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2
H 2 ( H ) H 2 t
H 2 H 2 0 t
2
E 2 E 2 0 t
2
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
3
4.2
引入位函数的意义
电磁场的位函数
引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
1
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
2
4.1 波动方程
推证
Ε H t H Ε t H 0 Ε 0
同理可得
E H ( ) t
得到的电磁场矢量是相同的。
问题若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场 4.3 电磁能量守恒定律
9
电磁能量及守恒关系
电场能量密度： we
1 ED 2
dW dt
S
V
1 磁场能量密度： wm H B 2 1 1 电磁能量密度： w we wm E D H B 2 2 1 1 W wdV ( E D H B)dV 空间区域V中的电磁能量： V V 2 2
在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有 D Ε 1 ( Ε Ε ) 1 Ε Ε ( Ε D) t t 2 t t 2 B H 1 ( H H ) 1 H H ( H B) t t 2 t t 2
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
10
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随
时间改变，从而引起电磁能量流动。电磁能量守恒关系：进入体积V 的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
推证坡印廷定理
由
D H J t B Ε t
A A t
即
为任意可微函数
A ( A ) A A A ( ) ( A ) t t t t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
2 2 2 t
A 0 t
电磁场与电磁波
说明
第 4 章时变电磁场 2 2 A 2 2 2 A 2 J t t
8
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需解出就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位A和标量位的解也不相同，但最终
D Ε H Ε J Ε t B H Ε H t
将以上两式相减，得到
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
11
D B Ε H H Ε Ε J Ε H t t
第 4 章时变电磁场 B D E H
6
H B A
A A J ( ) t t A ( A) 2 A 2 A 2 A 2 J ( A ) t t A 0 t 2 A 2 A 2Hale Waihona Puke Baidu J t
第 4 章时变电磁场
12
在任意闭曲面 S 所包围的体积 V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式
不同位函数之间的上述变换称为规范变换。原因：未规定 A 的散度。
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
5
位函数的规范条件在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
A 0 t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
电磁场与电磁波
位函数的微分方程
再利用矢量恒等式： Ε H H Ε ( Ε H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
1 1 ( Ε H ) ( Ε D H B) Ε J t 2 2
电磁场与电磁波
位函数的定义
B 0
B Ε t
B A
A (Ε ) 0 t
A E t
电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
4
位函数的不确定性满足下列变换关系的两组位函数和（A、）能描述同（A、）一个电磁场问题。
D J t A E t
E B J t

电磁场与电磁波
第 4 章时变电磁场
A D E、E t
7
同样
D
A ( ) t