矩阵的秩的相关不等式的归纳小结Word版
矩阵乘积秩的不等式
矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式矩阵是现代数学理论中非常重要的一个分支领域。
矩阵运算是实际应用中极其常见的过程。
矩阵乘积秩的不等式是矩阵理论中一个基本的定理，本文将详细讲解这一定理。
一、矩阵的定义矩阵是一个矩形的数表，其中的数被称为矩阵元素。
矩阵可以表示为$m\times n$矩阵形式，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。
例如，下面的矩阵是一个$3\times2$矩阵：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$二、矩阵的乘积两个矩阵的乘积是指对两个矩阵逐一对应的行和列进行数乘，并将结果求和得到的一个新的矩阵。
如果矩阵$A$是一个$m\times n$矩阵，矩阵$B$是一个$n\times p$矩阵，那么乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C_{ij} = \sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj} $$其中，$i\in[1,m]$，$j\in[1,p]$。
例如，若有以下两个矩阵$A$和$B$：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} $$那么它们的乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 28\\ 57 & 64\\ 89 & 100 \end{bmatrix} $$三、矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式是指两个矩阵的乘积的秩不超过这两个矩阵秩的乘积。
关于秩的不等式
关于秩的不等式秩，作为一个数学概念，在代数、几何、图论等领域都有着重要的应用。
在不同的数学领域中，秩都有着不同的定义和性质。
在线性代数中，秩是矩阵的一个重要性质，它可以帮助我们理解矩阵的结构和性质。
在图论中，秩则是用来描述图中顶点之间的关系的一个重要指标。
在不等式中，秩也有着独特的作用。
本文将探讨关于秩的不等式，从不同的角度来解释和讨论。
在线性代数中，矩阵的秩是一个非常重要的概念。
对于一个矩阵而言，它的秩等于它的行秩和列秩中的较小值。
利用矩阵的秩，我们可以解决线性方程组的求解问题，判断矩阵的可逆性以及矩阵的基本性质。
在不等式中，我们也可以利用矩阵的秩来推导一些有趣的不等式。
例如，对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则A是可逆的；如果它的秩小于n，则A是奇异矩阵，不可逆。
这样的性质可以帮助我们在不等式中进行推导和求解。
在图论中，秩是描述图中顶点之间关系的一个重要指标。
对于一个图G=(V, E)，如果G中任意两个顶点之间有边相连，则称G是完全图。
完全图中的秩通常比较大，因为任意两个顶点之间都有边相连。
而在一般的图中，秩则描述了图中顶点之间的连接情况。
在不等式中，我们可以利用图的秩来推导一些关于图的性质的不等式。
例如，对于一个图G=(V, E)，如果G是连通图，则它的秩等于它的顶点数减去它的连通分量数加一。
这样的不等式可以帮助我们理解图的结构和性质。
在组合数学中，秩是排列和组合的一个重要概念。
对于一个集合A={a1, a2, ..., an}，它的一个排列是对A中元素的一个重新排列，而一个组合是从A中选择出若干个元素的一个子集。
在不等式中，我们可以利用排列和组合的秩来推导一些关于排列和组合性质的不等式。
例如，对于一个集合A={a1, a2, a3}，它的一个排列是{a1, a2, a3}，而它的一个组合是{a1, a2}，那么排列的秩大于等于组合的秩。
这样的不等式可以帮助我们更好地理解排列和组合的性质。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
精品文档
精品文档
1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
矩阵的秩的不等式总结
矩阵的秩的不等式总结矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以描述矩阵的行空间和列空间的维度，也可以用来描述矩阵的奇异性。
在实际应用中，矩阵的秩不仅在理论研究中有重要意义，而且在工程技术和科学计算中也有着广泛的应用。
本文将对矩阵的秩的不等式进行总结，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来看矩阵的秩的定义。
对于一个矩阵A，它的秩记作rank(A)，定义为矩阵A的行秩和列秩中的较小值。
行秩是指矩阵的行向量组的极大无关组的向量个数，而列秩是指矩阵的列向量组的极大无关组的向量个数。
矩阵的秩可以用来描述矩阵的线性无关性，以及矩阵所表示的线性空间的维度。
接下来，我们来总结矩阵的秩的不等式。
对于一个m×n的矩阵A，它的秩满足以下不等式：1. rank(A) ≤ min(m, n)。
这个不等式表明矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小值。
这是因为矩阵的秩不会超过矩阵的行空间和列空间的维度，而行空间和列空间的维度最大也不会超过矩阵的行数和列数中的较小值。
2. rank(A) ≤ r。
这里，r代表矩阵A的行秩和列秩中的较小值。
这个不等式说明矩阵的秩不会超过矩阵的行秩和列秩中的较小值，也就是矩阵的行空间和列空间的维度的较小值。
3. rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))。
对于两个矩阵A和B的乘积AB，它的秩不会超过矩阵A和B的秩中的较小值。
这个不等式可以帮助我们理解矩阵的乘积对秩的影响，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
4. rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。
对于两个矩阵A和B的和A+B，它的秩不会超过矩阵A的秩和矩阵B的秩之和。
这个不等式可以帮助我们理解矩阵的和对秩的影响，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
综上所述，矩阵的秩的不等式对于理解矩阵的性质和在实际应用中具有重要的意义。
