人教A版选修【4-5】2.2《综合法与分析法》习题及答案(最新整理)

数学·选修4－5(人教A 版)

2.2

　综合法与分析法一层练习

1．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充要条件

D ．必要或充分条件

答案：B

2．若x ＞y ＞1,0＜a ＜1，则下列式子中正确的是( )

A ．a x ＞a y

B ．log a x ＞log a y

C ．x a ＜y a

D ．x －a ＜y －a

答案：D

3．设a ，b∈R ＋，A ＝＋，B ＝，则A ，B 的大小关系是( )

a b a ＋b A ．A≥B B ．A≤B

C ．A>B

D ．A

答案：C

证明不等式的基本方法

4．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a≠b，那么a ＋b,2，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．ab 答案：a ＋b

5．求证：＜2－.

753证明：21＜25⇒＜5

21⇒2＜10

21⇒10＋2＜20

21⇒(＋)2＜(2)2735⇒＋＜2735⇒＜2－.753所以原不等式成立．

二层练习

6．若1

A ．(lg x)2

B ．lg x 2<(lg x)2

C ．(lg x)2

D ．lg(lg x)<(lg x)2

答案：D

7．设a≥b，b>0，M ＝，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系是________．

a 2＋

b 2

ab 答案：M≥N

8．a ，b 是正数，求证：≥.a 2＋b 2 a ＋b 212

证明：＝a 2＋b 2 a ＋b 2 a ＋b 2－2ab a ＋b 2

＝1－≥1－＝1－＝，2ab a ＋b 22·(a ＋b 2)2 a ＋b 21212

当且仅当a ＝b 时取“＝”．

9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：

lg ＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2

证明：证法一(综合法)

∵a，b ，c∈R ＋，

∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，且上述三个不等式中等号不能同时成立，a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac ∴··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2

∴lg

＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2证法二(分析法)lg

＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c ⇐a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2lg ＞lg abc ⇐(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)

··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2因为≥＞0，≥＞0，≥＞0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以·a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac a ＋b 2·＞abc 成立，从而原不等式成立．b ＋c 2c ＋a 210．(2018·新课标Ⅱ卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：

(1)ab ＋bc ＋ca≤；13

(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a

证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca 得

a 2＋

b 2＋

c 2≥ab＋bc ＋ca.

由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.

所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤.13

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，a 2b b 2c c 2a

故＋＋＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即＋＋≥a＋b ＋c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a

所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a 三层练习

11．(1)设x≥1，y≥1，求证：x ＋y ＋≤＋＋xy.1xy 1x 1y

(2)1

证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x ＋y ＋≤＋＋xy ⇔xy(x ＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2，1xy 1x 1y

将上式中的右式减左式，得

[y ＋x ＋(xy)2]－[xy(x ＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)]

＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)

＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)

＝(xy －1)(x －1)(y －1)．

又x≥1，y≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，

从而所要证明的不等式成立．

(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数换底公式得

log c a ＝，log b a ＝，log c b ＝，log a c ＝xy.1xy 1x 1y

于是，所要证明的不等式即为

x ＋y ＋≤＋＋xy ，1xy 1x 1y

其中x ＝log a b≥1，y ＝log b c≥1.

故由(1)知所要证明的不等式成立．