高中数学选修《直线与平面平行 平面与平面平行》练习题附参考答案

7-4 直线与平面平行平面与平面平行

一、选择题

1．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′

B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱

柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()

A．K B．H

C．G D．B′

答案：C

2．给出下列命题，其中正确的两个命题是()

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两

条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；

④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．

A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④

解析：直线上有两点到平面的距离相等，直线可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m ⊥直线n，直线n可能在平面α内，因此①③为假命题．

答案：D

3．设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C．过a一定可以作一个平面与b垂直

D．过a一定可以作一个平面与b平行

解析：可证明过a一定有一个平面与b平行．

答案：D

4．(2009·南京质检)已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD 的长为()

A．16 B．24或24

5C．14 D．20

解析：根据题意可出现以下如图两种情况

可求出BD 的长分别为24

5或24.

答案：B

5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是( ) ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ?α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 二、填空题

6．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为________．

解析：如右图分类，一类如图(1)将四点视为三棱锥四个顶点，取棱中点，可以做如图(1)平面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样的平面有4个；另一类如图(2)取各段中点，四个中点形成平面平行于三棱锥相对棱，这样的平面有3个，共7个． 答案：7

7．下列命题中正确的命题是________．

①直线l 上有两点到平面α距离相等，则l ∥α；

②平面α内不在同一直线上三点到平面β的距离相等，则α∥β； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一直线的两平面平行；

⑤若a 、b 为异面直线，a ?α，b ∥α，b ?β，a ∥β，则α∥β. 答案：③⑤ 三、解答题

8．如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别为A 1D 1、A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1

的中点，求证：平面AMN ∥平面PQDB .

证明：如图连结NQ ，由NQ 綊A 1D 1綊AD 知：四边形ADQN 为平行四边形，则AN ∥DQ ；

同理AM ∥BP ，又AM ∩AN ＝A ，根据平面与平面平行的判定定理可知，平面AMN ∥平面PQDB .

9．(原创题)如图在四面体S —ABC 中，E 、F 、O 分别为SA 、SB 、AC 的中点，G 为OC 的中点，证明：FG ∥平面BEO .

证明：证法一：如图，取BC 中点M ，连接FM ，GM ，则GM ∥OB ，FM ∥SC ∥EO ， 又FM ∩GM ＝M ，则平面FGM ∥平面BEO ，因此FG ∥平面BEO .

证法二：设，

则＝12

＝

＝＝

＝－

12

＝－1

2

b －a ，因此FG 与b ，a 共面，∴FG ∥平面BEO .

10．已知：如右图，平面α∥平面β，线段AB 分别交α、β于点M 、N ，线段AD 分别 交α、β于C 、D ，线段BF 分别交α、β于F 、E ，且AM ＝BN ，试证：S △CMF ＝S △DNE .

证明：∵α∥β，直线AD 与AB 确定的平面与α、β分别交于CM 、DN ， ∴CM ∥DN ，同理NE ∥MF ，∴∠CMF ＝∠DNE ，

CM DN ＝AM AM ＋MN .NE MF ＝BN

BN ＋MN

， 又AM ＝BN ，∴CM DN ＝NE MF ，即CM ·MF ＝DN ·NE ，∴12CM ·MF sin ∠CMF ＝1

2

DN ·NE sin ∠DNE .因此S △CMF ＝S △DNE .

1．如果α∥β，AB 和CD 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2， 直线AB 与平面α所成的角为30°，那么线段CD 的取值范围是( )

A ．(233，433]

B ．[1，＋∞)

C ．[1，233]

D ．[23

3

，＋∞)

解析：如图，过A 点作平面γ⊥AB ，γ∩β＝l ，过A 作AC ⊥l . 垂足为C ，连结AC ，可以证明AC 即为线段CD 的最小值． 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝2， ∴AC ＝AB tan ∠ABC ＝233.即CD ≥23

3

. 答案：D

2．如图，已知平面α∥β∥γ，A ，C ∈α，B ，D ∈γ，异面直线AB 和CD 分别与β交于 E 和G ，连结AD 和BC 分别交β于F ，H .

(1)求证：AE EB ＝CG

GD ；

(2)判断四边形EFGH 是哪一类四边形； (3)若AC ＝BD ＝a ，求四边形EFGH 的周长．

解答：(1)证明：由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为EF和BD，

知EF∥BD.所以AE

EB＝

AF

FD.同理有FG∥AC，因而

AF

FD＝

CG

GD.所以

AE

EB＝

CG

GD.

(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD.由于β∥γ，所以HG∥BD.同理EH∥AC.故EFGH 为平行四边形．

(3)由EF∥BD，得EF

BD＝

AF

AD＝

AF

AF＋FD

.由FG∥AC，得

FG

AC＝

DF

AD＝

DF

DF＋FA

.

又因为BD＝AC＝a，所以EF

BD＋

FG

AC＝

EF＋FG

a＝

AF＋FD

AF＋FD

＝1.即EF＋FG＝a.

故四边形EFGH的周长为2a.

3．如下马图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD 的中点，又二面角P—CD—B为45°，

(1)求证：AF∥平面PEC；

(2)求证：平面PEC⊥平面PCD；

(3)设AD＝2，CD＝22，求点A到平面PEC的距离．

解答：(1)证明：取PC的中点G，连EG、FG，

∵F为PD的中点，∴GF綊1

2CD，CD綊AB，又E为AB的中点，

∴AE綊GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥GE，因此AF∥平面PEC.

(2)证明：PA⊥平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影，又ABCD为矩形

∴CD⊥AD，则CD⊥PD，因此CD⊥AF，∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，即∠PDA＝45°，F为Rt△PAD斜边PD的中点，AF⊥PD，PD∩CD＝D，

∴AF⊥平面PCD，由(1)知AF∥EG，∴EG⊥平面PDC，

∵EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.

(3)由(1)知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH ⊥平面PEC，∴FH为F到平面PEC的距离，即A到平面PEC的距离，在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，

∠FHP＝∠CDP＝90°，∴△PFH∽△PCD，FH

CD＝

PF

PC，

∵AD＝2，PF＝2，PC＝CD2＋PD2＝8＋8＝4，

∴FH＝

2

4·22＝1，∴A到平面PEC的距离为1.