一节
复数项级数
第一节
一 复数列的极限 二 级数的概念
第四章 级数
复数项级数
-2-
第一节
复数项级数
一
复数列的极限
定义 设 { n }( n 1,2,) 为一个复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一定复数, 如果对 任意给定的 0, 相应的总可以找到一个正整数 N ,
1 in 所以原级数绝对收敛。 2） 由于 | 2 | 2 收敛， n 1 n n 1 n n 1 i 3） 由于 | | n 发散，所以原级数不是 n 1 n 1 n n in ( 1)n ( 1)n1 i , 而利 绝对收敛，又由于 n 1 n n 1 2 n n 1 2 n 1
- 21 -
第二节
幂级数
收敛半径 R 0 。 例1 ［解］
第四章 级数
n z 求幂级数 的收敛圆盘和和函数。 n 0
幂级数的部分和为
n 1
Sn ( z ) 1 z z
由于
1 z ( z 1) 1 z
n
| z | 1 lim S n ( z ) 1 n | z | 1 1 z 当 | z | 1 时，幂 所以当 | z | 1 时，幂级数是发散的，
- 15 -
(4.2.2)
第二节
幂级数
n f ( z ) c z n 1 如果取 n 我们得 z 的幂级数： n n c z c c z c z n 0 1 n n 0
[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]
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级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
第4章 级数
实数项级数的审敛问题
1)
a ,b
n 1 n n 1
n
分别收敛于a及b.
2)
a , b 至少一个发散
n 1 n n 1 n
1 i 课堂练习 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n 解 因为 a 1 发散; n n n1 n1 1 bn n2 收敛. n1 n1 1 i (2)级数 2 (1 ) 是否收敛？ n n 1 n
记作
lim z n z0 .
n
此时也称复数列{zn } 收敛于 z0 .
复数列收敛的条件
lim an a ,
n
lim bn b .
n
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
复数项级数
• 定义： 复数项级数就是
z
n 1
n
z1 z2 zn
n 0
n ( z z0 ) n
z1 z2
a
2.幂级数的敛散性讨论
其敛散性有以下三种情况: (1) 所有正实轴上的点都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
当 z 0 时, 通项不趋于零,
故级数发散.
定理 4.1.4 复级数(4.1)收敛的一个充分条件 为级数 | z n |收敛.
n 1
| z |收敛,则原级数 z 称 若级数 为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛.
n 1 n
n 1
n
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
1 in (1) n (1 )e ; n
第四章 级数
第四章 级数 第一节 数项级数本节主要介绍数项级数的收敛性判定，至于求和问题放在下一节。
1． 正项级数的审敛（1）除了敛散性定义和性质外，主要方法有：（i ）比较法，（ii ）比值法和根值法，（iii ）积分判别法：设)(x f 在),1[+∞上非负连续且单调减少，则⎰+∞1)(dx x f 收敛∑∞=⇔1)(n n f 收敛（比如对于级数∑∞=2ln 1n n n ，由于⎰+∞2ln 1dx x x 发散，故∑∞=2ln 1n n n 发散）（iv ）正项级数∑∞=1n na 收敛⇔部分和数列}{n s 有界． （2）几个简单级数的收敛性：-p 级数： ∑∞=11n p n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
1=p 时得调和级数∑∞=11n n，其部分和)0( ln →++=n n n c n s εε。
等比级数∑∞=-11n n aq ，1||<q 时收敛，且为绝对收敛，其和为qa-1，1||≥q 时发散。
级数∑∞=2)(ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
（3）判定正项级数∑na的敛散性的一般步骤：（i ）先看n a lim ，若该极限存在但不等于零或不存在，则级数∑∞=1n na发散；（比如∑∞=++1121n n n ，由于，021121≠→++n n ，故级数发散） （ii ）若0lim =n a ，再用以下方法去判定： 01．判阶法和比较法，判阶法主要是看n a 是关于n 1的几阶无穷小．比如∑=++1311n n n n ，由于113++n n n 是关于n 1的23阶无穷小也即与231n 为同阶无穷小，故级数收敛，再比如∑=++1211n n n n ，由于112++n n n 是关于n 1的1阶无穷小即与n1为同阶无穷小，故级数发散．用比较法就要找一个比较对象∑∞=1n nb，若要说明∑∞=1n na收敛，则设法将n a 放大为n b （即n n b a ≤≤0）并且∑∞=1n nb收敛，那么∑∞=1n na收敛．若要说明∑∞=1n na发散，则设法将n a 缩小为n b （即n n a b ≤≤0）并且∑∞=1n nb发散，那么∑∞=1n n a 发散．