2014年培优二(抛物线的焦点和准线问题)

2015届中考数学专题复习一 抛物线的“焦点、准线”问题

【知识要点】

一、抛物线2y ax =，M （

14a ，0），直线l ：14y a

=-交y 轴于点N ，P 为抛物线上任意一点. （1）如图1，过点P 作PA ⊥l 于点A ，求证：PM=PA ；

（2）如图2，以P 为圆心，PM 为半径作⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，写出你的结论并证明；

二、抛物线2y ax =，直线l ：1

4y a =-交y 轴于点N ，P 为抛物线上任意一点，PA ⊥l ，PM=PA ，求M 点的坐标；

三、抛物线2y ax =，M （1

4a ，0），直线l 交y 轴于点N ，P 为抛物线上任意一点，PA ⊥l ，PM=PA ，求直线l 的

解析式；

四、抛物线2y ax =，M （14a ，0），直线l ：1

4y a =-交y 轴于点N ，过点M 任作直线交抛物线于P 、Q 两点，

PA ⊥l 于点A ，PB ⊥l 于点B. （1）求证：PM=PA ，QM=QB ；

（2）如图，连接AM 、BM ，求证：∠AMB=90°；

B

Q

l

N

O y

x

P

M A

C

B

Q

l

N

O y

x P

M A

D

B

Q l

N O y

x

P

M A （3）如图，连接PN 、QN ，求证：∠PNM=∠QNM ；

（4）求11

AP BQ

+

的值；

（5）如图，以PA 为直径作⊙C ，判断直线l 与⊙C 的位置关系，写出你的结论并证明；

（6）如图，以AB 为直径作⊙D ，判断直线PQ 与⊙D 的位置关系，写出你的结论并证明；

【新知讲授】

例一、（2014年广西贺州市）抛物线2

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y x =

的顶点在原点O ，点F （0，1）在y 轴上，直线1y =-与y 轴交于点H ，点P 为抛物线上一点． （1）过点P 作x 轴的垂线与直线1y =-交于点M ，求证：FM 平分∠OFP；

（2）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．

O

y

x

P M A

例二、(2014年湖北咸宁)如图1，P （m n ，）是抛物线2

14

x y =-上任意的一点，直线l 是过点（0，﹣2）且

与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l ，垂足为H ． 【探究】

（1）填空：当m =0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ； 【证明】

（2）对任意m n ，，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想； 【应用】

（3）如图2，已知线段AB=6，端点A ，B 在抛物线2

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x y =-上滑动，求A ，B 两点到直线l 的距离之和

的最小值；

（4）如图3，已知M （1，2），试探究在该抛物线上是否存在点N ，使得MN+NO 取得最小值？若存在，求

出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

例三、如图，抛物线2

14

y x =

的顶点在原点O ，点M （0，1）在y 轴上，P 为x 轴上的一个动点，过点P 作MP 的垂线交y 轴于点A.

（1）若P 点的坐标为（2，0），求A 点的坐标并求直线AP 的解析式； （2）当P 点在x 轴上运动时，判断直线AP 与抛物线交点的个数，写出你

的结论并证明.

例四、如图，抛物线2y ax c =+经过C （2，0），D （0，-1）两点，并与直线y kx =交于A 、B 两点，直线l 过

点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ；

（3）探究：①当k =0时，直线y kx =与x 轴重合，求出此时11AM BN +的值； ②试说明无论k 取何值，11

AM BN +

的值都等于同一个常数；

③连接OM 、OM ，求证：OM ⊥ON.

例五、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长是2，

O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的

正半轴上．一条抛物线经过A 点，顶点D 是OC 的中点． （1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC 的对角线OB 与抛物线交于E 点，线

段FG 过点E 与x 轴垂直，分别交x 轴和线段BC 于F ，G 点，试比较线段OE 与EG 的长度；

（3）点H 是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段

IJ 过点H 与x 轴垂直，分别交x 轴和线段BC 于I 、J 点，点K 在y 轴的正半轴上，OK=OH ，求证：

△OHI≌△JKC．

例六、在直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2

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y x =

+上的一个动点． （1）如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，请通过测量或计算，比较PA 与PB 的大小关

系：PA PB （直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）； （2）请利用（1）的结论解决下列问题：

①如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ， AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，简单说明理由；

②如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式.