利用隐形圆的知识破解高考难题

﹒ DC = DC ﹒ DA 2 ，动点 P，M 满足 AP 1，PM = MC ，则 BM 2 的最大值是（ ）
（A） 43 4
（B） 49 4
（C） 37 6 3 4
【解析】：由 DA = DB = DC 知：D 是 ABC 内心
（D） 37 2 33 4
由 DA ﹒ DB = DB ﹒ DC = DC ﹒ DA 知：D 是 ABC 垂心
【解析】因为 PAB PBC ，所以 APB ，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，则 2
PC min 5 3 2
变式 1：如图，四边形 AOCB 中， OA OC, CA CB,
若 AC 2, CB 1 ，则 OB 的取值范围为________．
【解析】把 ABC 视为定三角形，则 O 在以 AC 为直径的圆上，
与点 Q 关系密切的点有三个：C、P、B,可以发现 CQ 与 PQ 垂直，则 CQ 与 BC 垂直！ 隐藏的圆出现了，显然点 Q 在以 BC 为直径的圆上.
55 3
AQ 的最小值即为点 A 到该圆圆心距离减去其半径，即
。
2
变式 3：若实数 a,b, c 成等差数列，点 P(1, 0) 在动直线 l : ax by c 0 上的射影为 M，点
证明：法一（直译法）；
法二：由中线长定理知： PA 2 PB 2 2( OP 2 OA 2 ) R2 ，则 OP 2 R2 1 ， 2
例 2.（2017 北大自主招生）正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1， 且 PA 2 PB 2 PC 2 ，则 PD 的最大值为（ ）
变式 1：已知 a =2 所对的角 A 600 ，则 A 点在如图所示的圆 O 的优弧上运动，其中
BAC 1200 ， BC 2 ，
求面积的最值等价于圆上一点到直线 BC 的最值，即圆心 O 到 BC 的距离加半径，此时
AO BC ，此时 ABC 为等边三角形。面积最大值为 3 .
【解题反思 2】到定线段张角为定值的点的轨迹为圆的部分。
变式 2：已知圆 O : x2 y2 1，圆 O1 : (x 4)2 y2 4 ，动点 P 在直线 x 3y b 0
上，过点 P 分别作圆 O,O1 的切线，切点分别为 A,B，若满足 PB 2 PA 的点 P 有且 只有两个，则实数 b 的取值范围为________． 【 分 析 】 由 PB 2 PA 得 PB 2 4 PA 2 ， 即 PO1 2 4 4 PO 2 4 ， 所 以
圆的各种定义 一、圆的距离定义 （一）第一定义：到定点等于定长点的轨迹
例 1.若与点 A(2, 2) 的距离为 1 且与点 B(m, 0) 的距离为 3 的直线恰有两条，则实数 m 的取
值范围为__________．
【解析】与定点 A 距离为 1 的点的轨迹为圆，所以与点 A(2, 2) 的距离为 1 的直线为圆的切
例 3.在 ABC 中， AB 4,CA 3CB ，则 ABC 面积的最大值为__________．
【解析】以 AB 所在直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 A 2,0, B2,0 ，由
题知 x 22 y2 3x 22 3y2 ，即得 C 的轨迹方程为 x 42 y2 12 ，注意到圆心
以 PQ 为直径的圆圆心和半径分别为 A(0, 1), R 2 ，则 MN min 4 2 。
综上： MN 4 2 。 min
变式 4：（2008 浙江）已知 a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足
(a c) (b c) 0 ,则 c 的最大值是________．
OB 2 1, 2 1
变式 2：如图，直角三角形 ABC 中，角 C 为直角,AC=4,AB=5,在线段 AC 上有一动点 P， 以 PC 为直径作圆交 PB 于点 Q,连结 AQ，则 AQ 的最小值为________．
这是一道“变化引起变化”的典型问题，点 P 的变化引起了点 Q 的变化，从而使 得 AQ 的长度在变化.解决问题的关键，就是要找到点 Q 的变化规律（也就是不变的东 西），从而确定何时 AQ 的长度最小.
的 轨 迹 是 线 段 BC 且 不 含 端 点 ， 轨 迹 方 程 为 x y 1(0 x 2) ， 即 23
3x 2 y 6 0(0 x 2) 。点 A 的轨迹在以原点为圆心，1 为半径的圆上。
a b (1 )c OA OP PA 表示圆上的点到直线 3x 2 y 6 0(0 x 2) 的距
变式 2：（2017 广州二模）在四边形 ABCD 中，连接 BD，已知
BD=16,CD=9,BDC ,sin A 4 ，则 AC 的最大值为________．
2
5
【解析】如图，设 ABD 的外接圆半径为 R ，圆心为 M，则由正弦定理知 BD 20 2R ， sin A
即 R 10 ， 在 RtDMN 中 ， 可 求 得 MN 6 ， 所 以 M (8, 6) ， 所 以 AC 的 最 大 值 为
2 BE
1
AP
2
得到 BE 2 1 3
当
BE,
12AP
平行时，
BM
3 1 7 ，选 B
2
max
22
变 式 2 ： （ 2013 湖 南 ） a, b 是 单 位 向 量 , ab 0 . 若 向 量 c 满 足
c a b 1,则 c 的取值范围是 A． 2-1，, 2+1 B． 2-1，, 2+2
PO1
2 PO
，P
的轨迹为一个圆，进而转化为直线和圆相交，可得 b ( 20 ,4) 。 3
二、圆的张角定义 （一）第四定义：到两定点张角为 90°
例 4.如图，在 RtABC 中， AB BC, AB 6, BC 4 ，P 是 RtABC 内一动点，且满
足 PAB PBC ，则线段 CP 的最小值为________．
【解析】设 OA a, OB b, OC c ，则点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，c 的最大值为 2 。
变式 5：（2018 浙江理科第 9 题）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π ，向量 b 满足 b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A. 2 2
B. 2 2
C. 1 2
D. 前三个答案都不对
【解析】建立直角坐标系，设 A0,0, B1,0,C1,1, D0,1, Px, y 由 PA 2 PB 2 PC 2 得 x2 y 12 2 ，圆心为 M 0,1
则 PD 的最大值为 MD r 2 2 .