或找一个已知其敛散性的正项级数∑∞=1n n b 并且极限nnb a lim能比较方便地求出来，那么就可以判定∑∞=1n na的敛散性．02．用比值法和根值法，特别n a 中出现na n n ,!!,!时．比如∑∞=--1)1(2n n nn，由于121)2(1)1(<→--nn nn，故级数收敛（注：该题不能用比值法，因为n n a a 1lim +不存在）3．通过说明部分和有界也是证明正项级数收敛的有效办法． 例１．判别下列级数的收敛性（1）∑∞=+-1)]11([n p n e （2）)0( )11(1>+-∑∞=a n a n n（3） +++-++-+-222222222 （4）πnn )53sin(1∑∞=+ （5）∑∞=1n pnx ，其中 )2,0(,,3,2,sin 11π∈==-x n x x n n 解（1）由于p n e )11(+-～n e 2，从而知∑∞=+-1)]11([n pn e 与∑∞=11n p n 具有相同的敛散性， 因此当1>p 时，原级数收敛；1≤p 时，原级数发散。
第4章 级数
z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有 理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个 为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别 是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛； 如果
第四章级数7-849038共19页
n0
an21 i CR1 f(z0)n1df(nn )(!z0)
z
z0
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发散
的问题）
9
第四章 级数
证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有
z
z0
f(z) 1 f()d
R1
R
Z0
11f(z )1(a 0 a 1 (z z 0 ) a 2 (z z 0 ) 2 )
2iz 2iz z z
7
第四章 级数
这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分
1 1 f( z ) d z 1 (a 0d z a 1 ( z z 0 ) d z a 2 ( z z 0 ) 2 d z )
2i CR1z
1 z ( z 0 )1 (z z 0 ) ( z 0 ) ( 1 1 ( (z z z 0 0 ) )) ( 1 z 0 )n 0 z z z 0 0 n n 0 ( (z z z 0 0 ) ) n n 1
k1
其余各项都是z的函数
如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛
叫在区域B上收敛
表述：
Np
nl iN m 1w n(z) , (nN(z) zB)
B
如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛
如
lim
n 1
wn (z)
收敛
叫区域B上绝对一致收敛
4
第四章 级数
4.2 幂级数：
【概念】：如果级数各项都是幂级数，即
f(z)n 0(zz0)n21i C R1 f(z0)n1d
4第四章级数共10页
第 1 页第四章 级数本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。
然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。
§4.1 复数项级数1.复数序列给定一列无穷多个有序的复数111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，…称为复数序列，记为}{n z 。
定义4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。
若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有ε<-||0z z n ，则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为0lim z z n=。
定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式ΛΛ++++=∑∞=n n nz z z z211(4.1.1)称为复数项级数。
定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n 以有限复数ib a s +=为极限，即若s s n n =∞→lim ，则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为s zn n=∑∞=1；若部分和}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑=1n na和虚部级数∑=1n nb都收敛。
定义 4.1.4：若级数∑=1n nz收敛，则称级数∑=1n nz绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛级数。
【注】：上述柯西乘积等式最右边的式子即是按下述对角线方法作出：定义 4.1.5：设复函数序列{}Λ,2,1),(=n z f n 的各项均在点集C ⊂E 上有定义。
