关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
矩阵与行列式算法初步知识点
矩阵与行列式算法初步知识点矩阵与行列式是线性代数的基础概念之一、矩阵可以看作是一个二维数组，具有行和列的属性。
矩阵最常见的应用是线性方程组的求解。
例如，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，可以通过矩阵乘法Ax=b来求解线性方程组。
行列式是矩阵的一个重要属性，可以用来判断矩阵是否可逆。
一个矩阵的行列式为0表示该矩阵不可逆，否则可逆。
行列式还可以用于求解特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变性质，对于很多机器学习和深度学习算法都有重要的应用。
算法是计算机科学中的基础概念，是一种解决问题的方法或步骤。
算法设计的核心目标是解决问题的效率和正确性。
常见的算法设计技巧包括递归、分治、动态规划等。
常见的算法包括排序、图算法等。
排序算法可以将一组数据按照一定的规则进行排序，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
算法用于在一组数据中查找目标元素，常见的算法有线性、二分等。
图算法用于解决图结构相关的问题，常见的图算法有深度优先、广度优先、最短路径算法等。
在实际应用中，矩阵与行列式经常用于数据表示和运算。
例如，在机器学习中，数据通常以矩阵的形式进行表示，通过矩阵运算可以进行特征提取、模型训练等操作。
行列式的性质可以帮助我们优化计算过程，例如通过LU分解来求解线性方程组，可以减少计算量。
在计算机图形学中，矩阵与行列式用于表示和变换物体的位置和形态。
通过矩阵运算可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。
算法的设计与分析是计算机科学中的重要内容。
好的算法可以大大提高程序的执行效率，减少资源的使用。
算法的设计过程包括问题分析、算法设计、编码实现和性能评估等步骤。
在设计算法时，我们要考虑问题的规模、输入数据的特征以及算法的复杂度等因素。
通常，我们希望算法在求解问题时具有较高的时间和空间效率，并且给出符合问题要求的正确结果。
总之，矩阵与行列式、算法初步是计算机科学和线性代数中的重要知识点。
矩阵行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算1、 矩阵111213212223a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭中的行向量是()111213a a a a =r ，()212223b a a a =r；2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，111112211112122211131223211122212112222221132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++⎛⎫=⎪+++⎝⎭矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有：,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。
同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。
实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。
矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB ==()()AB C A BC =3、 矩阵乘法不满足交换率，如1111111122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。
二、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,其中2211b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线2211b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解;(3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
不定矩阵行列式-概述说明以及解释
不定矩阵行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下信息：在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
矩阵的行列式是矩阵的一个重要性质，它在多个数学理论和应用中起着关键的作用。
在传统的数学教育中，我们通常学习的是定矩阵的行列式，即方阵的行列式。
然而，在实际应用中，我们也会遇到非方阵的矩阵，即行数和列数不相等的矩阵。
这种矩阵被称为不定矩阵。
不定矩阵的行列式是指在行数和列数不相等的情况下，如何定义和计算矩阵的行列式。
不定矩阵的行列式具有一些特殊的性质和计算方法。
本文将着重介绍不定矩阵的行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们将探讨不定矩阵行列式的定义及其数学性质，包括行列式的展开公式和性质。
然后，我们将介绍一些特殊的不定矩阵，如长方形矩阵和奇异矩阵，它们在行列式计算中具有一些特殊的性质和应用。
最后，我们将给出一些计算不定矩阵行列式的实例，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入研究和理解不定矩阵行列式的概念和计算方法，我们可以更好地应用线性代数的知识解决实际问题。
不定矩阵行列式作为矩阵理论的重要组成部分，具有广泛的应用前景。
本文旨在为读者提供一个全面的介绍和理解不定矩阵行列式的基础，帮助读者在实际问题中运用该概念解决复杂的数学和工程问题。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章的结构是指文章所包含的各个部分的组织方式和关系。
一个清晰的结构有助于读者理解文章的主旨和逻辑。
本文的结构如下：第一部分为引言部分，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将对不定矩阵行列式进行简单介绍，引起读者的兴趣。
然后在文章结构部分，详细介绍了整篇文章的组织和分段，并说明每个部分的主题和内容。
最后，在目的部分，明确表达了本文的目的和意义。
第二部分为正文部分，包括第一个要点和第二个要点。
在第一个要点中，将详细介绍不定矩阵行列式的定义、性质和计算方法等相关内容。
正定矩阵和的行列式不等式
m
( b1 …bn )
1
m
n
1
r
的次[ 3 ] .
