矩阵的秩的相关不等式的归纳小结Word版
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= + = ，即
从而有
令
得
3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y
使得
证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解
所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH)
r(BC)= r(HLC) = r(LC)
证明：由 = A，可得 A（ A–E ）= 0
由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n
又因为 E-A和A-E 有相同的秩
n=r(E)= r( A + E–A ) r ( A ) + r ( E–A )
从而 r( A ) + r( A–E ) = n
6 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
证：设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于
而 可逆，故
r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩
=r(AB)+r(E)
=r(AB)+n
从而r(AB) r(A) + r(B) - n
3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明
秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
证：因为
故秩（AB-E） 秩 秩
=秩（A-E）+秩（B-E）
一 基本的定理
1 设A是数域P上 矩阵，B是数域上 矩阵，于是
秩（AB） min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2设A与B是 矩阵，秩（A B） 秩（A）+秩（B）
二 常见的秩的不等式
1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n
证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时
r(A)= n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，
从而B的列向量组的秩 n-r,即r（B） n-r
所以 r(A) + r(B) n
2设A为 矩阵，B为 矩阵，证明不等式r(AB) r(A)+r(B)-n
充分性 若r（A）= r（A- ）+r（A+ ）
设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y
使（2X）H = ，L（2Y）= 成立
则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）-（XHLH - LHLY）= -0 =
由题三3得 r[（E-A）A(E+A)]
=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0
5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r(A B + A + B) r( A ) + r ( B )
证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二
r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一
r( A ) + r( B )
6 设A，C均为 矩阵，B，D均为 矩阵，证明
证明： 必要性 一方面，由 = A （E-A）A（E+A）=0 由题二 4知
0 r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)
即r（A） r（A- ）+r（A+ ）
另一方面，由r（A- ）+r（A+ ） r[（A- ）+（A+ ）]
= r（2A）
= r（A）
所以 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
因此 秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
4 设A，B，C依次为 的矩阵，证明
r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于
且 是可逆矩阵，故
r(AB)+ r(BC) 秩 =秩 =秩
= r(ABC) + r(B)
从而r(ABC) r(AB)+ r(BC)-r(B)
则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)
r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
矩阵X,Y 使得
所以 3得证
4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A–E ）= n
证明： ( A + E )( A–E ) = + A–A–E = E–E = 0
证明：根据题三 1，只需要证明
当 时，
（1）
（2）
对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去 ， ， ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去 ， ， 时也消去了 ，对式（2）右端分块记为 其中 = ， = ， C=
于是上述消去 的行变换相当于
消去其余 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使
r（ A B–C D） r（ A-C） + r（ B - D）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
=
由此易知r（A-C）+r（B-D）=r
r(AB-CD)
从而得r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D）
三 不等式等号成立的探讨
1 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分条件为：
证明：由
得：
2 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得
即得（E-A）A（E+A）=0
r（ A + E ）+ r（ A–E ） n
r( A + E ) + r( A–E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)
= E
= E，即 0
r（A）= n
r( A + E) + r( A - E) n
故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n
5 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
林 松
（莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的Βιβλιοθήκη Baidu等变换
引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
从而有
令
得
3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y
使得
证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解
所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH)
r(BC)= r(HLC) = r(LC)
证明：由 = A，可得 A（ A–E ）= 0
由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n
又因为 E-A和A-E 有相同的秩
n=r(E)= r( A + E–A ) r ( A ) + r ( E–A )
从而 r( A ) + r( A–E ) = n
6 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
证：设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于
而 可逆，故
r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩
=r(AB)+r(E)
=r(AB)+n
从而r(AB) r(A) + r(B) - n
3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明
秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
证：因为
故秩（AB-E） 秩 秩
=秩（A-E）+秩（B-E）
一 基本的定理
1 设A是数域P上 矩阵，B是数域上 矩阵，于是
秩（AB） min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2设A与B是 矩阵，秩（A B） 秩（A）+秩（B）
二 常见的秩的不等式
1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n
证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时
r(A)= n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，
从而B的列向量组的秩 n-r,即r（B） n-r
所以 r(A) + r(B) n
2设A为 矩阵，B为 矩阵，证明不等式r(AB) r(A)+r(B)-n
充分性 若r（A）= r（A- ）+r（A+ ）
设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y
使（2X）H = ，L（2Y）= 成立
则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）-（XHLH - LHLY）= -0 =
由题三3得 r[（E-A）A(E+A)]
=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0
5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r(A B + A + B) r( A ) + r ( B )
证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二
r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一
r( A ) + r( B )
6 设A，C均为 矩阵，B，D均为 矩阵，证明
证明： 必要性 一方面，由 = A （E-A）A（E+A）=0 由题二 4知
0 r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)
即r（A） r（A- ）+r（A+ ）
另一方面，由r（A- ）+r（A+ ） r[（A- ）+（A+ ）]
= r（2A）
= r（A）
所以 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
因此 秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
4 设A，B，C依次为 的矩阵，证明
r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于
且 是可逆矩阵，故
r(AB)+ r(BC) 秩 =秩 =秩
= r(ABC) + r(B)
从而r(ABC) r(AB)+ r(BC)-r(B)
则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)
r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
矩阵X,Y 使得
所以 3得证
4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A–E ）= n
证明： ( A + E )( A–E ) = + A–A–E = E–E = 0
证明：根据题三 1，只需要证明
当 时，
（1）
（2）
对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去 ， ， ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去 ， ， 时也消去了 ，对式（2）右端分块记为 其中 = ， = ， C=
于是上述消去 的行变换相当于
消去其余 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使
r（ A B–C D） r（ A-C） + r（ B - D）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
=
由此易知r（A-C）+r（B-D）=r
r(AB-CD)
从而得r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D）
三 不等式等号成立的探讨
1 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分条件为：
证明：由
得：
2 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得
即得（E-A）A（E+A）=0
r（ A + E ）+ r（ A–E ） n
r( A + E ) + r( A–E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)
= E
= E，即 0
r（A）= n
r( A + E) + r( A - E) n
故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n
5 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
林 松
（莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的Βιβλιοθήκη Baidu等变换
引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。