中考数学等腰三角形专题复习公开课精品PPT课件
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2024年九年级数学中考专题：二次函数等腰三角形存在性问题 两圆一线课件
C
二、两圆一线画法
尺规作图
二、两圆一线画法（尺规作图）
1、探究实验：以线段AB为边做一个等腰三角形？ 2、作图：如图，在平面直角坐标系找一点P，使得ΔABP为
等腰三角形，则满足要求的点P 有几个？
三、例题解析
二次函数等腰三角形存在性问题 -----两圆一线
三、例题解析
如图,抛物线与x轴交于A. B两点,与y轴交C点,点A的坐标 为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−0.5 (1)求抛物线的解析式； (2)M是坐标轴上任意一点，当△MBC为等腰三角形时， 求M圆一线
目录
CONTENTS
一、等腰三角形 二、两圆一线画法 三、例题解析 四、方法归纳
一、等腰三角形
一、等腰三角形
等腰三角形 定义：
有两条边相等的三角形为等腰三角 形，相等的两条边叫做腰
如图：ΔABC,AB=AC, 则ΔABC为等腰三角形
A
B
做题技巧
1、做题工具： 圆规，直尺
2、做题方法： 两圆一线
3、做题思想： 数形结合，分 类讨论
谢谢
轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件 的所有点P的坐标
2.如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交 于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
四、方法归纳
四、方法归纳
2、分类讨论
4、写结果
1、先作图
3、计算点的坐标
五、学以致用
五、学以致用
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点 （A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，4.5） （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称
等腰三角形ppt课件
新课讲授
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言： ∵∠A=60°，AB=AC， ∴ AB=BC=AC （或△ABC是等边三角形）.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
新知探究 你能说出“等腰三角形的两个底角相等”这个定理条 件和结论吗？请写出它的逆命题。
逆命题:有两个角相等 的三角形是等腰三角形
这个命题是真命题么？你能证明么？
新知探究
活动探究：画△ABC，使∠B＝∠C, 量一量，线段AB与AC的长度.
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
新课讲授
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，
证明 ： ∵ AB=AC，
性质定理
∴ ∠B=∠C（等边对等角）.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴ ∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
判定定理
例题讲解
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
类比探究
等腰三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有两条边相等的三角形是
等腰三角形(定义). 方法二: 从角看
有两个角相等的三角形是 等腰三角形.
等边三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有三条边相等的三角形是
等边三角形(定义). 方法二: 从角看
有三个角相等的三角形是 等边三角形.
新课讲授，
中考数学一轮复习：第19课时等腰三角形课件
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4. (202X龙岩5月质检8题4分)三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，
则∠1＋∠2的度数为( B )
A. 90°
B. 120° C. 270°
D. 360°
第4题图
No
B. ∠AEF＝ 12∠ABC D. ∠AEB＝∠ACB
No
第1题图
第19课时 等腰三角形
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2. (202X莆田5月质检14题4分)如图，△ABC中，AB＝3 5 ，AC＝4 5 ，点F在
AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E.若点D为BC中点，则DE的长为 5
____2____．
第2题图
例题图①
例题图②
No
第19课时 等腰三角形
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类型一 等腰三角形的判定及计算(202X.5)
1. (202X宁德5月质检10题4分)如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，
线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF.则下列关
系正确的是( B ) A. ∠AFE＋∠ABE＝180° C. ∠AEC＋∠ABC＝180°
第1题图
No
第19课时 等腰三角形
解：在△BAD和△CAD中，
AB＝AC
BD＝CD ，
AD＝AD
△BAD≌△CAD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，AD⊥BC，
即AD是底边BC的高．
∴BC边上的中线、高以及∠BAC的平分线互相重合
No
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返回思维导图
第19课时 等腰三角形
No
第19课时 等腰三角形
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类型二 等边三角形性质的相关计算(202X.5)
等腰三角形的复习ppt课件
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
中考专题复习--等腰三角形中的旋转(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册+
拓展延伸：（3）直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角的度数.
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。
等腰三角形课件PPT
等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
中考数学专题复习课件(第20讲_等腰三角形)
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
7．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.
