高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-4

6.2

1

为极点，两坐标系取相同的长度单位。

极坐标方程为

（1

（2.

2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度

单位相同。直线l的极坐标方程为：ρ=

2sin(θ−π

4)

，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．

（I）求点P轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

1、【详解】

（1

22

x y

ρ=+

222

x y

++

（2

2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x=2cosα

y=2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x2+(y−2)2=4

所以点P的轨迹方程为x2+(y−2)2=4

（Ⅱ）因为ρ=

√2sin(θ−π

4

)

所以ρ√2sin(θ−π

4

)=10

所以ρsinθ−ρcosθ=10，

所以直线l的直角坐标方程为x−y+10=0

法一：由（Ⅰ）点P的轨迹方程为x2+(y−2)2=4

圆心为（0,2），半径为2．

d=

22

=4√2，

P点到直线l距离的最大值等于圆心到直线l距离与圆的半径之和，所以P点到直线l距离的最大值4√2+2．

法二：d=

√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos(α+π

4

)+4|

当a=7

4

π时，d max=4√2+2，即点P到直线l距离的最大值为4√2+2．

6.3

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ

（θ为参数），曲

线C 2的参数方程为{x =4−√2

2t

y =4+√2

2t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；

(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.

4

（1

（2

.

3、【详解】

（1）对曲线C1：cos2θ=x2，sin2θ=y2

3

，

∴曲线C1的普通方程为x2+y2

3

=1．

对曲线C2消去参数t可得t=(4−x)×√2,且t=(y−4)×√2,

∴曲线C2的直角坐标方程为x+y−8=0．

又∵x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin(θ+π

4

)−8=0

从而曲线C2的极坐标方程为ρ=4√2

sin(θ+π

4)。

（2）设曲线C1上的任意一点为P( cosθ , √3sinθ )，

则点P到曲线C2：x+y−8=0的距离d=√3sinθ−8|

√2=|2sin(θ+

π

6

)−8|

√2

，

当sin(θ+π

6)=1，即θ=π

3

时，d min=3√2，此时点P的坐标为( 1

2

 , 3

2

 )．

4、【详解】

（1

，

（2

6.4

5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=2cosθ

y=√3sinθ（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−√3= 0．若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B，且P(√3,0)，求|PA|⋅|PB|的值．

6

5、

因为x =ρcosθ,y =ρsinθ，所以直线l 的直角坐标方程为x −y −√3=0， 其倾斜角为π

4，过点P(√3,0)， 所以直线l 的参数方程为{

x =√3+tcos π4y =tsin π

4

（t 为参数），即{

x =√3+√2

2t y =

√2

2

t

（t 为参数）．

曲线C 的参数方程{x =2cosθy =√3sinθ （θ为参数）化为普通方程为x 24+y 2

3=1，

将{x =√3+√2

2t y =√2

2t 代入曲线C 的方程x 24+y 23=1，整理得7t 2+6√6t −6=0，

Δ=(6√6)2−4×7×(−6)=384>0，

设点A ，B 对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1t 2=−6

7，所以|PA |⋅|PB |=|t 1t 2|=6

7． 6、【详解】

6.5

7．已知平面直角坐标系x0y，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

P(-1，2)C

(1)求圆C

(2)C交于M、N

8．

（1

（2

.

7、【详解】（1

C的方程：

数）

（2

8

、【详解】

（1

，

（2

，

6.10

9．已知曲线C1的参数方程为{

x=4+5cost

y=5+5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；