λ| A | m + μ| B | ≥ λ λ ai 且等号成立当且仅当 = , 即 A = B. μb i μ
m
|λ A +μ B|
m
1
第3期
王厂文 ,等 : 正定矩阵和的行列式不等式
m
・353 ・
1
p- 1 r
引理 5 当 r ≥n , 且 r 是有理数时 , 定理 1 结论 成立 . 证明 [ 6 ] 当 r = n 时已证 , 设 r = 为正整数且 ( p , q) = 1 , 则
m j =1
∑
| Aj + B j |
m
p n
1
p
≥
m
理3得 λ( A E) + μ( B E) = (λ (λ + μ ) E = A +μ B) ( Q′ E) [ (λ (λ + μ ) E] ( Q H 1 + μH 2 ) E) 其中 : Q 为 n ×n 阶可逆矩阵 ; E 为 ( m - n) ×( m - n) 阶单位矩阵 ; H1 , H2 同前 . 由于 | Q′ E | = | Q′ | =| Q|
r
而 λ| A |
m
1
= | λ( A | λ( Q′
m
= E) ( Q = λ| Q |
2
m
E) ( H1 | H1 |
m
E) |
2
m
1
=
m
(λ + μ )
r- n r
|λ A +μ B|
1
1
矩阵和行列式复习知识点(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】矩阵和行列式复习知识梳理9.1矩阵的概念： 矩阵：像[27]，[4202]，[945354]的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；① 矩阵行的个数在前。
② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
行向量、列向量单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。
通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。
9.2矩阵的运算 【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；记11122122A A A A A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11122122B B B B B =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+2222212112121111B A B A B A B A B A ，【矩阵乘法】，[A 1A 2]×[A 1A 2]=11122122A B A B A B A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka ==【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点：k [1001]等轴对称变换的变换矩阵：[−1001]、[100−1]、[0110]等旋转变换的变换矩阵：[0−110]等9.3二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。
二阶行列式的值a d D ac bd bc==-展开式ac - bd【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，通过加减消元法转化为方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩其中111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===方程的解为{A =A A A A =AAA用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
高考数学中的行列式解析技巧
高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。
它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。
在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。
本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。
一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。
通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。
行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。
而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。
行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。
以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。
下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。
二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一 引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。
考研数学三必背知识点：线性代数
线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i >时，我们称21i i 组成一个逆序。
一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i τ 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即TAA =(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。