通过对矩阵的秩的不等式进行总结，我们可以更好地理解矩阵的秩的性质，以及在实际计算中如何利用矩阵的秩来简化计算。
浅谈矩阵秩的等式与不等式证明
块矩 阵 ，利用分块 矩 阵的初 等变换 及分 块矩 阵 的秩 的相关
定 理 去 求 解．要 善 于观 察 ，构 造 分 块 矩 阵是 难 点 ，如 结 论 １Ｏ．
矩 阵的分 块方法是 矩 阵论 的一种 重要 方法 ，选择 合适
的分块方 法可使一 些证 明变得 简单 明了．在 学 习线性 代数
时 ，许多 问题都 可尝试 用分块方法解决． 本 文在对部分矩阵秩 的等式 与不等式证 明过程 中利 用
了 矩 阵 的 分 块 方 法 ． 思路 ６ 应用 方程 组解 的相关 理论 求解 ，如结论 １１的
证 明． 思路 ７ 灵活运用 常见的秩的等式与不等式进行 证明．
在证 明矩阵秩的 不等关 系时 ，经 常用到 关于 两矩 阵 和与 乘 积的秩的关系 ，如结 论 ５、结论 ６、结论 ７、结论 １１等．
对于有一些稍难 的结论 ，许多教材 并没有 给出证 明．本 文把
分散的知识点及 重要 的常用 结论 整合 在一 起 ，并归 纳整 理
出若 干常用有效 的证 明思路 ，帮助学生掌握这一难 点．
二 、预 备 知 识 及 证 明 思 路
定义 对 于 ｍ × 矩 阵 Ａ，若 阶 子 式 不 为 ０，且
数 即为矩阵的秩．
思路 ２ 初等变换不改变矩 阵的秩．利用初等变换 将矩
阵化为阶梯形 ，阶梯形矩阵非零行 的行数 即为矩 阵的秩．矩
阵的初等变换是研究矩 阵的秩的重要方法．
思路 ３ 证 秩相等 ，可考虑 证同解方程组．
构造 （Ｉ）ＡＸ＝０，（Ｕ）ＢＸ＝０．（Ａ，Ｂ列数相 同）
若 （Ｉ）（Ⅱ）同解 ，则 （Ｉ）与（ＩＩ）基 础解 系等价 ，从 而
●
．
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。
11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。
矩阵秩的基本不等式
矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。
证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。
于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。
()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。
这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。
我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。
其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
下面，我们来证明向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。
事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得()()1()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。
这样，()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。
于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。
由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
于是，向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。
矩阵秩的基本不等式
矩阵秩的基本不等式第一篇：矩阵秩的基本不等式矩阵秩的基本不等式定理1：设A∈Rm,n，B∈Rn,s，则r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}。
证明：由于Bx=0的解一定是ABx=0的解，因此Bx=0的基础解系为ABx=0的基础解系的一部分。
于是，s-r(B)≤s-r(AB)，即r(AB)≤r(B)。
r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)。
这样，我们就证明了r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)，故r(AB)≤min{r(A),r(B)}。
我们假设x1，x2，……，xs-r(B)，xs-r(B)+1，……，xs-r(AB)为ABx=0的基础解系。
其中，Bxi=0，1≤i≤s-r(B)；Bxj≠0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。
下面，我们来证明向量组{Bxj}s-r(AB)j=s-r(B)+1是线性无关的。
事实上，假设数kj，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，使得s-r(AB)j=s-r(B)+1s-r(AB)∑s-r(AB)kj(Bxj)，于是Bj=s-r(B)+1∑xj=0。
这样，s-r(AB)j=s-r(B)+1j=s-r(B)+1s-r(B)s-r(AB)j=1∑xj=0为Bx=0的解。
于是，存在数kj，1≤j≤s-r(B)，使得∑∑(-kx)，即∑jjj=1kjxj=0。
由于向量组{xj}s-r(AB)j=1线性无关，因此，kj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。
于是，向量组{Bxj}线性无关。
j=s-r(B)+1s-r(AB)又由于A(Bxj)=ABxj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，因此{Bxj}为j=s-r(B)+1s-r(AB)Ax=0的基础解系的一部分。
于是，s-r(AB)-[s-r(B)+1]+1=r(B)-r(AB)≤n-r(A)即r(AB)≥r(A)+r(B)-n。
推论1：若A∈Rm,n，B∈Rn,s满足AB=0，则r(A)+r(B)≤n。
秩不等式总结
秩不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它表述了矩阵的秩与其行数、列数和子矩阵之间的关系。
以下是秩不等式的几个重要结论：