举 一 反 三
(1)求△ABC 的面积 S； (2)判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明．
考 点 训 练
答案：(1)S＝4 3 (2)AC⊥DE
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
6． 如图， △ABC 内有一点 D， 且 DA＝DB＝DC， 若∠DAB＝20° ， ∠DAC＝30° ， 则∠BDC 的大小是( A ) A．100° B．80° C．70° D．50°
举 一 反 三
考 点 训 练
)
(3)(2010· 烟台 )如图，在等腰三角形 ABC 中， AB＝ AC，∠ A＝ 20° .线段 AB 的垂直平分 线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连结 BE，则∠ CBE 等于( ) A． 80° B． 70° C．60° D．50°
举 一 反 三
考 点 训 练
例 1(3)题
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举 一 反 三
【解答】 (1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7， 该三角形三边为 7、 7、 3.故选 B. (2)当 40° 为底角时，顶角为 100° ； 40° 也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB ，∴EA ＝ EB ，∴∠EBD ＝∠A ＝ 20° .∵∠ A ＝ 20° ， AB ＝ AC ， ∴∠ABC＝∠C＝80° ，∴∠CBE＝80° －20° ＝60° ，故选 C. 考 (4)等腰三角形分别是△ ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A. 点
2023年河北省中考数学复习全方位第18讲 等腰三角形直角三角形 课件
AB于D,交AC于E,BC=6cm.求:
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
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命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
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5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
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6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
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命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
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5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
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6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
等腰三角形ppt课件
02
等腰三角形的判定
定义与判定方法
定义：有两边长度相等的三角形称为等 腰三角形。
3. 角平分线法：若一个三角形一个角的 平分线等于其对应边的高线，则该三角 形为等腰三角形。
2. 中线法：若一个三角形中线等于其一 半长度，则该三角形为等腰三角形。
判定方法
1. 定义法：根据等腰三角形的定义，只 需判断一个三角形有两边长度相等即可 。
等腰三角形性质定理的推广与拓展主要涉及以下几个方面：一是推广到更复杂的几何图形中，如平行四边形、菱 形等；二是拓展到三角函数中，用于研究三角函数的对称性和周期性等问题；三是拓展到物理学中，用于研究力 矩平衡等问题。
04
等腰三角形的实际应用
建筑中的等腰三角形
总结词
建筑美学与等腰三角形的完美结合
详细描述
性质定理的应用举例
总结词
等腰三角形性质定理的应用场景及实例
详细描述
等腰三角形性质定理的应用场景广泛，例如在几何、三角函数、建筑等领域都有 应用。以几何为例，通过等腰三角形的性质定理可以证明一些重要的几何定理， 如勾股定理、余弦定理等。
性质定理的推广与拓展
总结词
等腰三角形性质定理的推广及拓展方向
详细描述
等腰三角形在实际VS
详细描述
等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用 ，它是解决问题的重要工具。例如，在物 理学中，等腰三角形可以用来解决力臂平 衡的问题；在生物学中，可以用来解释 DNA分子的结构；在经济学中，可以用 来分析股票市场的波动等。
05
等腰三角形的相关练习题及 解析
边角关系在判定中的应用
等边对等角
在等腰三角形中，相等的两边所对的角也相等。
三角形内角和定理
2024年中考数学复习课件 第17讲 等腰三角形与直角三角形
返回命题点清单
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8.(2019·三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手.将一对
直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,
∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度
是 15-5 .
6
7
8
9
10
11
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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方法指导
1.在解决与直角三角形相关问题时,要联想到与其相关的知
识:(1)两锐角互余;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜
边的一半;(4)30°角所对直角边等于斜边的一半.
2.常过直角三角形直角顶点作斜边垂线,构造相似三角形求
线段长度.
例2
3
4
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 重难突破
命题点 2 直角三角形的性质及计算
返回栏目导航
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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命题点 1 等腰三角形的性质及计算 (贵阳6年1考,遵义6年2考,毕节
6年1考)
1.(2020·毕节9题3分)等腰三角形的两条边长分别为3和7,则这个等腰
三角形的周长是 ( C
A.10
湘教:八上P61~P67,八下P2~P18
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第17讲
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等腰三角形与直角三角形— 思维导图
定义
定义
性质
性质
直角三角形
等腰三角形
判定
判定
等腰三角
形与直角
三角形
定义
性质
判定
等边三角形
第四单元 第十九讲 等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
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1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方
中考数学冲刺复习——等腰三角形的性质与判定(共35张PPT)
等腰三角形的性质与判定
01 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2．等腰三角形顶角的角分线、底边上的中线、底边上
的高互相重合，简称“三线合一”.
1.等腰三角形顶角为150°，则底角度数为____.
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4
2. 等腰三角形一个角为70°，则其余两个角的度数为
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3.若一个三角形的三个角度数之比是1∶4∶1，则这个三角形按边分类应为________三角 形.
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4.如图，在 中，∠BAD=80°，∠B=50°，∠C=25°，若CD=2，则AB=______.
