高中数学选修4-4习题(含答案)

高中数学选修4-4习

题(含答案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

统考作业题目——4-4

6.2

1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,

(2x t t y t =+⎧⎨

=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；

（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值. 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线的极坐标方程为：

，点

，参数

．

（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．

1、【详解】

（1）12,

2x t y t =+⎧⎨

=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，

所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为

|121|

222

---=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数

，

消参得：

所以点的轨迹方程为

（Ⅱ）因为 所以 所以

，

所以直线的直角坐标方程为

法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为

圆心为（0,2），半径为2．

，

点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．

法二：

当时，

，即点到直线距离的最大值为

．

6.3

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为

（为

参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.

(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点

P 的坐标.

4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y α

α

=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以

坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐

标方程为sin 224πρθ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭

（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.

3、【详解】 （1）对曲线：

，

，

∴曲线

的普通方程为

．

对曲线消去参数可得且

∴曲线的直角坐标方程为

．

又

，

从而曲线的极坐标方程为。

（2）设曲线上的任意一点为，

则点到曲线：的距离

，

当

，即

时，

，此时点的坐标为

．

4、【详解】

（1）曲线1C 的参数方程为cos 3x y α

α

=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），

移项后两边平方可得，2

2

22cos sin 13

y x αα+=+=

即有椭圆2

2

1:13

y C x +=；

曲线2C 的极坐标方程为sin 224

π

ρθ⎛⎫

+= ⎪⎝

⎭

即有22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭

， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得40x y +-=， 即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=； （2

）设(cos )P αα， 由P

到直线的距离为d =

=

当sin 16x π⎛

⎫+= ⎪⎝⎭时，||PQ

，

此时可取3π

α=，即有13,22P ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

6.4

5.在平面直角坐标系

中，曲线的参数方程是

（θ为参

数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

．若直线与曲线相交于不同的两点A ,B ，且，求

的值．

6．已知直线l 的参数方程为315

(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

2sin 4cos 0ρθθ-=．

（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

5、

因为，所以直线的直角坐标方程为，

其倾斜角为，过点，

所以直线的参数方程为（为参数），即（为

参数）．

曲线的参数方程（θ为参数）化为普通方程为，

将代入曲线的方程，整理得，

，

设点，对应的参数分别为

，则，所以

．

6、【详解】

（Ⅰ）将315

(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=，即4340x y --=，

故直线l 的普通方程为4340x y --=．

由2sin 4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ，

把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得042=-x y ，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．

（Ⅱ）将315

45x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

代入24y x =，可得2415250t t --=，

设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12154

t t +=

，1225

4t t =-，

所以22121212152525||||()4()4()444

AB t t t t t t =-=+-=-⨯-=， 故线段AB 的长为25

4

． 6.5

7．已知平面直角坐标系x0y ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点P(-1，2)，且倾斜角为

23

π

，圆C 的极坐标方程为)3

cos(2π

θρ+=。

(1)求圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；