(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。
(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。
(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。
(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。
(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。
(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A λλλ 21= (9) 齐次线性方程组0=Ax有非零解n A r A <⇔=⇔)(03、行列式行列展开定理 (1) 余子式ijji ijA M +-=)1( (2) 代数余子式ijji ijMA +-=)1(4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。
(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。
(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。
(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。
(5)n阶方阵一般可以有1*,,,-AA A A T 四大基本矩阵运算2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T ==, (2) A B B A BA AB === 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A ==--4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,AkkA A B AB AA A AA E A A A AA A A A n n -----=======(2)1)(0)(1)(1)()()(***-<⇔=-=⇔==⇔=n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1)1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1-----------=======ABAB A AA AAA AE A AAAA AA(2) 分块矩阵的逆矩阵 ①111---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AO A O OB O B （主对角分块）② 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（副对角分块） ③11111AC A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B C A B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列(2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：α为行矩阵),,(21n a a a ，β为列矩阵),,(21n b b b ， 则βααβααβαβββαβαβαβα1)()()()())(()(-===k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有Λ=-AP P 1，于是1-Λ=P P A n n (3) 若n B r m A r ==)(,)(，则有m A r B A r =≤+)()(且n B r B A r =≤+)()(三、向量1、向量运算：βαβαλβαλβααββαk k k ±=±±±=±±±=±)(),()(,2、线性表示对于向量组s ααα ,,21和向量β，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k αααβ+++= 2211 (1) 若s s k k k αααβ+++= 2211有唯一解，则β能由向量组s ααα ,,21唯一线性表示。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支，而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量，它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中，行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过如下公式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式，最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，如果A是一个可逆矩阵，那么方程组的解可以表示为：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式，det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值，可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下步骤计算：当n=1时，行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时，可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式，然后递归计算下去，直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外，行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法，比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。
