向量的背景与共线概念.
人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】 在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？ 解 是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的 知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出 来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示 向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有 大小又有 方向 的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有 方向的线段，它包含三个要素： 起点 、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题 猫能否追到老鼠？ 提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？ 本节就来学习这方面的知识.
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面平面向量是在平面上有大小和方向的矢量，可以用有向线段表示。
共线是指两个或多个向量具有相同的方向或相反的方向；共面是指多个向量所在的直线都在同一个平面上。
本文将从定义、判定条件、性质和几何意义等方面探讨平面向量的共线与共面。
一、定义平面向量是具有大小和方向的有序对。
用有向线段AB表示向量，表示为AB。
向量有起点A和终点B，起点和终点相同的向量为零向量，记作0。
在平面上，如果两个向量的起点或终点相同，则这两个向量是共线向量。
二、共线的判定条件两个向量共线的判定条件有两种：一种是通过向量的倍数关系判定，另一种是通过向量的坐标表示判定。
1. 倍数关系判定：给定两个向量a和b，如果存在一个数k，使得a=k·b，则a和b共线。
根据这一判定条件，可以得出两个向量共线的必要条件为它们的方向相同或相反。
2. 坐标表示判定：设向量a的坐标表示为a=(x1, y1)，向量b的坐标表示为b=(x2, y2)。
如果a、b不是零向量且有x1/x2=y1/y2，则a、b共线。
三、平面向量共线的性质共线向量具有以下性质：1. 共线向量的线性运算：对于共线向量a、b和任意实数k，有a+b和ka也是共线向量。
2. 共线向量的倍点共线：给定向量a和b，那么a和b的中点与a之间的向量、a和b的中点与b之间的向量也共线。
3. 共线向量的加法：对于共线向量a和b，它们之和等于共线化简为k个单位向量（k为实数），即a+b=k。
四、共面的判定条件三个平面向量A、B和C共面的判定条件为：存在实数x、y和z，使得A=x·B+y·C。
五、平面向量共面的性质共面向量具有以下性质：1. 共面向量的线性运算：对于共面向量A、B和任意实数x、y，有x·A+y·B也是共面向量。
2. 共面向量的线性组合：对于共面向量A1、A2、A3和任意实数x1、x2、x3，有x1·A1+x2·A2+x3·A3也是共面向量。
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
向量的共线公式
向量的共线公式向量的共线公式指的是两个向量在同一直线上的条件。
当两个向量在同一直线上时，它们被称为共线向量。
共线公式是判断两个向量是否共线的一种数学公式。
在本文中，将会介绍以下内容：什么是向量，向量的性质，向量的共线性，共线公式的推导方法和应用实例。
什么是向量？向量是数学中一个重要的概念，它是两个点之间的有向线段。
向量通常表示为箭头，箭头指向的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在直角坐标系中，一个向量可以由它的坐标表示。
向量的性质向量有以下的性质：1. 方向性：向量有明确的方向，可以用箭头来表示。
2. 数量性：向量有大小，可以用长度来表示。
3. 合成性：两个向量可以相加，合成成一个新向量。
合成向量的方向是两个原向量的方向之和，大小是两个原向量的长度之和。
4. 平移不变性：向量可以沿着直线平移而不改变它的性质。
5. 旋转不变性：向量可以绕着一个点旋转而不改变它的性质。
向量的共线性共线向量有以下的性质：1. 共线向量在同一直线上，方向相同或相反。
2. 共线向量的长度可以不同，但是它们的方向必须一致或相反。
3. 零向量与任何向量都是共线的。
4. 如果两个向量共线，那么其中一个向量可以表示为另一个向量的倍数。
也就是说，如果两个向量A和B共线，那么A=kB，其中k是一个实数。
共线公式的推导方法我们假设有两个向量A和B。
如果A和B共线，那么它们的方向相同或相反。
我们可以用向量的数量积(cosθ)来判断这两个向量的方向是否一致或相反。
向量的数量积定义为AB的模长|A|和B的模长|B|以及夹角θ的余弦值cosθ的乘积，即ABcosθ。
当A和B的方向一致时，θ=0度，如果两个向量A和B的数量积等于A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos0=|A||B|，那么这两个向量共线。
当A和B的方向相反时，θ=180度，如果两个向量A 和B的数量积等于-A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos180=-|A||B|，那么这两个向量共线。
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
6.1 平面向量的概念 (精讲)(原卷版)
6.1平面向量的概念 (精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终AB. 表点的有向线段记作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示（3）向量的模AB.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作||（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.与0的区别与联系,0是一个向量|0|；书写时0表示零向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行,记作a b .规定:零向量与任意即对于任意向量a ,都有0a .长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等,记作a b =.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量与有向线段的起点无关.）