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5．如图， 中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB=12， AC=18，则 的周长为______.
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7．如图，在等腰三角形△ABC中，顶角∠A=50°，边AC的垂直平分线交AB边于E，则∠BCE的度数为_________.
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8．如图，已知AC⊥BD于E，AB=BC.求证：∠1=∠2.
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9. 如图， 中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，G是EF的中点，且BD=CF，BE=CD. 求证：DG⊥EF.
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2.如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为(4,3)，动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位 长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒． (1)请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式________，此时t的取值范围是________． (2)若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停 止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？ (3)在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
01 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2．等腰三角形顶角的角分线、底边上的中线、底边上
的高互相重合，简称“三线合一”.
1.等腰三角形顶角为150°，则底角度数为____.
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2. 等腰三角形一个角为70°，则其余两个角的度数为
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3.若一个三角形的三个角度数之比是1∶4∶1，则这个三角形按边分类应为________三角 形.
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4.如图，在 中，∠BAD=80°，∠B=50°，∠C=25°，若CD=2，则AB=______.
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5．如图， 中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB=12， AC=18，则 的周长为______.
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7．如图，在等腰三角形△ABC中，顶角∠A=50°，边AC的垂直平分线交AB边于E，则∠BCE的度数为_________.
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8．如图，已知AC⊥BD于E，AB=BC.求证：∠1=∠2.
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9. 如图， 中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，G是EF的中点，且BD=CF，BE=CD. 求证：DG⊥EF.
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2.如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为(4,3)，动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位 长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒． (1)请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式________，此时t的取值范围是________． (2)若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停 止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？ (3)在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1 2
注意：等腰三角形中，底边上的中线， 高线，顶角的平分线之间互相转化.
4 3
D
探究
例：如图，在△ABC中，AB=AC，BM平分∠ABC， CM平分∠ACB. 变式1：过点M作EF∥BC，分别交AB、AC于点E和F.
（1）ΔBEM是等腰三角形吗？ 共有几个等腰三角形？
（2）BE，EF，CF之间的长度有何关系？
（3）若AC=12,求ΔAEF的周长.
（4）若把等腰ΔABC改为一般三角形，
其他条件不变,当AC=12,BC=8 时，
你能求ΔAEF的周长吗？
EE
M
F
ΔAEF的周长=AC+BC=20
5 1
B2
几何三兄弟：角平分线 +平行线
等腰三角形
注意！！！ （1）角平分线必须与两条平行线相交
（2）三兄弟中已知任意两个可以得到第三个
G
归纳
A
E
D
B
C A
数学模型
D EF
B
C
两线一等腰
几何三兄弟：角平分线 + 平行线
等腰三角形
注意！！！ （1）角平分线必须与两条平行线相交
（2）三兄弟中已知任意两个可以得到第三个
提升
已知：如图，AC // BD，AE平分CAB，BE平分ABD，
且C、E、D共线.
求证：AB AC BD.
F
G
E
C
D
B
A
构造等腰三角形
收获
我
我
我
回
了
学
顾
解
到
了
了
了
。
。
。
。
。
。
。
。
。
谢谢大家！
再识等腰三角形
——转化思想的应用举例
转化思想：
再识等腰三角形
——转化思想的应用举例
把所要解决的问题转化为另一个较易解决或已经解决的问题。
类型： 1.角与角的转化
2. 边与角的转化 3. 边与边的转化
回顾
A
1. 如图是一张等腰三角形的纸片.
➢若 B C ，你能获得什么结论？B
AB=AC
➢若AB=AC，你能获得什么结论？
D
C
B C
➢若AB=AC ，BD=CD，你能进一步获得什么结论？ AD BC AD是BAC的平分线
➢1
探究
例：如图，在△ABC中，AB=AC，BM平分∠ABC， CM平分∠ACB.
（1）求证：BM=CM. （2）连结AM，求证：AM⊥BC.
AM⊥BC
三角形中， 证垂直，想三线 △BAM≌△CAM
A
E5
12
B
M C
已知：BM平分∠ABC，BE=EM. 求证：EF∥BC
角平分线 + 等腰三角形
平行线
已知：EF∥BC，BE=EM. 求证：BM平分∠ABC
平行线 + 等腰三角形
角平分线
探究
变式2：如图，∠ABC的平分线BM、△ABC的外角平
分线CM相交于点M,，过点M作ME∥BC，交直线AB
于点E，交直线AC于点F。 （1）图中有等腰三角形吗？ （2）线段BE，EF，CF之间有什么关系？