2016考研数学行列式、矩阵、向量知识点详解
2016考研数学行列式、矩阵、向量知识点详解(1)行列式：行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。
行列式计算的主要方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算;第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算;第三，利用特殊行列式来进行计算，如范德蒙行列式，行(列)和相等行列式，广义对角行列式等等，第四，利用特征值来计算行列式。
行列式的应用主要体现在利用克莱姆法则判断方程组解的情况以及如何求解整个方程组，在判断方程组解的情况时只要方程组满足是方形的也就是方程组的个数和未知数的个数相等时往往利用克莱姆法则来判断解的情况来的更快，更简捷。
总之，行列式这个章节整体的落脚点还是在行列式的计算上，在后面章节中求解特征值时都要用到行列式的相关计算。
同学们在复习这个章节的时候一定要多练习，多做习题，特别是具有特殊形式的行列式的计算常用的解题方法和技巧一定要熟记于心，比如说行(列)和相等行列式，处理方法一般都是将其他各行(或各列)都加到第一行(或第一列)上去，然后再做处理。
针对于行列式这个章节，做到多练，多练!向量其实它的本质也就是特殊的矩阵，这个章节的核心考点主要包括：线性相关性的判定、极大无关组的求法、向量组秩的相关性质、施密特正交法。
相关性的判定要掌握定义法、以及线性相关的几个充要条件，掌握利用化行阶梯型求解极大无关组，掌握向量组秩的求法，要会利用施密特正交法把已知的向量组标准正交化。
(2)矩阵：矩阵可以说是贯穿整个线代部分的一条基线，矩阵有对应的方阵行列式，矩阵有对应线性方程组的系数矩阵，矩阵有对应的行向量、列向量形式，矩阵有对应的二次型矩阵等等。
矩阵这个章节是学好整个线代部分的基础，同样也是后面章节所常用的一种工具，当然也是整个线代部分的重点所在。
矩阵这个章节的核心考点主要有：第一，矩阵的运算，包括线性运算(矩阵加法，数乘)、矩阵乘法;第二，矩阵的求逆，求逆的方法主要包括：定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法;第三，分块矩阵，其中分块矩阵所对应的分块行列式的计算是分块矩阵的重点所在，拉普拉斯展开定理的几个常用的分块行列式的计算公式一定得掌握;第四，矩阵的秩，矩阵秩的求解方法以及秩的相关不等式性质，这个是考研的常考点，也是必考点!这个章节复习的时候，需要注意的就是在进行矩阵的运算时一定要非常小心、细心，特别是在对矩阵作初等变换时一步错就步步错，总之这个章节同学们在做题时一定要做到细心，细心!(3)向量：向量其实它的本质也就是特殊的矩阵，这个章节的核心考点主要包括：线性相关性的判定、极大无关组的求法、向量组秩的相关性质、施密特正交法。
线性代数教学中对矩阵的一点注记
摘
*
数学与统计学院 , 湖北
咸宁
437100)
要 : 行列式 、 线性方程 组 、 二次型 、 线性变换 、 线性空间等线性代数理论的研究都是以 矩阵为重要的 工具 , 都以
矩阵的初等变换 、 合同变换来解决问题的 . 本文通过几个例子介绍矩阵的作用 . 关键词 : 线性代数 ; 矩阵 中图分类号 : O 212 线性代数是高等院校一门 重要的基 础数学课程 , 具有 较强的逻辑性、 抽 象性和 广泛 的实用 性 , 学好 线性代 数对 培养学生严密抽象 的逻辑 思维能 力起着 重要的作 用
2 1 2 2 2 3
3 1
由第四行 (全零行 ), ( A4 - A1 - A2 ) + ( A3 - A1 ) = 0 即 A4 = 2A1 + A2 - A3 A1, A2 , A3, A4 线性相关 , A1 , A2, A3 线性 无关 , 是极大 无 关组 , 该向量组的秩为 3. 结论 : 向量组 ( 矩阵 )秩等于 : 在阶 梯形中 , 总行 (列 ) 数 减去全零行 (列 )数 . 2 利用矩阵求线性方程组的解 初等行变换的概 念出 自线 性方 程组 AX = b 的 求解 过 程 . 消元法实际上就相 当于对 线性方 程组的 增广 矩阵的 作 倍加、 倍乘、 互换 的初等变换 , 变换到行的阶梯形 , 从而 进行 判断求解 .
.线
性代数中行列式、 线性方程组、 二次型、 线性变换、 线性空间 等的研究都是以矩阵 为重要的工具 1 矩 阵的初等变换是线 性代数的核心内容 , 矩阵 及其初 等变换 是贯穿 线性 代数中 的一条主线 , 只有把矩阵 及其初 等变换 在线性 代数 中的应 用介绍清楚 , 学生学起来就会很轻松 . 下 面通过典型例子加 以具体阐述矩阵及其 初等变换在线性代数中的应用 . 1 利用矩阵判断向量组的相关性 定理 1: 设 A 为矩阵 , 则矩阵 A 的秩等于它的列向量组 的秩 , 也等于它的行向量组的秩 [ 2] . 定理 2: 矩阵 的行秩等于列秩 [ 2] . 对定理 1 逆向思考 , 一向量组能排成一个矩阵 , 且该矩 阵的秩就是该向量 组的秩 . 所以 可以将 向量组 按行 或按列 排成矩阵 , 因为定理 2 告诉我们矩阵的行秩等于列 秩 , 所以 作初等变换 , 可 以行 变换 也可 以列 变 换 , 变换 到 阶梯 形矩 阵 , 求得矩阵的秩 . 例 1: 判断向量组 A1 = ( 1 , - 1 , 0, 4 ), A2 = ( 2, 1, 5 , 6 ), A3 = ( 1, - 1, - 2, 0 ), A4 = ( 3, 0, 7 , 14 )的线性相关性 . A1 解 设矩阵 A = A2 A3 A4 阶梯形矩阵 . A1 1 A2 2 A3 1 A4 3 -1 1 -1 0 0 5 - 2 7 4 6 0 14 y 1 0 0 0 -1 3 0 3 0 5 -2 7 4 - 2 A - 2A 2 1 - 4 A -A
自考04184-线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点
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例 1 a 为何值时， [答疑编号 10010101：针对该题提问]
解 因为
所以 8-3a=0，
时
例 2 当 x 取何值时，
[答疑编号 10010102：针对该题提问] 解：.