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合·高一课时练习）下列四个命题正确的是（ ）．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．两个相等的向量起点、方向、长度必须都．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是||||a b =，则a b =．若a b =，则||||a b = ||||a b >，则a b > ||0a =，则0a = ．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b |=|，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；m n =，n k =，则m k =；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑥有向线段就是向．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（．向量AB与向量BA的长度相等例题2．（BD=________.例题3．（·全国·高一专题练习）若在一个边长为的正三角形所对应的有向线段为AD（其中则向量AD的模的最小值为高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行机飞行的路程为s，位移为a，那么（a aa a不能比大小2022·高一课时练习）已知在边长为ABCD中，∠，则BD=2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，AB是圆O的直径，是圆周上一点，π=⊥CD=___________.,CD角度2：零向量与单位向量典型例题．向量就是有向线段>，则a b||||a b>．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（e=．单位向量均相等．单位向量1．零向量与任意向量平行．若向量a，b满足||||a b=，则a b=±．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（．若0a =，则0a =．零向量是没有方向的 ．（多选）（2022春·广东佛山向量的说法正确的是（ ）．单位向量：模为1的向量例题1．（2022春·广东揭阳·中，AB DC =，则下列向量相等的是（．AD 与CB．OC 与OA ．AC 与DB D ．DO OB =例题2．（2022·全国·高三专题练习）“a b =”是“||||a b =”的（ ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）||||a b =，则a b = B ．若a b ≠，则||||a b ≠||||a b =，则a 与b 可能共线||||a b ≠，则a 一定不与b 共线(1)分别写出与AO 、BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；写出与AO 的模相等的向量；写出与AO 的夹角为90︒的向量；向量AO 与CO 是否相等？（多选）（2022秋·浙江嘉兴若非零向量a ，b ，下列命题正确的是．若a b =，则a b =．若a b =，则a b = ．若//a b ，则a b = ．若a b =，则//a b．（多选）（2022秋·山东菏泽高一统考期中）设点O 是平行四边形ABCD 点，则下列结论正确的是（ ）．AO OC = B ．AO BO = ．AO BO = D ．AB 与CD 共线 ．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 中点.(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知,,,A B C D 为平面上四点，则“向量AB CD ∥”是“直线AB CD ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3同类题型演练1．（2022秋·湖北·高一校联考期中）“//b a ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）命题：若//,//a b b c ，则//a c ，则命题为_______（填写：真命题或假命题）3．（2022·高一课时练习）已知命题“若//a b ，//b c ，则//a c ”是假命题，则b =__________.。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
共线向量的定义是什么
简析高校经济责任审计风险的成因及防控对策2022年7月，国家在综合实践经验的基础上，为适应十八大以来形势发展的需要，中央纪委机关牵头七部门联合发布《党政主要领导干部和国有企业领导人员经济责任审计规定实施细则》，此举表明我国经济责任审计工作推进到了新的阶段。
新发布的细则明确并完善了经济责任审计的对象、内容、评价、报告、结果运用和组织领导与实施等内容。
这为高校经济责任审计工作指明了方向，也对高校有关领导者和审计人员提高审计质量、防控审计风险提出了新的要求。
一、高校经济责任审计风险的特点高校经济责任审计风险，是指高校审计人员在实施审计行为的过程中，基于各类因素影响而漏判或者误判了责任人应负的责任，发表了与真实状况不一致的审计评价，致使被审计方产生损失，并引起审计部门及人员承担相应责任的可能性。
该风险具有如下几个特点:一是客观性。
在政策变化、业务复杂、相关责任人道德水平等因素的影响下，容易产生审计结果与事实不相符的状况。
虽然有的风险没有造成十分严重的后果，或者审计人员尚未发生实际的损失，但是风险总是存在于审计活动之中。
因此，相关人员易于了解并防控审计风险，也往往能于时空制约下控制风险滋生及发展的条件，但对彻底消除风险却无能为力。
二是不确定性。
审计风险来自于客观因素抑或审计人员的主观认识。
风险发生的环节、所属的性质、产生的后果和影响在审计之前较难判断。
同时，由于高校经济责任范围的广泛性，当前的审计方法无法实现全方位覆盖，这也加大了风险的偶然性与不确定性。
三是敏感性。
若经济责任审计评价无法真实反映客观实际，不但会对经济责任人所在部门或单位的决策造成影响，也会限制责任人的任用，甚至导致湮灭审计信誉，降低群众信任度。
因而，该类误判所导致的后果比其他类型审计更严重，人们所能接受的误差也小得多，审计风险更高。
四是可控性。
审计风险的客观性增加了经济责任审计的难度，但是经过经验积累与主观努力，随着法规、制度的完善，利用改进的审计手段，能够实现把审计风险控制在合理范围内，最大限度减少失误。
3.1.2共线向量与共面向量
OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且 求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一 点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线 其中 x y 1
3：直线的方向向量 定义：与直线L平行的非零向量叫做直 线L的方向向量 L 显然：一条直线的 方向向量不是唯一的 有了直线的方向向量这一概念 立体几何中很多问题就可以用向量的知识和 方法解决，如证空间中的两直线平行，只需 证它们的方向向量平行就可以了，计算两异 面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
平面向量共线定理和等和线课件
平面向量和等和线的方向是相同的，即如果一个向量和一个等和线对应，那么它们的方向也是一致的。
平面向量与等和线在解析几何中的应用
解析几何的基本问题
在解析几何中，平面向量和等和线是解 决基本问题的工具。例如，两点间的距 离问题、直线的斜率问题等，都可以通 过平面向量和等和线来表示和解决。
定义
在平面上，如果一条直线上的任意点 与给定点（非该直线上任意点）所确 定的向量与该直线方向相反，则称该 直线为等和线。
性质
等和线上的任意点与定点的连线和该 直线方向相反。
等和线的判定与性质的应用
判定
若一直线上任意点与定点所确定的向量与该直线方向相反，则该直线为等和线。
应用
利用等和线性质可以证明共线定理，也可以解决一些解析几何问题。
等和线在解析几何中的应用
解析几何中常常涉及到直线、曲线等几何对象，而等和线是研究这些对象的重要工 具之一。
利用等和线可以研究直线与定点之间的位置关系，也可以研究曲线上的点的性质。
在一些较复杂的解析几何问题中，等和线还可以与其他数学工具结合使用，从而解 决更为复杂的问题。
平面向量与等和
03
的系
平面向量与等和线的相互转换
2. 已知点 P(2,3) ，圆 C ： x^2+y^2=100 ，求点 P 关于圆C的等和线方程。
等和线的习题与解析
解析
1. 根据等和线的定义，点A(1,2)关于点B(3,-1)的等和线方程就是向量AB与x轴正向夹角 的正切值的相反数的绝对值乘以x轴正向夹角的正切值。根据已知条件，可以计算出向 量AB与x轴正向夹角的正切值为-1/4，因此点A关于点B的等和线方程为y=-1/4x+5。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
向量复习
3 2 3
4a 3b
1b 1 34
rr
使b a. rr
即a与b共线
r r rr
b a (a 0)
b
1长度：
a
方向：当b与a同向时，b a；当b与a反向时，b a
(2)a 0
(3)实数有且唯一
向量共线定理应用
1. 定理:向量 b与非零向量
且只有一个实数 ,使得.b
a共a线的充要条件是有
2. 定理的应用：
1).证明 向量共线
D→C＝14A→B，B→E＝2E→C，且A→E＝rA→B＋sA→D，则
2r＋3s＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
思考: (1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
rr b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立? 成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
2).证明 三点共线: AB=λBC
AB ∥ BC
又B为公共点 A,B,C三点共线
3).证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注 意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线 重合,而两向量平行则含两向量重合.
引入1： 香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
1、向量加法的三角形法则
A
B
a
a
a
a b
aa b
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
共面、共线、平行向量的定义及判定
共面、共线、平行向量的定义及判定向量是数学中一个极为重要的概念，它的应用范围广泛，不仅存在于高等数学、线性代数中，也广泛应用于物理、力学等学科。
作为向量中的重点概念，共面、共线、平行向量在向量的运算及应用中有着不可忽略的地位。
本文将详细介绍这三种向量的定义及判定方法。
共面向量共面向量指的是三维向量中处于同一个平面内的向量。
形式上，如果有3个向量a、b、c，且它们处于同一平面内，则称它们是共面向量。
我们可以通过向量的线性组合来判断向量是否共面。
具体来说，设有三个向量a1、a2、a3①当a1、a2、a3线性无关时，它们不共面。
②当a1、a2、a3线性相关时，可通过向量线性组合来判断它们是否共面。
如果能够用a1、a2、a3的线性组合表示出零向量，则a1、a2、a3共面。
如果不能表示为零向量，则a1、a2、a3不共面。
共线向量共线向量指的是两个或多个向量在同一条直线上的向量。
若有2个向量a、b，则称它们是共线向量。
与共面向量类似，我们也可以通过向量的线性组合来判断向量是否共线。
具体来说，设有两个向量a、b①当向量a、b不共线时，它们不共线。
②当向量a、b共线时，可通过向量线性组合来判断它们是否共线。
如果我们可以用一个实数k表示向量a、b，即满足b=ka，则a、b共线。
否则，a、b不共线。
平行向量平行向量指的是在同一平面内且方向相同或相反的向量。
若有两个向量a、b，则称它们是平行向量。
平行向量的判定方法有两种：一是通过向量积判定，二是直接比较方向。
①通过向量积判断：当向量a、b的向量积（即叉积）等于0时，它们是平行向量。
即axb=0。
②通过比较方向判断：当向量a、b的方向相同或相反时，它们是平行向量。
具体来说，可以通过判断两个向量内每个坐标上的值的比例是否相等来确定向量的方向是否相同。
总之，对于向量的共面、共线、平行关系，我们需要通过向量线性组合、向量积判定、直接比较向量方向等方法来进行判断。
熟练掌握判断方法，可以使我们更好地理解向量的性质及操作规律。
3.1.2共线向量与共面向量
b C b A B a
P
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
类似地,有空间向量基本定理:
b E
p
O C
A
对向量 p 进行分解,
D
B
OB OC OD OE BA c p
作 AB // b, BD // a, BC // c
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
得证.