1. 秩不等式（Rank Inequality）：设A为m×n矩阵，则A的秩r(A)满足：
r(A) ≤ min(m,n)
这个不等式表明矩阵的秩总是小于或等于其行数和列数中的较小值。
2. 行列式不等式（Determinant Inequality）：设A为n阶方阵，则A的行列式|A|满足：
|A| ≤ n!r(A)
这个不等式表明矩阵的行列式值总是小于或等于其秩乘以n的阶乘。
3. 极分解不等式（Spectral Decomposition Inequality）：设A为n阶方阵，则存在一个正交矩阵U和实对称矩阵V，使得A=UV，且满足：
r(A) = r(U) + r(V)
这个不等式表明矩阵A的秩等于其极分解中正交矩阵U和实对称矩阵V的秩之和。
4. 奇异值不等式（Singular Value Inequality）：设A为m×n矩阵，则A的奇异值σ(A)满足：
σ(A) ≤ ||A||_F ≤ ||A||_2 ≤ r(A)
这个不等式表明矩阵的奇异值总是小于或等于其Frobenius范数、谱范数和秩中的最小值。
这些秩不等式在矩阵理论中有着广泛的应用，如矩阵分解、特征值计算、数值稳定性分析等。
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
矩阵秩不等式
矩阵秩不等式
矩阵秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它描述了一个矩阵的秩是如何影响其行列式的值或可逆性的。
直观来讲，矩阵秩不等式说明了一个矩阵的秩会影响其行列式的值，从而影响矩阵的可逆性；也就是说，如果矩阵的秩比它的列数小，那么矩阵的行列式的值就会减小，最终导致矩阵不可逆；反之，矩阵的秩不小于它的列数，则矩阵就是可逆的。
矩阵秩不等式可以用数学语言来表达：秩(A)<=数列数(A)，其中A是一个m × n矩阵（m
＜n）。
其中秩(A)代表矩阵A的秩，数列数(A)代表矩阵的列数或行数。
矩阵秩不等式可以用来计算矩阵的可逆性。
依据此不等式，如果一个矩阵A的秩等于它的列数或行数，则说明该矩阵是满秩矩阵，也就是说，该矩阵是可逆的；如果一个矩阵A的秩小于它的列数或行数，则说明该矩阵是部分满秩矩阵，也就是说，该矩阵不可逆。
因此，我们可以根据矩阵秩不等式来判断矩阵的可逆性。
矩阵秩不等式不仅可以用来判断矩阵的可逆性，同时还可以用来解决当一个矩阵的行列式值和可逆性都知道的时候，它的秩是多少的问题。
解决这类问题时，就可以用矩阵秩不等式了，因为它指明了行列式值和矩阵的可逆性之间的联系，并且可以让我们用一种说到就行的方式表达这种联系。
总而言之，矩阵秩不等式是一个重要的定理，它可以帮助我们正确判断出矩阵的可逆性，也可以用来计算出一个矩阵的秩。
矩阵秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它的正确运用对于理解矩阵的可逆性及其应用非常重要。
与矩阵的秩有关的结论
与矩阵的秩有关的结论矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要的概念，它可以帮助我们了解矩阵的性质和特征，为矩阵的计算和应用提供了有力的工具。
在本文中，我们将介绍与矩阵的秩有关的一些重要结论和定理。
1.矩阵秩的定义矩阵的秩，也称为矩阵的秩数，是指矩阵中非零元素所在的行和列向量的最大线性无关组数。
其他的行和列向量都可以由这些线性无关组线性组合而成。
例如，在一个2行3列的矩阵中，如果其中有两行向量是线性相关的，那么它们中必然会有一行是另一行的倍数，因此这两行向量中只能算作一个线性无关组，矩阵的秩就是1。
如果这两行向量是线性无关的，那么它们就可以算作两个线性无关组，矩阵的秩则是2。
2.矩阵秩的性质矩阵秩具有以下性质：(1)矩阵的秩不会超过它的行数和列数的最小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。
(2)矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相同，即rank(A) = rank(AT)。
(3)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C左右拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和减去它们的公共部分的秩，即rank(A) ≥ rank(B) + rank(C) - rank(B ∩ C)。
(4)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C上下拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和，即rank(A) ≥ rank(B) +rank(C)。
(5)对于任意矩阵A、B和C，如果满足A = BC，那么rank(B) + rank(C) - rank(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数。
这些性质可以帮助我们更加深入地理解矩阵秩的本质和特点，并且提供了在矩阵计算和应用中进行推导和判断的依据。
3.矩阵秩与矩阵求逆多实际应用中的问题。
矩阵是否有逆，以及如何求出矩阵的逆，与矩阵的秩有密切的关系。
对于一个n阶可逆矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的秩必然是n，因为n阶可逆矩阵的秩就是n。
另外，我们还可以通过计算矩阵的伴随矩阵来求出矩阵的逆，公式为A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵，det(A)是矩阵A的行列式。
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4 设A，B，C依次为 的矩阵，证明
r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于
且 是可逆矩阵，故
r(AB)+ r(BC) 秩 =秩 =秩
= r(ABC) + r(B)
从而r(ABC) r(AB)+ r(BC)-r(B)
证明：根据题三 1，只需要证明
当 时，
（1）
（2）
对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去 ， ， ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去 ， ， 时也消去了 ，对式（2）右端分块记为 其中 = ， = ， C=