【答案】A
变式 1：已知圆 O : x2 y2 1，圆 M : (x a 3)2 ( y 2a)2 1（ a 为实数），若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q，使得 OPQ 30o ，则 a 的取值范围为__________． 【解析】过圆 O 作圆 M 的切线，切点为 P' ，由题知只需 OQP' 30o ，
线，同理与点 B(m, 0) 的距离为 3 的直线也为以 B 为圆心，3 为半径的圆的切线，故同时满
足两个条件的直线应该使两圆的公切线，公切线恰有 2 条，意味着两圆相交，即
3 1 AB 3 1 ，所以 m 的取值范围为 (2 2 3, 2) (2, 2 2 3) 。
变式 1：（2014 四川）在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC , DA ﹒ DB = DB
内心和垂心重合，则
ABC
是等边三角形
由 DC ﹒ DA DC DA cos1200 2 得： DA 2
因为 AP 1，所以 P 在以 A 为圆心，1 为半径的圆上，
因为
PM
=
MC
，所以
BM
1
BC
1
BP
1
BC
1
BA AP
1
BC BA
1
AP
2
2
2
2
由此想到连接中线 BE ，重心分 BE 为 2 :1，
由 题 知 sin OQP' 1 sin 30o 1 ， 即 OQ 2 ， 则 Q 的 轨 迹 方 程 为 圆
OQ
2
N : x2 y 2 4 ，因为 Q 既在圆 M，也在圆 N 内部或边界，所以 1 (a 3)2 4a2 9 ， 即6 a0。
5
（三）第三定义：到两定点距离之比为一个不为 1 的常数。（阿波罗尼斯圆）
3
3
【点评】无论坐标法还是几何法，都要有意识的观察向量终点形成的轨迹。
（二）第五定义：到两定点张角为定值
例 5.（2019 乌鲁木齐高三一诊）
【解析】由正弦定理得 sin B sin A 2sin C sin B sin B ，
cos A
cos B
即 sin A cos B cos Asin B 2 sin C cos A ，即 cos A 1 ，所以 A 600 . 2
向量 b 以原点为起点，则终点的轨迹是一个圆，。 |a−b|的最小值表示的是圆上点到直线的最小值，即圆心到直线的距离减去半径。选 A。
法二：由 b2−4e·b+3=0 得 b 3eb e 0 ，所以 b 3e b e
所以 b 的末端就落在图中的虚线圆上。
由向量 a 与 e 的夹角为 π ，得向量 a 的轨迹在与 e 夹角为 π 的一条直线上，同上。
C． 1，, 2+1 D． 1，, 2 +2
解析：如右图：假设 OA a,OB b 则 a b OA OB OD ，因为 a,b是单位向量，所以 a b 2
因为 c a b c a b c OD 1，
则 c 是以 O 为起点，终点在以 D 为圆心 半径为 1 的圆上，
MC 10 27 .
变式 3：已知 A1,0, B3,0, Px, y为直线 l : x y 5 0 上一动点，求 APB 的最大值。
【解析】过 A, B 作圆与 l 相切于点 P0 ，在直线 l 上任取一点 P ，连接 AP，交圆与 Q，则
所以 c OF 2 1, c OE 2 1 ，选 A
max
min
Hale Waihona Puke Baidu
变式 3：（2017 浙江高中数学联赛）已知 a, b, c 满足 a 1, b 2, c 3 ,且 b c 0 ,则
a b (1 )c （其中 0 1）所取不到值的集合为__________．
【解析】 OA a,OB b,OC c OA a,OB b,OC c ， OP b (1 )c ，则 P 点
离，范围为
(6 13 13
1,4]
。答案为
,
6 13 13
1
4,
。
（二）第二定义：到两定点距离的平方和为定值点的轨迹
命题：设 A(1,0), B(1,0), P(x, y) ，若 PA 2 PB 2 R2 (R AB ) ，则 P 的轨迹是线段 AB
中点 O 为圆心的圆。特别地，当 R AB 时，是以 AB 为直径的圆。
N(0,3) ，则线段 MN 长度的最小值为________．
【解析】由题知 a 2b c 0 ，所以 l : ax by c 0 恒过定点 Q(1, 2) ，
若直线 l 过点 P(1,0) 时， MN PN 10 。
若直线 l 不过点 P(1, 0) 时， PMQ 90o ，则 M 在以 PQ 为直径的圆上，如下图
3
A． 3 −1
B． 3 +1
C．2
D．2− 3
【
解
析
】
法
一
：
设
a
x,
y ,
e
1,0,
b
m, n
，
由
向
量
a与
e
的夹角为
π
，得
3
a e
a
e
cos
，即
x
1
x2 y2 ，所以 y 3x x 0，
3
2
向量 a 的轨迹在与 e 夹角为 π 的一条直线上， 3
由 b2−4e·b+3=0 得 m2 n2 4m 3 0 ，即 m 22 n2 1
在直线 AB 上，故 C 到直线 AB 的最大值为 2 3 ，所以面积最大值为 4 3 。
变式 1：已知两点 A(1,0), B(4,0) ，若直线 x y m 0 上存在点 P 使得 PA 1 PB ， 2
则实数 m 的取值范围为________． 【分析】转化为 P 的轨迹圆 x2 y2 4与直线有公共点，得 2 2 m 2 2 。