为什么?
练习：
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
如果向量a的基线OA与平面 平行或在内,称向量a平行 ,记作a//
二.共面向量:
1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量就不一定共面的了。
平面向量基本定理：
如果是 e1，2 同一平面内两个不共线的 e 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数1，2，使 a 1 e1 2 e2 a
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
共线向量和共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
rB br
M aA
ur p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
u u u u r u u u u r u u u u r M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O u u P u r O u u M u u r x u M u u A u r y u M u u B u r
四点E、F、G、H共面；
D A
C B
D' A'
B'
1.下列命题中正确的有：
u r r ru rrr ( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
u rrr u r r r ( 2 )p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
u u u u ru u u u ru u u u r ( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
，O为空间任意一点，求证：
O uuPur O uuAur O uuBur 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
rr 2.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量a , b 不共线,则向量 p与向量 a u共r, b面的充r要 r 条件是存在实数对x, y使 Pxayb
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量平行
讲授新课
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
不一定 (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量 (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是什么向量？ 平行向量
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述 理由.
(1)向量 AB与 CD 是共线向量，则A、B、C、D 在一直线上； (2)单位向量都相等； 四点必
(× ) (× )
(3)任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不 相等； (× ) (4)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。(×) (5)若非零向量AB//CD ，那么AB//CD (6)若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反
(× ) (× )
讲授新课
例2. 判断： (1) 不相等的向量是否一定不平行？ 不一定 (2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？ 零向量 (3) 两个非零向量相等的条件是什么？ 长度相等且方向相同 (4) 共线向量一定在同一直线上吗？ 不一定
2.1.1
向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示
2.1.3
相等向量与共线向量
嘻嘻!大笨猫!
唉, 哪儿 去了?
A
B
标量 物理
向量的两要素：大小、方向
数学 数量 矢量
只有大小，没有方向的量。
既有大小，又有方向的量。 物理
数学上称为向量
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一个点表示，如3，2， -1，…而且不同的点表示不同的数量。
2*.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b
其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2 ) D. 3 当b ≠ 0时成立。
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
1.主要介绍了哪些概念?
定义标准 大小 方向 名称及其意义 0 的向量,记为_____ (1)零向量:长度为____ 0 1个单位的向量 (2)单位向量:长度等于________
B东
特殊向量：
长度为0的向量叫做零向量，记作0。 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
在平面上把所有单位向量的起点平移 到同一点P，那么它们的终点的集合组成 什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b (
注:向量不能比较大小
向量AB 的模可记作： | AB |
ii)用小写的字母来表示：
如： a , b, c,
练习:
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向 按东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方 向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;
（2）求向量 AD 的模
北
D
C
西
A 南
-1 0 1 2 3
B（终点）
有向线段：
带有方向的线段叫做有向线段。 A（起点） 通常在有向线段的终点处画 上箭头表示它的方向.
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
（1）几何表示：
用有向线段表示:
B
A 有向线段的长度表示向量的长度（也称模） 箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）代数表示：
i)用有向线段的起点与终点字母来表示： 上述向量还可表示为：AB 注意：起点一定要写在终点的前面
D
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。
A D
B
C
（2）四边形ABCD是菱形。
A
B
讲授新课
例3. 下列命题正确的是 ( C ) A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点
是一平行四边形的四顶点
C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
例1．如图量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
向量相等
讲授新课
练习. 1．判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB DC .
讲授新课
练习. 1．判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由. ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一 定不同.
）
）
)
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
向量a, b相等，记作 ab
平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
向量a, b平行，记作 a//b
如： a b c
规定：零向量与任一向量平行.
即对于任意向量 a,都有0//a
如：
a b c
C OA = a
O OB = b
A
B
OC = c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
作业：课本P86
习题2.1 A组第2题，第3题
相同或相反 (3)平行向量:方向 _________的非零向量,也叫做 共线 _____ 共线向量,规定0与任意向量______
相同 的向量 ____且方向_____ 大小和方向 (4)相等向量:长度相等
2.向量如何表示?
(1)几何表示:有向线段 (2)代数表示: AB a， b， c
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1） AD BC ；（2） AB DC 且 | AB || AD |