二次函数根的判别式韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当2

40b ac -≥时，才

能直接开平方得：2b x a +=

也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时

才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则

①0∆>⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．

②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．

若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；

若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明:(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反

过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的

根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．

①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．

3.一元二次方程的根的判别式的应用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

二、韦达定理

如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，

，那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得

①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．

利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：

当0c a

<时，方程的两根必一正一负．若0b a

-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；

若0b a

-<，则此方程的正根小于负根的绝对值．

当0c a

>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a

-<，

则此方程的两根均为负根． ⑴韦达定理：

如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a

+=-，12c x x a

=．(隐含的条件：0∆≥)

⑵若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ①121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <

②12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m < 特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．

⑶以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷其他：

① 若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．

⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：

① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；

④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二

次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．

例题

一、判断方程根的情况

【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

【例2】 不解方程，判别方程220x k ++=的根的情况。 【例3】 解关于x 的方程()21230m x mx m -+++=

【例4】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．

求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．