若存在一个在E 有定义的函数)(z f ，对E 中每一点z ，复函数项级数第 3 页ΛΛ++++=∑∞=)()()()(211z f z f z f z fn n n(4.1.2)均收敛于)(z f ，则称级数(4.1.2)在E 上收敛，其和函数为)(z f ，记为)()(1z f z fn n=∑∞=。
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第 1 页第四章 级数本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。
然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。
§4.1 复数项级数1.复数序列给定一列无穷多个有序的复数111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，…称为复数序列，记为}{n z 。
定义 4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。
若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有ε<-||0z z n ，则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为0lim z z n=。
定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式ΛΛ++++=∑∞=n n n z z z z 211(4.1.1)称为复数项级数。
定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n以有限复数ib a s +=为极限，即若s s n n =∞→lim ，则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为s zn n=∑∞=1；若部分和}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑=1n n a 和虚部级数∑=1n n b都定义4.1.4：若级数∑=1n n z 收敛，则称级数∑=1n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛级数。
第 3 页定义 4.1.5：设复函数序列{}Λ,2,1),(=n z f n 的各项均在点集C ⊂E 上有定义。
若存在一个在E 有定义的函数)(z f ，对E 中每一点z ，复函数项级数ΛΛ++++=∑∞=)()()()(211z f z f z f z f n n n(4.1.2)均收敛于)(z f ，则称级数(4.1.2)在E 上收敛，其和函数为)(z f ，记为)()(1z f z fn n=∑∞=。
此定义用精确的语言叙述就是：任给0>ε，以及给定的E z ∈，存在正整数),(z N N ε=，使当),(z N n ε>时，有ε<-)()(z S z f n ， 其中∑==nk k n z f z S 1)()(。
上述的正整数),(z N N ε=，一般地说，不仅依赖于ε，而且依赖于E z ∈。
重要的一种情形是N 不依赖于E z ∈，即)(εN N =，这就是一致收敛的概念：定义4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集E 上有函数)(z f ，使对任意给定的0>ε，存在正整数)(εN N =，当N n >时，对所有的E z ∈，均有ε<-)()(z S z f n ， 则称级数(4.1.2)在E 上一致收敛于)(z f 。
这样的正项级数∑=1n n M ，称为复函数项级数∑=1)(n n z f 的优级数。
例：级数∑∞=0n n z ΛΛ++++++=n z z z z 321在闭圆r z ≤)1(<r 上一致收敛。
证：事实上，所述级数有收敛的优级数∑∞=0n n r 。
定义4.1.7：设),2,1)((Λ=n z f n 在区域D 内有定义，若∑∞=1)(n n z f 在含于D 内的任意一个有界闭区域d 上都一致收敛，则称级数∑∞=1)(n n z f 在D 内闭一致收敛。
1 幂级数的概念幂级数定义：当n n n a z c z f )()(-=或n n n z c z f =)(时，就得到复函数项级数的特殊情况：∑∞=-0)(n n n a z c ΛΛ+-++-+-+=n n a z c a z c a z c c )()()(2210(4.2.1)或∑∞=0n n n z c ΛΛ+++++=n n z c z c z c c 2210(4.2.2)这种级数称为幂级数，其中n c 及a 都是复常数。
如果在(4.2.1)中令0=a ，就得到(4.2.2)。
一般地，如果在(4.2.1)中作变换ζ=-a z （变换后把ζ仍改写为z ）就可变成那么(4.2.2)；反之还是用这个变换也能把(4.2.2)变回到(4.2.1)的形式。
因此，为了方便，今后就以(4.2.2)形式的复函数项级数来进行讨论而不失一般性。
幂级数是最简单的解析函数项函数。
为了搞清楚它的收敛情况，先建立下述的阿基于上述阿贝尔定理及其推论，我们也能对复幂级数引出象实幂级数那样的收敛半径的概念及相关定理。
为此，我们去考虑与幂级数∑∞=0n n n z c 相对应的实的幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 。
(A)由实分析知，对此实的幂级数，存在一非负实数R ，是该实的幂级数(A)的收敛半径，并且具体地有（1）若0=R ，则(A)仅在0=r 处收敛；（2）若+∞=R ，则(A)对任意正数r 都收敛；（3）若+∞<<R 0，则(A)在R r <时绝对收敛，在R r >时发散，在R r =时可能收敛或发散。