解得 0<x<9 所以当 0<x<9 时，所给行列式大于 0。 （二）n 阶行列式
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自考高数线性代数笔记 第一章 行列式
1.1 行列式的定义
（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义
（1）定义：符号
叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为： 。
注意：在线性代数中，符号 不是绝对值。
例如
，且
；
（2）定义：符号
叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：
1.3 行列式的性质与计算
因为 n 阶行列式是 n!项求和，而且每一项都是 n 个数的乘积，当 n 比较大时，计算量 会非常大，例如，10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值， 这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质， 并利用行列式的性质来简化行列式的计算。
（1.8）
或
（j=1,2,…,n）
（1.9）
其中， 是元素 在 D 中的代数余子式。 （1.8）式称为 D 按第 i 行的展开式，（1.9）式称为 D 按第 j 列的展开式，这里 i,j=1,2,…
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应用行列式证明不等式举例
应用行列式证明不等式举例1. 引言1.1 引言行列式是线性代数中非常重要的概念，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，还在实际的问题中起着关键的作用。
行列式可以用来求解方程组的解、判断矩阵的可逆性、计算向量的叉积等等。
在本文中，我们将讨论应用行列式证明不等式的方法，并通过几个具体的例子加深读者对这一方法的理解。
通过行列式证明不等式是一种常见的数学技巧，它通常可以简化证明过程，使得问题更加易于解决。
在这种方法中，我们会将不等式化为一个行列式的形式，然后通过性质或运算规则来证明不等式的成立。
这不仅可以训练我们的数学思维，还可以帮助我们更深入地理解行列式的性质和运用。
在接下来的内容中，我们将介绍行列式的定义，以及应用行列式证明不等式的方法。
通过具体的举例，我们将展示如何利用行列式证明一些常见的不等式，希望读者在阅读完本文后能够对这一方法有一个更加清晰的认识。
让我们开始探讨行列式在不等式证明中的妙用吧！2. 正文2.1 行列式的定义行列式是线性代数中一个重要的概念，用于研究矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的定义如下：对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，定义为对角线元素之积减去反对角线元素之积的总和，即：|A| = a11a22...ann - a12a21...an1行列式在证明不等式中有着重要的应用，在代数不等式中，经常需要利用行列式的性质来推导和证明不等式的成立。
通过对行列式展开，可以得到关于矩阵元素之间的关系，从而得出对应的不等式。
行列式的应用方法主要包括通过行列式的展开和变换推导出不等式的形式，然后利用已知的数学性质和定理进行进一步的求解和证明。
行列式是证明不等式的重要工具之一，对于一些复杂的不等式问题，通过行列式的方法可以简单而清晰地解决。
行列式是线性代数中的基础概念，对于证明不等式问题有着重要的应用价值。
通过深入理解行列式的定义和性质，可以更好地应用行列式方法解决各类不等式问题。
(完整版)矩阵和行列式复习知识点
|
a2(ka1+1)= a1 - a2 ≠ 0 ，∴有唯一解。
{
‒2
x = ‒1
1
= ‒1
12. 当 a≠1 时方程组的解为 = 0
1
2 =a b -a b =a (ka +1)1 2 2 1
1
2
|
|
|
|
|
|
|
三阶行列式可以按照其任意一行或列展开成该行或列元素与其对应的代数余子式的乘积之
和。
【三元线性方程组】
设三元一次方程组
{
{
1 + 1 + 1 = 1
2 + 2 + 2 = 2
3 + 3 + 3 = 3，其中 x、y、z 是未知数，通过加减消元化简为
所有可能的值中，最大的是
|
____ 。
1
2
3
⋯
9. 在 n 行 n 列矩阵
[
aij (i, j 1, 2 , n)
2
3
4
⋯
1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
‒1
1
⋯
‒2
1
2
⋯
‒ 1 中，记位于第 i 行第 j 列的数为
]
。当 n 9 时， a11 a22 a33 a99 _____
（2017 上海数学）关于 x、y 的二元一次方程组
D为
．
。
2
3. （2015 上海数学）若线性方程组的增广矩阵为 0
[
c1-c2=
3
1
1
x=3
2 解为 = 5，则
矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结
矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结矩阵(Matrix)是现代数学的重要概念之一，它是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。
行列式(Determinant)是矩阵的一个重要性质，用于线性代数中求解方程组、矩阵求逆以及计算特征值等问题。
一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。