于是上述消去 的行变换相当于
消去其余 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使
证：设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于
而 可逆，故
r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩
=r(AB)+r(E)
=r(AB)+n
从而r(AB) r(A) + r(B) - n
3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明
秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）
证：因为
故秩（AB-E） 秩 秩
=秩（A-E）+秩（B-E）
r（ A B–C D） r（ A-C） + r（ B - D）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
=
由此易知r（A-C）+r（B-D）=r
r(AB-CD)
从而得r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D）
三 不等式等号成立的探讨
1 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分条件为：
证明：由
得：
2 设A，B分别为 和 矩阵，则 的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得
即得（E-A）A（E+A）=0
证明： 必要性 一方面，由 = A （E-A）A（E+A）=0 由题二 4知
0 r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)
即r（A） r（A- ）+r（A+ ）
另一方面，由r（A- ）+r（A+ ） r[（A- ）+（A+ ）]
= r（2A）
= r（A）
所以 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
林 松
（莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换
引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时
r(A)= n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，
从而B的列向量组的秩 n-r,即r（B） n-r
所以 r(A) + r(B) n
2设A为 矩阵，B为 矩阵，证明不等式r(AB) r(A)+r(B)-n
= + = ，即
从而有
令
得
3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y
使得
证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解
所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH)
r(BC)= r(HLC) = r(LC)
证明：由 = A，可得 A（ A–E ）= 0
由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n
又因为 E-A和A-E 有相同的秩
n=r(E)= r( A + E–A ) r ( A ) + r ( E–A )
从而 r( A ) + r( A–E ) = n
6 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）
5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r(A B + A + B) r( A ) + r ( B )
证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二
r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一
r( A ) + r( B )
6 设A，C均为 矩阵，B，D均为 矩阵，证明
r（ A + E ）+ r（ A–E ） n
r( A + E ) + r( A–E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)
= E
= E，即 0
r（A）= n
r( A + E) + r( A - E) n
故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n
5 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n
充分性 若r（A）= r（A- ）+r（A+ ）
设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y
使（2X）H = ，L（2Y）= 成立
则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）Biblioteka （XHLH - LHLY）= -0 =
由题三3得 r[（E-A）A(E+A)]
=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0
则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)
r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r
矩阵X,Y 使得
所以 3得证
4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A–E ）= n
证明： ( A + E )( A–E ) = + A–A–E = E–E = 0
一 基本的定理
1 设A是数域P上 矩阵，B是数域上 矩阵，于是
秩（AB） min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2设A与B是 矩阵，秩（A B） 秩（A）+秩（B）
二 常见的秩的不等式
1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n
证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。