借助实幂级(A)的这些特性，同时再根据上述阿贝尔定理及其推论，就容易得出下面的该定理中的圆R z K <:称为复幂级数∑=0n n n z c 的收敛圆，与之相应的实幂级数∑∞=0n nnr c)0(≥r 的收敛半径R 也就称为复幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径。
求复幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径问题归结为求与之相应的实幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 的收敛半径问题。
在数学分析中已讲过，在常见情况下，实幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 的收敛半径可用达朗贝尔法则或柯西法则求出；在一般情况下，则可用柯西—阿达玛公式求R a z <-【注】：上极限的定义如下：已给一个实数序列}{n a ，数),(+∞-∞∈L 。
若任给0>ε，（1）至多有有限个ε+>L a n；（2）有无穷个ε->L a n ，那么说序列}{n a 的上极限是L ，记作L a n n =+∞→lim ；若任给0>M ，有无穷个M a n >，那么说序列}{n a 的上极限是∞+，记作+∞=+∞→n n a lim ；若任给0>M ，至多有有限个M a n ->，那么说序列}{n a 的上极限是∞-，记作-∞=+∞→n n a lim 。
第 7 页注意，前面的讨论没有涉及到幂级数∑∞=-0)(n n n a z c 在收敛圆周R a z =-上的收敛性（假设+∞<<R 0）。
在R a z =-上，幂级数∑∞=-0)(n n n a z c 既可以是点点收敛，也可以是点点发散，还可以在一部分点上收敛，在其余的点上发散。
可以相应举三个例子，例如，①∑∞=12n n n z 的收敛半径1=R 。
在1=z 上，∑∞=12n n n z ∑∞==121n n收敛，因此∑∞=12n n n z 在1=z 上处处绝对收敛；②几何级数∑∞=0n n z 在1=z 上点点发散，因为这时一般项n z 的模为1而不趋于零；③幂级数∑∞=1n nnz 的收敛半径1=R ，在圆周1=z 上只在点1=z 处发散，在其余的点)20(πθθ<<=i e z 上，∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n n i n n n z θθ，其实部和虚部两个实级数都收敛，因此级数∑∞=1n nnz 在圆周1=z 上除去点1=z 外处处收敛。
但需特别指出：纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛，其和函数在收敛圆周上仍0>R 存在。
其用意只是为了排除0=R 的情况。
该定理的一个例子如：∑∞=12n nnz 虽然在1=z 上处处绝对收敛，从而在闭圆1≤z 上一致收敛，2nz n在复平面C 上都是解析的，因此可以在1≤z 内应用Weierstrass 定理。
设∑∞=12n nnz 在1≤z 内的和函数为)(z f ，则有 ΛΛ+++++='-nz z z z f n 12321)(当z 从单位圆内沿实轴趋于1时，)(z f '趋于∞+。
而我们知道，解析函数在其解析点处是无穷次可微的，所以1=z 是和函数)(z f 的一个奇点。
§4.3 泰勒级数在前一节已知，任意一个收敛半径为正数的幂级数，其和函数在收敛圆内是解析R R 指收敛半径），否则，(4.3.1)式将不能在圆K 内成立。
至于幂级数(4.3.1)的收敛半径能取多大，当用(4.3.2)式确定系数n c 后，可由求收敛半径的公式(4.2.3)确定。
另外，前面曾指出：对收敛半径为正数的幂级数，它在收敛圆内的和函数在收敛圆周上至少的密切关系，同时，还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄得完全明白。
例如，在实数域内便不了解：为什么只当1<x 时有展式Λ+-+-=+6422111x x x x而函数211x+对于独立变数x 的所有的值都是确定的。
这个现象从复变数的观点来看，第 9 页就可以完全解释清楚。
实际上，复函数211z +在z 平面上有两个奇点，即i z ±=。
故我们所考虑的级数的收敛半径等于1。
定义 4.3.1：(4.3.1)式称为函数)(z f 在点a 的泰勒展式，(4.3.2) 称为展式的泰点的邻域内无穷次可微，而且即使满足无穷次可微条件，其泰勒级数也不一定收敛，纵令收敛，也不一定就收敛于该点的函数值。
但在复变函数中，从上面的讨论我们看到，只需在某点解析，函数就可以在该点的邻域内展开成泰勒级数，并保证所得级数在该邻域内收敛于被展开的函数。
关于解析函数概念的小结：至此，我们已得到函数)(z f 在一点0z 解析的四种等价的概念，它们是： （1）)(z f 在点0z 的邻域处处可导；（2）iv u z f +=)(的实、虚部u 、v 在点0z 的邻域有连续偏导数且满足C-R 条件； （3）)(z f 在点0z 的邻域内连续且沿此邻域内任一围线的积分等于零； （4）)(z f 在点0z 的邻域内可展成幂级数。
§4.4 洛朗级数1 洛朗级数形如∑∞-∞=-n nna z c)(∑--∞=-=1)(n nna z c∑∞=-+0)(n n n a z c∑+∞=---=1)(n nn a z c ∑∞=-+0)(n n n a z c(4.4.1)的级数称为洛朗(Laurent)级数，其中a 及c ),1,0(Λ±=n 都是复常数。