一般用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法要求矩阵的行数和列数相等，对应位置上的元素进行相加或相减。
数乘指的是矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘法结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
1.3 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T，即A的转置。
转置后，原矩阵的行向量变成了新矩阵的列向量，原矩阵的列向量变成了新矩阵的行向量。
二、行列式的基本概念2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数学运算。
对于一个n阶方阵A，其行列式定义为一个数D，记作|A|或det(A)。
行列式的计算方法有代数余子式法、行列式按行（列）展开法等。
2.2 行列式的性质行列式具有很多重要的性质。
其中包括行列式的可加性、行列式的数乘性、行列式的转置性质等。
这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。
三、矩阵与行列式的应用3.1 解线性方程组矩阵与行列式在解线性方程组中有着广泛的应用。
通过行列式的性质和高斯消元法，可以快速求解线性方程组的解。
3.2 求矩阵的逆行列式的概念在求矩阵的逆中起到了关键的作用。
如果一个n阶矩阵A的行列式不等于零，那么A是可逆的，可以通过行列式的计算求解矩阵的逆。
矩阵的逆在许多应用中都有着重要的地位。
3.3 计算特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个重要概念。
矩阵与行列式算法初步知识点
矩阵与行列式考试内容：矩阵的意义．行列式的意义以及对角线法则． 算法的含义以及逻辑结构． 考试要求：（1）会用矩阵的记号表示线性方程组． （2）掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）展开的方法．会利用计算器求行列式的值．（3）掌握二元、三元线性方程组的公式解法（行列式表示），会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论．（4）在具体问题的解决过程中，理解程序框图的逻辑结构：顺序，条件分支，循环．矩阵与行列式 知识要点1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。
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关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一 引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。
而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。
基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
关于文中的符号，矩阵M 的转置记为'M ；方阵M 的共轭转置记为'M ；方阵M 的行列式记为M 或M det ，其模记为M det ；()M t j 表示矩阵M 的特征值。
二 实矩阵的若干行列式不等式及证明命题1 对于实数域上的n n ⨯阶矩阵P 、Q ，若他们是正定矩阵，则Q P Q P +≥+.为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）：在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵M 、N ，若M 是正定矩阵，N 是对称矩阵，则存在可逆矩阵T ，满足()T N M T +'是对角阵。
证明 由M 的正定性知，M 与单位矩阵E 合同，则有MA A E '= （1） 成立，这里A 是实可逆矩阵。
又由于N 是对称矩阵，则NA A '是对称阵。
从而存在正交矩阵B ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=''n t t t B NA A B 21 （2） 这里i t 是NA A '的特征值，n i ,,2,1 =. 下令AB T =，则有()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T N M T 11121 （3） 证毕。
下面证明命题1：证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵T ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T Q P T 11121 ， 这里i t 是Q P +的特征值，且0>i t ，n i ,,2,1 =.则()()()n t t t T Q P +++=+111212由命题（*）的（1）式知 12=A P 由命题（*）的（2）式知 n t t t A Q 212= 又因为AB T =,B 是正交矩阵，所以1±=B ,且2222A B A T==由Q 的正定性知，QA A '正定；又因为0>i t ，那么()()()n t t t A Q P +++=+111212n t t t 211+≥ （4） 而 []n t t t A Q P 2121+=+ （5） 结合（4）（5）两式，得Q P Q P +≥+例1 在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵P 、Q ，如果P 是正定矩阵，Q 是半正定矩阵，则P Q P ≥+当且仅当0=Q 时取等。
