61A知识讲解_函数的极值与最值_基础

导数的应用二------函数的极值与最值

【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】 要点一、函数的极值

（一）函数的极值的定义：

一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，

（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作

)(0x f y =极大值；

（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作

)(0x f y =极小值.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：

由函数的极值定义可知：

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；

③求方程0)(='x f 的根；

④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点诠释：

①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3

，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.

②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，

且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

要点二、函数的最值

（一） 函数的最大值与最小值定理

若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1

()(0)f x x x

=

>. 要点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 （二）求函数最值的的基本步骤：

若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；

（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数

()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.

要点诠释：

①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。

②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系

①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；

②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；

③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三、函数极值与最值的简单应用

1. 不等式恒成立，求参数范围问题。

一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，

若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）

的形式。若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。

若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。 2. 证不等式问题。

当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。

3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）

一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，

我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。 【典型例题】

类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。

（1）3

()12f x x x =-； （2）2()x

f x x e -=；