证明 由题设可知Q P +正定，()P Q P -+半正定，P 正定，则根据命题1可知P Q P ≥+.)i 当0=Q 时，P Q P =+;)ii 当0≠Q 时，Q 的秩不小于1，而P 是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵T ，满足PT T E '= （6） ()QT T E T Q P T '+=+' （7） 记QT T A '=,则秩1≥A .记A 的特征值为n t t t ,,,21 ，因为A 的秩不小于1，QT T A '=是半正定矩阵，则至少存在一个0>i t ，n i ,,2,1 =.事实上可设01>t ，则n t t t +++1,,1,121 为E A +的特征值，且111>+t ， 由（7）有()()21211't t E A Q P T T Q P T ++=+=+=+…()n t +1所以21TQ P >+,结合（6）有21TP =,则P Q P >+,综上)i 、)ii ，得证。
例2 对于半正定矩阵M ，若0≠M ，证明：1>+E M . 证明 令E P =、M Q =，则根据例1即有1>+E M 成立。
命题2 若()n n ij t T ⨯=是正定矩阵，则nn t t t T 2211≤. 证明 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-nn n n n n n t t t t t t t t t T 2122221112111由矩阵T 的正定性知，1-n T 正定，且0>ii t ，n i ,,2,1 =. 所以nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T 1,211,12,11,11,222211,112111,21,11,12,21,121,2222111,112110000---------------+=11--=≤n nn n nn T t T t .同理可证1,121----≤n n n n t T T ； 依次进行下去，可得nn t t t T 2211≤. 根据命题2可推出下面的一个命题：命题'2 设n εεε,,,21 是n n ⨯阶方阵T表示列向量i ε的长度，则有=≤ni T 1成立。
注：在实数域上，命题'2的所有平行六面体，体积最大的是长方形。
命题3 若()n n ij t T ⨯=是n 阶实矩阵,且T 的元素ij t 满足λ<ij t （λ是常数），n j i ,,2,1, =.则2det nnn T λ≤.证明 根据题设条件可知T T '是半正定矩阵，而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=222212222222************'nn nn nn t t t t t t t t t T T（8） 结合命题2可知（8）式中()()()222212222222121212211nn n n n n t t t t t t t t t T T +++++++++≤'n n n n n n 2222λλλλ=⋅≤所以 2det nnn T λ≤. 故得证。
注：该命题中的不等式称为Hadamard 不等式。
命题4 在实数域上，记n n ⨯阶矩阵T 为()n T εεε,,,21⋅⋅⋅=，n εεε,,,21⋅⋅⋅为n 维单位向量，则有1det ≤T 成立，当n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
证明 )i 由题设可知，T T '是半正定矩阵，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n n n T T T εεααεεεεεεεεεεεεεεεεεε''''''''''''1212221212111 这里()121,,,-=n n n nεεεεα . 所以ααεα'-='='11T T T n （9）T α21≤-=则1=≤'T T ，故12≤T ，从而11≤≤-T ，所以1det ≤T . )ii 一方面，当1det =T 时，有1=T 或1-=T .又T T '是半正定矩阵，则TT '是正定矩阵，结合（9）式知 0='αα. 所以()0,=n i εε，1,,2,1-=n i . 根据T T '的正定性可知，T T '的各阶顺序主子式大于零，则()0,=j i εε，j i ≠.故n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
另一方面，n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时，1=='E T T ,则12=T,从而1det =T .命题5 在实数域上，对于n n ⨯阶的正定矩阵P 、Q ，有()λλλλ-≥-+11QP Q P成立，这里[]1,0∈λ.证明 欲证 ()λλλλ-≥-+11QP Q P即证 ()[]λλλλ--≥-+111QP E P Q Q 只需证 ()λλλλ--≥-+111QP E P Q Q只需证 ()λλλλ111--≥-+QP E P Q由Q 的正定性知，1-Q 正定，而P Q 1-的特征值i t 全部大于零，而对于方阵，其行列式与其特征值之和相等，可知()()λλλλ-+∏=-+=-1111i ni t E P Qλλλλi ni t P Q QP 111=--∏==对于每一个固定的i ，当[]1,0∈t 时，有λλλi i t t ≥-+1，则()λλλi ni i n i t t 111==∏≥-+∏，从而()λλλλ111--≥-+Q P E P Q ,综上，得证。